变型鸡兔同笼问题与假设法详细课件典型题型

1、第三讲变型鸡兔同笼问题与假设法【专题知识点概述】你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗？这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述 的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句 话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里， 从上面数，有35个头；从下面数, 有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？古人常用的这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问 题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终 把它归成某个已经解决的问题。今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼” 问题的经典思路“假设法”！本

2、节课意让在探究中体会解题思想，在策略多样性中体验最优思想，培养学生多手段、多 层面、多角度地探索问题，解决问题的基本方法和一般方法，体验了解决问题策略的多样 性，使学生感受“鸡兔同笼”问题的变式及其在生活中的广泛的应用，同时体会解题过程 中化难为易、化繁为简的思想方法，发展了学生创新意识，开拓了学生解题思路，发展了 学生的个性，使学生在各种数学思想的渗透中形成良好的数学解题能力。“鸡兔同笼”问题基本解题公式（i）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数X总头数）+ （每只兔的脚数 -每只鸡的脚数）=兔 攵；总头数-兔数二鸡数。或者是（每只兔脚数X总头数-总脚数）+ （每只兔脚

3、数-每只鸡脚数）=鸡 攵；总头数-鸡数=兔数。（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用式（每只鸡脚数X总头数-脚数之差）+ （每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数二鸡数或（每只兔脚数X总头数十鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数 十每只免的脚 数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时， 可用公式。（每只鸡的脚数x总头数十鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数 +每只兔的脚 数）=兔数；总头数-兔数二鸡数。或（每只兔的脚数X总头数-鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数+每只兔的脚 数）=鸡数；总头数-鸡数比数。（4）

4、得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：（1只合格品得分数X产品总数-实得总分数）+（每只合格品得分数+每只不合 格品扣分数）二不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数X总产品数 +实得总分数）+ （每只合 格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题）：可用下面的公式：（两次总脚数之和）+ （每只鸡兔脚数和）+ （两次总脚数之差）+ （每只鸡兔脚数之差）+2=鸡数；（两次总脚数之和）+ （每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）+ （每 只鸡兔脚数之差）+2=兔数。广【授课批注】用不同方法（同为鸡，同为

5、兔，砍足，增头，图示法等）解决问题，增强学生知识面和拓、展思维。虞【重点难点解析】1 .通过不同的方法研究解决鸡兔同笼问题2 .对“假设法”的理解和应用，渗透假设的思想方法1 .假设法的应用2 .理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的的算理【习题精讲】【例11 （难度等级派）工人运青瓷花瓶 250个，规定完整运一个到目的地给运费20元，损坏一个要倒赔 100元，运完这批花瓶后，工人共得4400元.问共损坏了几个花瓶？【分析与解】假设250个能够完整运达目的地。将得运费250X 20=5000 （元），与实际所得相差5000-4400=600 （元）。损坏个数 600+ （ 100+20） =5 （

6、个）。【例2】（难度等级派）松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采 12个.它一连几天采了 112个松果，平均每天采 14个.问这几天中有几个雨天？【分析与解】因松鼠妈妈共采松果 112个，平均每天采14个，所以实际用了 112 + 14=8 （天）.假设这 8天全是晴天，松鼠妈妈应采松果 20X 8= 160 （个），比实际采的多了 160112=48 （个）， 因雨天比晴天少采 20 12 = 8 （个），所以共有雨天48+8=6 （天）.【例3】（难度等级派）四年级四班有60个学生参加下棋活动老师准备了象棋、跳棋20副，2人下一幅象棋，6人下一副跳棋，问象棋和跳棋各多少副？

7、【分析与解】假设20副均为象棋，共有20X 2=40 （人）在玩，还有20人没参加活动。跳棋数20+ （6-2） =5 （副），象棋数20-5=15 （副）。【例4】（难度等级派）实验小学四年级举行数学竞赛，一共出了10道题目，答对一道得 10分，答错一题反扣5分（没有不答的情况）。张华得了 70分，他答对了几道题?【分析与解】假设所有问题全部答对，得分 10X10=100 （分），比实际得分多100-70=30 （分），错题数： 30+ （ 10+5） =2 （道），正确题数：10-2-8 （道）。【例5】 （难度等级）蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有6 条腿和 2 对翅膀，蝉有6 条腿和 1 对翅

