2015年重庆市高考数学试卷文科

1、 2015年重庆市高考数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1（5分）已知集合A=1，2，3，B=1，3，则AB=（ ） A2 B1，2 C1，3 D1，2，3 22x+1=0”的（ 5分）“x=1”是“x ）2（ A充要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 2+2x3）的定义域是（x ）（3（5分）函数fx）=log 2A3，1 B（3，1） C（，31，+） D（，3）+（1， 年各月的平均气温（）数据的茎叶图如，则这组数据4（52013分）重庆市） 的中位数是（ A19

2、B20 C21.5 D23 5（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） DB CA =，则tan=（ ，tan（+）（65分）若tan= CDA B 的，且）则（|57（分）已知非零向量满足|=4| 页（共第119页） 夹角为（ ） C D B A 8（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ） D CA B =1（a0，b0）的右焦点是F59（，左、右顶点分别是分）设双曲线A，A，过F做AA的垂线与双曲线交于B，C两点，若ABAC，则该双曲线222111的渐近线的斜率为（ ） ±D±1 ± B ±AC 且其面积等于表示的平面区

3、域为三角形，5分），若不等式组10（则m的值为（ ） DC1 A3 B3 把答案填写在答题卡相应.255二、填空题：本大题共小题，每小题5分，共分.位置上 i2i1511（分）复数（+）的实部为 页（共第219页） 12（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 cosC=，c且a=2，B，C的对边分别为a，b，513（分）设ABC的内角A，3sinA=2sinB，则c= +的最大值为 b=5，a+ ，则 14（5分）设a，b0 2+2px+3p2=0上随机地选择一个数p，则方程x有两（155分）在区间0，5个负根的概率为 三、解答题：本大题共6小题，共75分

4、，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 =项和Sa满足=2，前316（12分）已知等差数列a 3n3（）求a的通项公式； n（）设等比数列b满足b=a，b=a，求b前n项和T nnn4115117（13分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 t时间代号 1 2 3 4 5 （千亿元）储蓄存款y 5 6 7 8 10 （）求y关于t的回归方程=t+ （）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款 附：回归方程=t+中 2 xcossin2x=（1813分）已知函数

5、fx） ）的最小周期和最小值；（）求fx（ （）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，第3页（共19页） 时，求g（x）的值域得到函数g（x）的图象当x 23x=）在a+xR（x处取得极值19（12分）已知函数f（）=ax （）确定a的值； x，讨论g（x（x）e）的单调性（）若g（x）=f ABC=，点，D、平面三棱锥PABC中，平面PACABC如图，20（12分）E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EFBC （）证明：AB平面PFE （）若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长 分）如题图，椭圆=1（ab0）的左右焦点

6、分别为1321（F，F，且21过F的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF 12 ，求椭圆的标准方程|=2|=2|+，PF|（）若PF 21 ，试确定椭圆离心率e的取值范围|PQ=|PF，且|（）若 1 第4页（共19页） 2015年重庆市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1（5分）已知集合A=1，2，3，B=1，3，则AB=（ ） A2 B1，2 C1，3 D1，2，3 【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可 【解答】解：集合A=1，2，3，B=1，3，则AB=1，3 故选：C 【

7、点评】本题考查交集的求法，考查计算能力 22x+1=0”的（“x=1”是“x ）2（5分） A充要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 22x+1=0x【分析】先求出方程的解，再和x=1比较，从而得到答案 22x+1=0解：由x，解得：x=1，【解答】 22x+1=0”“x=1”是“x的充要条件，故 故选：A 【点评】本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题 2+2x3）的定义域是（ x）=log（x ）（3（5分）函数f 2A3，1 ）3（，D ）+，13（，C ）1，3（B）（1+， 求得函数定义域【分析】利用对数函数的真数大于0 203）

8、+（1x032x解：由题意得：【解答】x+，即（）x 3解得x1或x ）所以定义域为（，3，）（1+ 故选：D 5第19页（共页） 【点评】本题主要考查函数的定义域的求法属简单题型高考常考题型 4（5分）重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（ ） A19 B20 C21.5 D23 【分析】根据中位数的定义进行求解即可 【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20， 则中位数为， 故选：B 比本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键【点评】较基础 ） （5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ 5 C DB A 【分

9、析】利用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可 【解答】解：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体， =几何体的体积为： 故选：B 本题考查三视图的作法，组合体的体积的求法，考查计算能力【点评】 6第页（共19页） =，则tan=（ tan（+）6（5分）若）tan=， DC B A 【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得tan=tan（+）的值 =，则tan=tan（+tan（）：【解答】解=tan=， =，= A故选： 【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题 ）则，且=4分）已

