任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式(知识精讲)-2019-2020高一数学(人教A版必修)(原卷版)

1、韩哥智慧之窗.精品文档专题十四 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式知识精讲一知识结构图内容考点关注点任意角与弧度制三角函数的概念诱导公式弧度制与角度制的转化角度与弧度的关系扇形的弧长、而积扇形的弧长、面积公式任意角的三角函数的求值任意角的三角函数的定义同角三角函数值的求解同角三角函数的基本关系任意角的三角函数求值、化简诱导公式二.学法指导L象限角的判定方法：(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限.(2)第一步，将a写成a=k 360。+郃右乙。360。)的形式：第二步，判断的终边所在的象限；第三步，根据的终边所在的象限，即可确定a的终边所在的象限.2.所有与角a终边相同的

2、角，连同角a在内可以用式子上360。+。，土CZ表示，在运用时需注意以 下四点：(1比是整数，这个条件不能漏掉.(2)a是任意角.(3)左360。与a之间用连接，如公360。-30。应看成360。+(30。)，kGZ.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周 角的整数倍.3 .角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式7rrad=180。是关键:(2)方法：度数又忐=弧度数：弧度数*(胃)=度数；(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.4 .弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：/=即，5=如和

3、S4M这里a必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式.(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.5 .由角a终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：(1)已知角a的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函 数值.在a的终边上任选一点P(x, y), P到原点的距离为70).则sin a=p cos a=*已知a的终 边求a的三角函数时，用这几个公式更方便.(2)当角a的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定， 则需分类讨论.6 .判断三角函数值在各象

4、限符号的攻略：(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限：(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号：(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.7、利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2内r+a的形式，其中a0, 2兀)，kGZ.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角a的某个三角函数值. )求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.韩哥智慧之窗.精品文档1韩哥智慧之窗-精品文档8、利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法:(1)已知角a的某一种三角函数值，求角a的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是 先选用平方关系

5、，再用商数关系.(2)若角a所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角a所在的象限不 确定，应分类讨论，一般有两组结果.9、sina+cosa, sin a-cos a, sinacos a三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求 二“，它们之间的关系是：(sin aicos a)2 = l2sin acos a.10.已知tana=?，求关于sin a, cos a的齐次式的值解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sina，cos a的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式； (2)因为cosaM，所以可除以cosa,这样可将被求式化为关于tan a的表示式

6、，然后代入tana=d刈 值，从而完成被求式的求值.11、三角函数式化简的常用方法(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号里而的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin% + cos%=l,以降低函数 次数，达到化简的目的.12 .证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边 都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法).13 .技巧感悟：朝目标奔.常用的技巧有：(1)巧用的代换：(2)化切为弦：(3)多项

7、式运算技巧的 应用(分解因式).14 .利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”用公式一或三来转化：(2)“大化小”用公式一将角化为0至IJ 360。间的角：(3)“小化锐”用公式二或四将大于90。的角转化为锐角；(4)“锐求值”得到锐角的三角函数后求值.15 .解决条件求值问题的两技巧韩哥智慧之窗-精品文档1韩哥智慧之窗.精品文档(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算 之间的差异及联系.(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.三.知识点贯通知识点1 角的有关概念的判断任意角的分类(1)按旋转方向

8、分(2)按角的终边位置分前提：角的顶点与侬重合，角的始边与X轴的非负半轴重合.分类：例L (1)给出下列说法：锐角都是第一象限角：第一象限角一定不是负角：小于180。的角是钝角、直角或锐角： 始边和终边重合的角是零角.其中正确说法的序号为(把正确说法的序号都写上).(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角.420。. 855。- 510。.知识点二终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=a+360。，k/,即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.例题2：写出与。=一1 910。终边相同的角的

9、集合，并把集合中适合不等式一720。空360。的元素 写出来.韩哥智慧之窗.精品文档1知识点三角度制与弧度制的换算例题3 .(1)将112。30,化为弧度为将一招rad化为角度为知识点四 扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为五，弧长为/，。(0。2冗)为其圆心角，则(1)弧长公式：l=aR.(2)扇形面积公式：S=3区二巡例题4.已知扇形。结的周长是60 cm,而积是20 cm2,求扇形。四的圆心角的弧度数.知识点五任意角的三角函数的定义 1、(1)条件在平面直角坐标系中，设a是一个任意角，aR它的终边与单位圆交于点尸(x, y),那么:(2)结论y叫做a的正弦函数,记作sin a,即sma=y

10、：x叫做a的余弦函数，记作cos a,即cosa=x：?叫做a的正切,记作tan a,即tan。=长叶0). 4A2、一般地，设角a终边上任意一点的坐标为。，回，它与原点的距离为7,，则VXVsin a =；, cos a =p tan a =(x=0).例题5已知角6的终边上有一点P(x,3)(%7初，且cos 8=*,则sm 6+tan 6的值为知识点六三角函数值符号的运用正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦,三正切,四余弦 例题6判断下列各式的符号:sin 1450cos(210)；sm 3 cos 4 tan 5.知识点七诱导公式一的应用公式一

11、|cos( a + A： 2/71) = cus a, A： e Z|诱导公式一|sin(a + A: 2b)=sin a* w Z| tan (a + k 2K)=tan。，上 Z|例题7求值:(l)tan 405sin 450+cos 750：(2)sm牛 cos(一寻 |+tan(-苧 kos孚知识点八应用同角三角函数关系求值1 .平方关系(1)公式：sm2a4-cos2a=l.(2)语言叙述：同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1.2 .商数关系(1)公式：；：=tana(a壬依+冬 kZ).3 2)语言叙述：同一个角a的正弦、余弦的商等于角a的正切.0例题 8 (1)已知 cosa=二

12、,求 sin a, tan a 的值.(2)已知 sina+cos a=yp a(0,兀)，则 tana=(3)已知垩，土生=2,计算下列各式的值. sm a-cos a.3sina-cos a4 T7;2sm a+3cos a5 sin% 2sin acos a +1.韩哥智慧之窗.精品文档知识点九给角求值问题1 .公式二(1)角n+a与角a的终边关于原点对称.如图所示.(2)公式：sm(7r+a) = sin a,cos(兀+a) = cos a,tan(7U+a) = tana.2 .公式三(1)角一a与角a的终边关于工轴对称.如图所示.(2)公式：sin(-a) =sin atcos(

13、-a) = cos a,tan( - a) = tana.3 .公式四(1)角冗一a与角a的终边关于E轴对称.如图所示.(2)公式：sm(7r - a)=sin a,cos(兀a)= co* a,tan(兀-a) =tan a.4 .公式五(1)角己一a与角a的终边关于直线对称,如图所示.(2)公式：sin-a) = cos a,cosg-。尸sin a.5 .公式六(1)公式五与公式六中角的联系3+a=jrj g-a).1韩哥智慧之窗.精品文档韩哥智慧之窗.精品文档（2）公式：sin（5+a ） = cos a,CO35十G J=sin a.例题9求值：sin 1 320。：（2）cos（一半J； （3）已知 5由（卜）=4，贝U的值为五易错点分析例题10.己知，如图所示.分别写出终边落在。4,。8位置上的角的集合:写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.韩哥智慧之窗.精品文档1i正角是按逆时针方向旋转，区间角的书写注意旋转方向，逆时针方向旋转，角变大，区间角是大于 小角小于大角。易错:扇形的弧长、面电例题1L求半径为兀cm,圆心角为120。的扇形的弧长及面积.错:区警，扇