交大刘迎东微积分九习题答案

1、9.3三重积分习题9.31 .化三重积分I f x, y, z dxdydz为三次积分，其中积分区域分别为:(1) 由双曲抛物面xy z及平面x y 1 0,z 0所围成的闭区域。解：If x, y, z dxdydz11 x xy0dx 0 dy 0 f x,y,zdz.(2)由曲面zx2y2及平面z 1所围成的闭区域。解：If x, y, z dxdydz171 x211dx dy / V2 f x, y,z dz.11 x x y(3)由曲面z x2 2y2及z2 x2所围成的闭区域。解：If x, y, z dxdydz11 x22 x21dx 1Vdy x2 2y2fx,y,z dz

2、.(4)由曲面2 x cz xy c 0 , ab21,z 0所围成的在第一卦限内的闭区域。解:ax, y, z dxdydz o dxxydy 0cf x, y, z dz.16 / 112.计算下列三重积分:(1) z2dxdydz, 其中为两个球：x22Rz R 0 的公共部分。25, x解：由2 x2 y2 y2 z2 zR2,2Rz,R一.所以2dxdydzRdz02 .d z dxdyR2 dz0Dz2 .z dxdyRRdz22 .z dxdy2Rzz2 dzdz59480R5.(2)域。zln222x y z222y z 11dxdydz;,其中为由球面1所围成的闭区关于xOy

3、面对称，被积函数关z为奇函数，所以(3)zln x222y z 12dxdydzy z 10.与平面解:解:y2 z2 dxdydz,其中5所围成的闭区域。转面方程为由2x0,y,z y10 ,所以xOy平面上曲线y2 2x绕x轴旋转而成的曲面在yOz面上的投影区域1dx(6)解:解:(8)闭区域。解：2,z dxdydz5Ddydz j2z2 y22 .z dx2z dydz3 .r dr2503dxdydz ,其中0,y0,z0,x y z 1 所围。-2 dxdydzy z 11dx0xdyxydxdydz , 其中1xydxdydz odxdy1ln20为由xdy2 3 一xy z d

4、xdydz,其中2 3 , xy z dxdydzln 1x dx 3 ln2.4z xy,zxy0 xydz为由z1 xdx dyxy 2xy z0,x1dx0xy, y3dz1所围成的闭区域。2 2x y dyx, x 1,z1dx0xyzdxdydz, 其中xyzdxdydz 2d为x21,x5 . 3sincosxyzsin x y z dxdydz,其中2,3.1 x1 x1dx031800所围成的闭区域。5 6xx y dy0 40, y 0,zsin cos d0,y 0,z,121 x .1dx 0 283640所围成的闭区域。1480,x y z 所围成的2xyzsin2 .

5、y z dxdydz 02 dxxdyx yxyzsiny z dz2 dx0xyxysin x y dyxsin x dx3841.(9)lx22my2nz dxdydz;,其中为由x2a2所围成的闭区域（l,m,n为常数）。解：由轮换对称性,lx22my2 nzdxdydz0da 4 .sin354 a152z dxdydz(10)x2 y2 dxdydz,z2,0解:x2y2dxdydzhdrr2dz(11)y2 dxdydz,解:y2 dxdydz2dr0(12)y2 dxdydz,解:由轮换对称性,dxdydzz h;h462z,z2匚r23dz2;163dxdydzsin15(13

6、)2 dxdydz z2由曲面xa2,z 0,z h0所围成。解:(14)=dxdydz zadr0rz0 J2z2 dz 23zdxdydz : x2 y22,x22y z;25, x解：由 c2x2 y2 y2;解得z 1.所以zdxdydzz2dz、2021dzDzzdxdy(15)解:zdzz2dxdyd乙1dz 07.122 zd zdxdy2 2a ,xdzaxz2 dxdydz02dacosdra2 r2-Ja2 r2z2rdz2 d0acos2 02 dacos32 dr15. 5 sin(16)2 zdxdydz 其中由2zy2和z解:2zdxdydz2dr025r2 zr

7、cos2sin2 dzd zdxdy2 r354a1532 dr8152围成。522r cos sin dr2 1282cos15.2 sin3215(17)dxdydz,其中R2 x2x2 y2 围成。解:(18)z3dxdyd乙解:3 .z dxdydzdxdydz04dR 4sin d:x2 y2z2R2, x 0, y 0,z 0;22532 d 2 d cos sin d000R648R5(19)xfxy2/dxdydz,其中由 x2 y2 z2 z 围成。解:22 ,y z dxdydz一 cos 32 dsin d004.2 ,万 cos sin ,d2d00410(20)222

8、x y dxdydz;: a222x y zb2,z 0.解:222 .y dxdydz 0 d 02 d4 . 3sin4- b515)可dxdydz,其中 z2az a0围成。解:万2a20(22)解:(23)解:(24)解:(25)_ dxdydz z2cos sin02acossin2 a a-2 dxdydz, z2 dxdydz zz dxdydzdxdydz4 4a4 cos5 sin d0zdxdydz7 a46222 111x y z dxdydz,1 x2 y2 z2dxdydz2 x2 a2 y b22z .2 dxdydz, csincos解：做变换 ysinsin(2

