初中九年级数学培优训练(奥数)专题17直角三角形中的比例线段

1、初中九年级数学培优训练（奥数）专题17直角三角形中的比例线段阅读与思考借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论.如图，在 RtABC 中，/ A=900, ADBC 于 D,则1 .图中角的关系：/ B=/DAC, /C=/DAB;2 .同一三角形中三边平方关系：ab2=ad2+bd2, ac2=ad2+cd2； bc2=ab2+ac2.3 .三角形之间的关系： ABDA CADA CBA,由此得出的线段之间的关系：AD2=BD?DC, ab2=bd?bc, ac2=cd?bc.由此得出的等积式在计算与证明直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似

2、, 中应用极为广泛，其特点是：一线段是两个三角形的公共边;另两条线段在同一直线上.例题与求解【例1】如图，Rt ABC中，CD为斜边 AB上的高，DE，CB于E.若BE=6, CE=4,则AD=（上海市竞赛试题）解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD.例1题图例2题图【例2】如图，在RtAABC中,C=900 , CD LAB,下列结论:CD?AB=AC?BC;111 2 -7.，AC2 BC2 CD2其中正确的个数是 （）AC2 AD2 一；BC2 BDac+bc>cd+ab.A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个（江苏省竞赛试题）解题思路：综合运用直角三角形性质逐

3、一验证，从而作出判断.【例3】如图，在等腰 RABC中，AB=1, /A=900,点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且EFXBE,求 CEF的面积.（全国初中数学联赛试题）解题思想：欲求 EFC的面积，由于EC=-,只需求出 EFC中EC边上的高，或求出 EC边上的2高与EC的关系.本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法.【例4】如图，直线 OB是一次函数y 2x的图象，点A的坐标为（0, 2）,在直线OB上找一点C,使 ACO为等腰三角形，求点 C的坐标.（江苏省竞赛试题）解题思想：注意分类讨论.能力训练A级1 .如图，在两个直角三角形中，/ACB = /AD

4、C=90°, AC=J6, AD=2,当AB=时，这两个直角三角形相似.AC乙。公BCAD（第1题图）（第2题图）2 .如图，在 RtAACB中，CD LAB于点D, 于G,若CE= J3 ,则BG的长为.3 .如图，ABCD为矩形，ABDE为等腰梯形，占BBC（第3题图）/ A的平分线 AF交CD于E,过E弓I EG / AB交BC（上海市克赛试题）BD=20, EA=10,贝U AB=.（“五羊杯”竞赛试题）4.如图，梯子 AB斜靠在墙面上，ACXBC,足B沿CB方向滑动y米,A. x y则x与y的大小关系是B.AC=BC,: )C. X当梯子的顶端A沿AC方向下滑X米时，梯D.

5、不确定（江苏省竞赛试题）（第5题图）5.如图，矩形ABCD中,AB=/3BC=3,AEXBDEC等于（6.A."2B.C.,152D.,212,一、 一 一2在 ABC中，AD是局，且ADBD CD ,那么/BAC的度数是（A.小于900B.等于900C.大于900D.不确定（全国初中数学联赛试题）7.BD=15,如图，在 ABC中，已知/ C=900 求AE, BE的长.AD是/ CAB的角平分线， 点E在AB上，DE / CA , CD=12,（上海市中考试题）8.如图, ag2=af在矩形 ABCD中，E是CD的中点，BELAC交AC于F,过F作FG /AB交AE于G,求证:F

6、C.（西安市中考试题）9.如图，在 RtAABC 中，/ ACB=90°, CDXAB, DEXAC, DFXBC, D, E, F 分别为垂足，求证：CD3=AB -AE BF .（四川省中考试题）10.如图,在 RtAABC中，/ ACB=900, AD平分/ CAB交BC于点D,过点C作CEXAD于点E,CE的延长线交AB 于点 F,过点 E 作 EG / BC 交 AB 于点 G, AE AD=16, AB=4，5 .求证:CE=EF; 求EG的长.（河南省中考试题）11.如图,PEXAC 于 E,在4ABC中，已知/ ACB=90° , BC= k - AC, C

7、DAB于点D,点P为AB边上一动点, PFXBC 于 F.当k=2时,则CEBF当k=3时,连结EF,DF,求生的值;DF（第11题图）当k =时,EFDF2、3旧 二（直接写出结果，不需证明）.31.如图，在 RtAABC 中，/ A=900,AD ± BC, P 为 AD 的中点，BP 交 AC 于 E, EF± BC 于 F , AE=3, EC=12,贝U EF=.（黄冈市竞赛试题）2.如图，在RtAABC中，两条直角边 AB, AC的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线的长度等于厘米.3.如图，EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF:（全国初中数学联赛试题

8、）FG=3: 1, AB: BC=2: 1,则 AH : AE=（上海市竞赛试题）4.如图， ABC中，/ ACB=900, CD和CE分别是底边 AB上的高和/ C的平分线，若/ CED s ABC,则/ ECD 等于（）A. 180B. 200C. 22.50D. 300（山东省竞赛试题）5 .如图，在 ABC 中，D, E 分别在 AC, BC 上，且 ABXAC, AEXBC, BD=DC=EC=1 ,贝U AC= （ ）A.匹 B. 33C. V2D.% E. V3（美国高中统一考试题）6 .如图，在等腰 RtABC中，F为AC边的中点，ADLBF.求证：BD=2CD.（武汉市竞赛试

9、题）7 .如图，P, Q分别是正方形 ABCD的边AB, BC上的点，且BP=BQ,过B点作PC的垂线，垂 足为H.求证：DH XHQ .（“祖冲之杯”邀请赛试题）8 . AABC 中，BC=a, AC=b, AB=c.若/ C=900,如图 1,根据勾股定理，则 a2+b2=c2.若 ABCa2+b2与c2的关系，并证明你的结论.不是直角三角形，如图 2、图3,请你类比勾股定理，试猜想9,已知/ AOB=90°,在/ AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角形的直角顶点与点C重合,它的两条直角边分别与 OA, OB （或它们的反向延长线）相交于点D, E.当三角形绕点 C旋转到CD与OA垂直时，如图1,易证：OD+OE=J2OC.当三角形绕点C旋转到CD与OA不垂直，如图2,图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 OD, OE, OC之间，又有怎样的数量关系？请写出你的猜 想，不需证明.10.如图1 ,在4ABC中，点D, E, Q分别在 AB, AC, BC上，且