8、膀。现在这三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀。每种小虫各几只？【分析与解】因为蜻蜓和蝉都有6 条腿， 所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“ 8 条腿” 与 “ 6 条腿”两种。利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数（1186X 18） + （86） =5（只）。因此就知道6条腿的小虫共18 5= 13（只）。也就是蜻蜓和蝉共有13 只，它们共有20 对翅膀。蝉数（13 X2-20） + （2 1） =6（只）。因此蜻蜓数是136= 7（只）。【例6】 （难度等级）一份稿件, 甲单独打字需6 小时完成. 乙单独打字需10 小时完成, 现在甲单独打若干小时后 , 因有事由乙接着打完

9、, 共用了 7 小时 . 甲打字用了多少小时？【分析与解】我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数）,甲每小时打30+ 6=5（份）,乙每小时打30+10=3（份）.现在把甲打字的时间看成" 兔 "头数 , 乙打字的时间看成" 鸡 " 头数 , 总头数是7." 兔 "的脚数是5," 鸡 "的脚数是3, 总脚数是30, 就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了 .根据前面的公式"兔"数=（30-3 X7） - （5-3）=,"鸡 "数 = =,也就是

10、甲打字用了小时, 乙打字用了小时.【例7】 （难度等级）有 50位同学前往参观, 乘电车前往每人元, 乘小巴前往每人4元 , 乘地下铁路前往每人6元 . 这些同学共用了车费110 元 , 问其中乘小巴的同学有多少位？【分析与解】由于总钱数110 元是整数, 小巴和地铁票也都是整数, 因此乘电车前往的人数一定是5 的整数彳t .如果有30人乘电车，X 30=74（元）.还余下 50-30=20（ 人 ） 都乘小巴钱也不够. 说明假设的乘电车人数少了.如果有40人乘电车 X 40=62（元）.还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往,钱还有多（62>6 X 10）.说明假设的乘电车人数又

11、多了 .30 至 40 之间 , 只有 35 是 5的整数倍.现在又可以转化成" 鸡兔同笼" 了 :总头数50-35=15, 总脚数 X 35=68.因此，乘小巴前往的人数是 （6 X 15-68） +（6-4）=11.【例 8】 （难度等级）商店出售大, 中 , 小气球 , 大球每个3 元 , 中球每个元, 小球每个1 元 . 张老师用120 元共买了 55 个球 , 其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多. 问每种球各买几个？【分析与解】因为总钱数是整数, 大 , 小球的价钱也都是整数, 所以买中球的钱数是整数, 而且还是3 的整数倍 . 我们设想买中球, 小球钱中各出3

12、 元 . 就可买 2 个中球 ,3 个小球 . 因此 , 可以把这两种球看作一种, 每个价钱是X2+1 X 3） + （2+3）=（元）.从公式可算出, 大球个数是X 55） + =30（个）.买中 , 小球钱数各是（120-30 X 3） +2=15（元）.可买 10 个中球 ,15 个小球 .答 : 买大球 30 个 , 中球 10 个 , 小球 15 个 .【例 9】 （难度等级）使用甲种农药每千克要兑水20 千克， 使用乙种农药每千克要兑水40 千克 根据农科院专家的意见，把两种农药混起来用可以提高药效，现有两种农药共50 千克， 要配药水 1400 千克，那么，其中甲种农药用了多少千