10、知非零向量|的|满足7（5（） 夹角为（ DA B C ，于是得到非零向量的模与夹角【分析】由已知向量垂直得到数量积为0的关系，求出夹角的余弦值 ），设两|=4【解答】（解：由已知非零向量|，且满足| ，的夹角为个非零向量 ，0，所以，即）=0所以?（2=0cos= ；所以 故选：C 【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键 8（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ） 第7页（共19页） D CA B 时不k=8s的值，当【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k， s的值为满足条件k8，退出循环，输出 解：模拟执行程序框图，

11、可得【解答】 k=0，s=0 s=，k=2满足条件k8 +，s=满足条件k8，k=4 +8，k=6，+s=满足条件k =+，满足条件k8，k=8+s= s的值为不满足条件k8，退出循环，输出 D故选： 本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题【点评】 ，左、右顶点分别是F0）的右焦点是（=1a0，59（b分）设双曲线，则该双曲线ACABAF做A的垂线与双曲线交于，C两点，若B，过A，A212112） 的渐近线的斜率为（ 198第页（共页） ±1 D AC± B±± ，），利用AB，），C（a），A（，0），B（cca【分析】求得A（，0112 ，可得

12、，求出Ca=b，即可得出A 2双曲线的渐近线的斜率 ，），C（c），a0），B（c，【解答】解：由题意，A（a0），A（ 21，ACAB 21 ， ，a=b 双曲线的渐近线的斜率为±1 故选：C 【点评】本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 且其面积等于，若不等式组，10（5分）表示的平面区域为三角形，则m的值为（ ） D1 C3A3 B 【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 若表示的平面区域为三角形， ，得，即A（2由，0）， 则A（2，0）在

13、直线xy+2m=0的下方， 即2+2m0， 则m1， 第9页（共19页） 则A（2，0），D（2m，0）， ，解得，即B（1m，1+m由）， ，）（，解得，即C由 则三角形ABC的面积S=SS ADC ABCADB =|AD|yy| CB m）（1+=（2+2m =，m）（1+m）=（1+ =）×，1即（+m 2=4即（1）+m ，解得m=1（舍）m=3或 B故选： 【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11（5分）复数（1+2i）i的实部

14、为 2 2=1bi的形式，然后找出实部；注意i+利用复数的运算法则化简为【分析】a 第10页（共19页） 2=2+i，所以此复数的实部为2i）i=i+2i2；【解答】解：（1+ 故答案为：2 2=1本题考查了复数的运算以及复数的认识；注意i属于基础题【点评】 12（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 x+2y5=0 【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程 ，解：由题意可得OP=和切线垂直，故切线的斜率为=【解答】 （x1），即 y故切线的方程为2=x+2y5=0， 故答案为：x+2

15、y5=0 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题 ，a=2，cosC=，b，c，且的对边分别为设13（5分）ABC的内角A，B，Ca3sinA=2sinB，则c= 4 【分析】由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解 【解答】解：3sinA=2sinB， 由正弦定理可得：3a=2b， a=2， 可解得b=3， ，又cosC= 222×=16，92由余弦定理可得：c=ab+2abcosC=4 解得：c=4 4故答案为： 属于基础题【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解

16、三角形中的应用， 11第页（共19页） 的最大值为 3a+b=5 ，则+，14（5分）设a，b0 的最大值【分析】利用柯西不等式，即可求出 2 （1+1）（a+1+b）【解答】解：由题意，（+3）=18， ，的最大值为3 故答案为：3 【点评】本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键 2+2px+3p，则方程x2=0有两（5分）在区间0，5上随机地选择一个数p15 个负根的概率为 【分析】由一元二次方程根的分布可得p的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率 2+2px+3p2=0【解答】解：方程x有两个负根等价于， 解关于p的不等式组可得p1或p2， 所求概率P

17、= 故答案为： 【点评】本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 =2，前3项和S=16（12分）已知等差数列a满足a 33n（）求a的通项公式； n（）设等比数列b满足b=a，b=a，求b前n项和T nn4n1511【分析】（）设等差数列a的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，n第12页（共19页） 代入等差数列的通项公式得答案； （）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前Tn项和项和公式求得b前n nn，则由已知条件得：d的公差为解：（）设等差数列a【解答】 n ，解得 代入等差数列的通项公

