5计数原理 拔高难度 讲义

1、计数原理 解读 1、基本计数原理 （1）加法原理 m种不同的方法，分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有n1mm种不同的方法那么完成这件事共类办法中有，在第种方法，在第二类办法中有nn2有 种不同的方法.又称加法原理 （2）乘法原理 m种不同的个子步骤，做第一个步骤有分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n1mm种不同的方法那么完成这，做第方法，做第二个步骤有个步骤有种不同方法，nn2件事共有 种不同的方法又称乘法原理 （3）加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，

2、即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用 探究 今天我们先来研究解决计数问题的两种最基本、最重要的方法： 首先，我们大家一起来研究以下两个问题 问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车一天中，火车有3班，汽车有 2班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 进一步思考以下几个问题： 问题剖析 问题1 要完成什么事情 完成这个事情有几类方案 每类方案能否独立完成这件事情 每

3、类方案中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法m类方案中有1分类加法计数原理：完成一件事有两类不同的方案，在第n种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法，在第2类方案中有+ 种不同的方法。 问题2：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 学生口答，进一步思考以下几个问题： 问题剖析 问题2 我们要做的一件事情是什么 完成这个事情需要分几步 每步中的任一方法能否独立完成这件事情 每步方法中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法 m种不同的方1分步乘法计

4、数原理：完成一件事需要两个步骤，做第步有nn?m?N种不同的方那么完成这件事共有步有种不同的方法. 2法，做第. 法 n类的情形）（引导学生得出推广到三类甚至种不同2步有完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第mm21m 做第3步有那么完成这件事共有多少种不同的方法？种不同的方法，的方法，3步有步有种不同的方法，做第2个步骤，完成一件事情，需要分成n做第1mm21m有件事共成.同有种不的方法那么完这步第方同种不的法做nnN?m?m?m种不同的方法. n21理解分步乘法计数原理： 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成

5、该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 总结归纳两个原理的区别和联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 区别 小结： 遇到计数问题首先考虑什么？ 两个原理的区别和联系 教师总结：本节课主要介绍了两个基本原理，解题时应紧扣原理，弄清事情完成的前后经过，分清是分类还是分步，或分类中含分步、分步中含分类 ，无论是分类、分步，关键是做到不重不漏。 归纳总结 1、基本计数原理 （1）加法原理 m种不同的方法，类办法，在第一类办法中有分类计数原理：做一件事，完成它有n1mm种不同的方法那么完成这件事类办法中有种方法，在第在第二类办法中有nn2N?m?m?m种不同的方法又称加法原理 共有n

6、12 ）乘法原理（2 m种不同的分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有n1mm种不同的方法那么完成方法，做第二个步骤有个步骤有种不同方法，做第nn2?m?mN?m种不同的方法又称乘法原理 这件事共有n21（3）加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学

7、好，并正确地灵活加以应用 典例精讲 一选择题（共10小题） 1（2018春?德州期末）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种 A19B26C7D12 种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个2（2018拉萨期末）将5春?）（则不同的种植方法种数是 区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同， 25D180C64BA420 年秋季开学之际，华科和附中食堂的伙食进行2017秋2017?武汉期末）在3（名同学去食堂就餐，有米饭、花

8、卷、包子和面条四种主5了全面升级，某日食，每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种，花卷数量不足仅够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则不同的食物搭配方案种） 数为（ B120C132DA96240 六个小长方形区域涂4南昌期末）用五种不同的颜色给图中ABCDEF?春2018（） 色，要求颜色齐全且有公共边的区域颜色不同，则共有涂色方法（ 种1080960种DB840种C种A720 现2，40数学40名数学教师，按年龄从小到大编号为1，5（2018春?泰安期末）其中三名编两所学校从事支教工作，A，B从中任意选取6人分成两组分配到28，8，12号较小的教师在一组，三名编号较大的教师

9、在另一组，那么编号为） 的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是（ 510DC255B440A220 个数字填入图中的这962春?重庆期中）把1，3，4，5，7，8，96（2015固定在图中位置时，余下的数4表格，从上到下，从左到右依次增大，当3， 的填法有（ ）种 3 4 2418DB612CA 个，红球5个，黑球个球，其中白球96个，7（2015?芜湖三模）口袋中有20现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） A14B16C18D20 所组成没有重复数字的四20148（春4，32奉新县校级月考）由数字?，56

10、位数中5与6相邻的奇数有（ ） A14个B15个C16个D17个 六个点涂色，ABCDEF9（2014?东阳市二模）如图，用四种不同颜色给图中的要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，而且四）种种不同颜色要全部用完，则不同的涂色方法共有（ 360264D216A144BC 3广西模拟）某旅馆有三人间、两人间、单人间三种房间各一间，有（2014?10） （ 位成人带2个小孩来住宿，小孩必须有成人陪同，则不同的住宿方法有 B21种C27种A18种D35种 小题）二填空题（共7 名士兵组成一个有不同编号黄冈期末）由海军、空军、陆军各3?201811（春种排×33 的小方

11、阵，要求同一军种不在同一行，也不在同一列，有 的 法 丽水期末）某城市街区如右图所示，其中实线表示马路，如果只12?春2018（种点的最短路径的走法有BA能在马路上行走，则从点到 种，中选出4，d，ef从6种不同的蔬菜种子a，b，c，201813（春?绍兴期末）土壤不中进行试验，已有资料表明A，C，D分别种在4块不同的土壤A，B品种必种的试验，bb品种产量高，现a，B土壤不宜种植b，但a，宜种植a（用数字作答）种 方案有 6的BC4种不同的颜色给三棱柱ABCA?14（2018春泰州期末）如图，用111个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同的颜色，种 则不同的作色方法共有 人

12、参加一项活动，4名女生中任选43（2015春?西城区期末）在名男生和15（用数字作答） 名男生的选法种数是其中至少有1 这六个数字组成没有重复数字的5，2，34，济宁期末）用春（162015?01个（用数字作答） 四位数，这样的四位数中，偶数的个数有 17（2015春?庐江县期末）从1，2，10中选3数使之不构成等差数列，问这样的选法共有 种（用数字作答） 三解答题（共3小题） 18（2017春?宁江区校级期中）三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ （4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？ （5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？ 19（2016春?白城校级期中）用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有