9、6)cosb2 bb sina 22az, x2z；4d02acos3cossin2 x2 a1；2 y b22-i；21 ;c2 -sin2 y b22z .2 dxdydz cabc2 sinabc 24y z dxdydz,2 R2;解:3.做变换 v设函数f x其中a；y b;则x y z dxdydz,a b c dudvdw连续且恒大于零,4 R3c dudvdw222.x y z dvf x2y2 dfD ttftx, y,z(1)讨论Ft在区间(2)证明：当t0时,(1)解:Dt f x222df r2 rdr22 t2f t2 t20y2 ddx0,在区间0,t2f t2z2

10、 t2 ,D内的单调性;2Gx,y2.2y tdvy2 d2sin df r2rdr2_2 tr2 rdr 2f t2 t0t f r2 rdr0内单调上升。2d2f t2 tr2 t r rdrtf r2 rdr0f x2D ty2 dt f r2 rdr0dx2 .x dxtf0tf0rdrdxdrdr2.r rdrt2 t 0drt2r2 r2dr2ft2r2 rdrdr0.t 22f r r dr0t f r2 dr0f r2 rdr ,此等彳于F-G t .4.设有一物体,占有空间闭区域x, y,z 0 x 1,01,0 z 1,在点 x, y,z处的密度为x, y,z乙计算该物体的

11、质量。解：m5.如果重积分f x , f2 y , f3 zx, y,z a x积，即证明:bdxaba f16.计算体。解:1dx07.计算区域。z dxdydz o11dx dy x y z 00dzf x, y, z dxdydz的被积函数的乘积b,cd,lx, y, z dxdydzx, y, z dxdydzf1bdxamx dxdcMdf2 cmf1f x, y,z个函数f1 x f2 yl f3 z dz dyddx c f2 y dy ldxdydz1 x ydxdydz3x y zdz.x, y,zf x f2y f3 z，积分区域,证明：此三重积分等于三个一元积分的乘mdy

12、 lf3dz.f1f3dzdy lmf3 z dz dx1dx0xzdxdydz,其中其中为平面0,y0,z0,xy z 1所围成的四面xdydxln 22516为由平面z 0, zy, y1以及抛物柱面x2所围成的闭解：因为积分区域关于 yOz平面对称，被积函数关于 x是奇函数，所以xzdxdydz 0.h 78.计算 zdxdydz其中为由锥面z Jxy与平面z h RR0,h 0所围成的闭区域。解:hzdxdydz o dz d zdxdyh R2z30 h2dz2, 2R h9.利用球面坐标计算下列三重积分:(1)dv,其中为由球面1所围成的闭区域;解:dv4sin(2)zdv,其中闭

13、区域由不等式Z2所确定;解:zdvd 4d02a cos3cossin d4 444a05 cossin d 二10.选用适当的坐标计算下列三重积分:xydv,其中为柱面x22 一 一y 1及平面1,z0,x 0, y0所围成的在第卦限内的闭区域;解:xydv2d01dr01 3 r cos 0sin dz(2)dv,其中为由曲面4z225 x2及平面5所围成的闭区域;解:dv2dr05r r3dz211.求下列区域V的体积:(1) V : x222y a ,z0,zmx解：Vdxdydzjdmrcosdr0rdzjd2mr2cosdr2ma332V:一 ay2b22 z2 c2 z2 c2

14、x2 解：由a, 2yb22 y b22 z2 cV dxdydz2;可得- 2adx0堂 7 abaa。所以,x . bc- dxabc2 x . dxa2y（3） V由曲面x22 2a ,y2 一a所围成（图9.33,本图仅回出第一卦限部分）。解：V16a3dxdydz341 sin230 cos167d0adr oJa r cosrdz01604dcos dr16 8、, 2 a3.12.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积:(1) zx2 y2 及 z Jx解：由6 x2解：由x22.所以dxdydz(3) z解：由(4) z解：由(5)解:2 y2 ydxdydz6dz02a

15、zDz dxdy 0z2dzdz 32 3（含有z轴的部分）；z2 2az;解得z a.所以2 z2adz0aDz dxdy 02adz2az z2 dzx2 y2 及 z22Jx y;解得z22x y1dxdydz dz1.所以d dxdy5 x2 y2 及 xdxdydzdz22 x y ；解得z1.所以4z,5dzdxdyzdz10、5 85 z dz 2 az,x,z 018 / 11dxdydzadr02 -2 r sina rdz 0ra3.2r sin , dra_3_2a sin6415 a364(6)2az,xax, z解:dxdydzacos2 . 2 r sin32a cos2一3 一. 2a sindr4cos4求由曲面2,2az 4a将球x解:2,x由2x2 y2 yaz2 z4a ;解得z4azrdz1564acosra32r sin ,dradxdydz4adza4a卜部体积为32313.求球体ra位于锥面解：Vdxdydz14.求上、下分别为球面解：由2 z2 ydxdydz4az分成两部分之体积比。所以上部体积为D dxdy376229 a4az z 4a az dz 23.所以上下之比为27:37.2;.一解得z2dzDz15.球心在原点、半径为 比，求此球体的质量。解：mdv16.