13、克？【分析与解】假设50千克都是乙种农药，那么需要兑水40X 50 = 2000（千克）.但题目要求配药水 1400千克，即实际兑水140050= 1350（千克）.多用了 20001350= 650（千克）水，又已知使用乙种农药每千克兑水需要比使用甲种农药多兑水40-20 = 20（千克），所以推知，在混合农药中甲种农药有 650+ 20=（千克）.10】 （难度等级）某工厂的27位师傅带徒弟40名，每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟，如果带一名徒弟的师傅的人数是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有几位？【分析与解】带一名徒弟的师傅的人数是：27X - =18（位）；带两名或

14、三名徒弟的师傅有27-18=9（位），3他们共带40-18=22（名）徒弟，如果这9位师傅带两名徒弟，他们只能带18名徒弟，还有22-18=4（名）徒弟没人带，所以应有 4位师傅每人带三名徒弟，带两名师傅有5位。【例11（难度等级派）某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种：一等奖1000元，二等奖250元，三等奖50元.共有100人中奖，奖金总额为9500元.问二等奖有多少名？【分析与解】假设全是三等奖，共有：9500/50=190 （人）中奖，比实际多： 190-100=90 （人）1000/50=20 ,也就是说：把20个三等奖换成一个一等奖，奖金总额不变，而人数减少了： 20-1=19

15、 （人）250/50=5 ,也就是说：把 5个三等奖换成一个二等奖，奖金总额不变，而 人数减少了： 5-1=4 （人）。因为多出的是 90人，而：90=19*2+4*13.即：要使总人数为 100,只需要把20*2=40个三等奖换成 2个一等奖，把 5*13=65个三等 奖换成13个二等奖就可以了。 所以，二等奖有13个人。【例12（难度等级 派）今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父 的年龄是弟的年龄的 4倍，母的年龄是兄的年龄的 3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，是公元哪一年？【分析与解】4年后，两人年龄和都要加 8.此时兄弟年

16、龄之和是 17+8=25,父母年龄之和是 78+8=86.我们 可以把兄的年龄看作"鸡"头数，弟的年龄看作"兔”头数.25是"总头数".86是"总脚数".根 据公式，兄的年龄是（25 X 4-86） + （4-3）=14（岁）.1998年，兄年龄是14-4=10（岁）.父年龄是（25-14） X4-4=40（岁）.因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是（40-10） +（3-1）=15（岁），这是2003年.【例13（难度等级派）有一辆货车运输 2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破

17、损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费元，问这次搬运中玻璃瓶破损 了几只？【分析与解】如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少 1+=（元）.因此破损只数是 + （1+=17（只）.【例14（难度等级派）从甲地至乙地全长 45千米，有上坡路，平路，下坡路.李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时 5千米，下坡速度是每小时 6千米.从甲地到乙地，李强行走了 10小时；从乙地到甲地，李强行走了 11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米？ 【分析与解】把来回路程45 X 2=90（千米）算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡 和下坡合并成"

18、一种"路程，根据例15,平均速度是每小时 4千米.现在形成一个非常简单的" 鸡兔同笼”问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡，兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是 （90-4 X21） +（5-4）=6（小时）.单程平路行走时间是 6 + 2=3（小时）.从甲地至乙地，上坡和下坡用了 10-3=7（小时）行走路程是45-5 X 3=30（千米）.又是一个"鸡兔同笼"问题.从甲地至乙地，上坡行走的时间是（6 X 7-30） + （6-3）=4（小时）.行走路程是3 X 4=12（千米）.下坡行走的时间是 7-4=3（小时）.行走路程是6X 3=18（

19、千米）.答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米.【例15（难度等级）某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做 对1道的有7人,5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人? 【分析与解】对2道,3道,4道题的人共有 52-7-6=39（ 人）.他们共做对 181-1 X 7-5 X 6=144（道）.由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对道题的人（2+3） + 2=.这样兔脚数=4,鸡脚数二,总脚数=144,总头数=39.对4道题的有 X 39） + =31（人）.副【作业】1 .东湖小学六年级举行数学竞赛，共20道试题.做对一题得5分,没有做一题或做错一题倒扣3分.刘刚得了 60分,则他做对了几道题？【答案】15