18、式得：； （）由（）得， ，从而q=2设b的公比为q，则 n 项和nb的前故 n【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题 17（13分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 20102011201220132014年份 51324t时间代号 108675（千亿元）y储蓄存款 （）求y关于t的回归方程=t+ （）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款 附：回归方程=t+中 第13页（共19页） +的回归方程=t，b，即可求y关于t【分析】（）利用公式求出a （）t=6

19、，代入回归方程，即可预测该地区2015年的人民币储蓄存款 【解答】解：（） ，=7.2由题意，=3， 2，=1205×3×7.2=12=555×3，=10 ，×3=3.6=1.21.2，=7.2 +3.6y关于t的回归方程=1.2t 3.6=10.8×6+（千亿元）（）t=6时，=1.2 本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题【点评】 2 18（13分）已知函数f（=sin2xxcosx） ）的最小周期和最小值；（xf（）求 ）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，x（）将函数f（ ）的值域（时，求gx（得到函数gx

20、）的图象当x 【分析】（）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x ），从而可求最小周期和最小值； xx）=sin（gxx），由（）由函数y=Asin（+）的图象变换可得（ 的范围，即可求得gx（x）的值域时，可得， 第14页（共19页） 2 （1+cos2xx=sin2xf（x）=sin2x=sincos（2x【解答】解：（） ，） =T=，最小值为：1f（x）的最小周期 =sin（x）（）由条件可知：g（x） ，从而sin时，有x（x）的值域为，当x， ，（x的值域为：1），那么sin， 上的值域是g（x，）在区间，故 【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应

21、用，函数y=Asin（x+）的图象变换，属于基本知识的考查 23x=）在处取得极值（ax）=ax+xR19（12分）已知函数f（ 的值；a（）确定 x）的单调性x，讨论g）=f（x）e（）若g（x 23fx=处取得极值，可得（aR）【分析】（）求导数，利用f（x=ax）在+x 的值；（）=0，即可确定a x32）的单调性x=，利用导数的正负可得（xg+x）e（）（）由（）得g（x 22x+）求导得（）对f（xf（x）=3ax【解答】解： 23处取得极值，+xx=（aR=axf（x）在 ，（）f=0 ，）+2?=0（3a? a=； 32x，e（x）+=（）由（）得g（x）x xx2x32，）ex

22、）（+4（x+x）e+=x（x1e2x=xg（）（x+）+ 令g（x）=0，解得x=0，x=1或x=4， 第15页（共19页） 当x4时，g（x）0，故g（x）为减函数； 当4x1时，g（x）0，故g（x）为增函数； 当1x0时，g（x）0，故g（x）为减函数； 当x0时，g（x）0，故g（x）为增函数； 综上知g（x）在（，4）和（1，0）内为减函数，在（4，1）和（0，+）内为增函数 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题 ABC=，点D、平面PAC平面ABC，（2012分）如图，三棱锥PABC中，E在线段AC上，且AD=

23、DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EFBC （）证明：AB平面PFE （）若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长 【分析】（）由等腰三角形的性质可证PEAC，可证PEAB又EFBC，可证ABEF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，可证AB平面PEF =SABC，求得SEFBC可得AFE，由（）设BC=x，可求AB，SAFEABC AD=AE，可求S，从而求得四边形DFBC的面积，由（）知PE为，由AFDABC =，由体积VDFBC的高，求得PE?PE=7S，即可解得线段四棱锥PDFBCDFBCPBC的长 【解答】解：（）如图，由DE=EC，PD=PC知

24、，E为等腰PDC中DC边的中点，故PEAC， 又平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，PE?平面PAC，PEAC， 第16页（共19页） 所以PE平面ABC，从而PEAB ABC=，EF因为BC， ，故ABEF 都垂直，AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF从而 所以AB平面PEF ，AB=ABC中，=（）设BC=x，则在直角 ，从而S=xAB?BC= ABC ，知ABC，得AFE由EFBC 2=故S）S，=，即（ ABCAFE =AD=AE=S，=，x由S=S AFDABCABC x=S=从而四边形DFBCx的面积为：xS=SAFDABCDFBC 由（）知，PE平面ABC，所以PE为四棱锥PDFBC的高 =2=在直角PEC中，PE= =7?PE=x故体积VS=， DFBCPDFBC4222 x=3x=3或x0，可得36x+243=0，解得x=9或x=27，由于故得x BC=3所以：BC=3或 【点评】本题主要考查了直线与平面垂直