圆过定点问题

1、圆过定点问题班级 姓名1 .已知定点 G( - 3, 0), S是圆C: (X- 3) 2+y2=72 (C为圆心)上的动点， SG的垂直平分线与 SC交于点 E.设点E的轨迹为M.(1)求M的方程；(2)是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线 M相交于A, B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.2 .在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 Ci: (x+1) 2+y2=1,圆G: (x-3) 2+ (y-4) 2=1.(I)判断圆 G与圆G的位置关系；(n)若动圆C同时平分圆 G的周长、圆G的周长，则动圆 C是否经过定点若经过，求出定点的坐标；若

2、不经过，请说明理由.3 .已知定点 A (-2, 0), B (2, 0),及定点F (1, 0),定直线l : x=4,不在x轴上的动点 M到定点F 的距离是它到定直线l的距离的1倍，设点M的轨迹为E,点C是轨迹E上的任一点，直线 AC与BC分另交直线l与点P, Q(1)求点M的轨迹E的方程；(2)试判断以线段 PQ为直径的圆是否经过定点 F,并说明理由.4 .如图，已知椭圆 C: 0_+y2=1的上、下顶点分别为 A B,点P在椭圆上，且异于点 A、B,直线AR BP4与直线l : y= - 2分别交于点 M N,(i)设直线 AP BP的斜率分别为ki、k2,求证：ki? k2为定值；(

3、ii)当点P运动时，以MNK1直径的圆是否经过定点请证明你的结论.5 .如图所示，已知圆 C: x2+y2=r2 (r0)上点(1, a)处切线的斜率为-亚，圆C与y轴的交点分3别为A, B,与x轴正半轴的交点为 D, P为圆C在第一象限内的任意一点，直线 BD与AP相交于点M,直 线DP与y轴相交于点NI.(1)求圆C的方程；(2)试问：直线 MN1否经过定点若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由.6 .二次函数f (x) =3x2- 4x+c (xCR)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为。C.(1)求实数c的取值范围；(2)求0C的方程；(3)问GK是否经过某定点

4、(其坐标与 c的取值无关)请证明你的结论.7 .如图，抛物线 M y=x2+bx (bw0)与x轴交于O, A两点，交直线l : y=x于O, B两点，经过三点 O, A, B作圆C.(I)求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；(II )求证：圆C经过除原点外的一个定点；(III )是否存在这样的抛物线 M使它的顶点与 C的距离不大于圆 C的半径8 .在平面直角坐标系 xoy中，点M到两定点Fi ( - 1, 0)和F2 (1, 0)的距离之和为4,设 曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l： y=kx+m与曲线C相交于不同两点 A B (A、B不是曲线C和坐标轴的交点)， 的圆过

5、点D (2, 0),试判断直线l是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.M的轨迹是以AB为直径229 .如图.直线l: y=kx+1与椭圆G：三+工一二1交于A, C两点，A. C在x轴两侧,16 4B, D是圆G： x2+y2=16上的两点.且 A与B. C与D的横坐标相同，纵坐标同号.(I)求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算11ABi - |CD|的取值范围；(II )试问直线BD是否经过一个定点若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由.10.已知A ( - 1, 0), B (2, 0),动点M (x, y)满足喘设动点M的轨迹为C.(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨

6、迹 C是什么图形；(2)求动点M与定点B连线的斜率的最小值；求出实数 m(3)设直线l : y=x+m交轨迹C于巳Q两点，是否存在以线段 PQ为直径的圆经过 A若存在,的值；若不存在，说明理由.11 .已知定直线l : x=-1,定点F （1, 0）, OP经过F且与l相切.（ 1 ）求 P 点的轨迹C 的方程（2）是否存在定点 M,使经过该点的直线与曲线 C交于A B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若 有，请求出M 点的坐标；若没有，请说明理由12 .已知动圆P与圆M （x+1） 2+y2=16相切，且经过 M内的定点N （1, 0）.（ 1 ）试求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程；（2

7、）设O是轨迹C上的任意一点（轨迹 C与x轴的交点除外），试问在x轴上是否存在两定点 A, B,使得 直线OAW OB的斜率之积为定值（常数）若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A B的坐标；若不存在，请说明理由13 .已知在 ABC中，点 A B的坐标分别为（-2, 0）和（2, 0）,点C在x轴上方.（I）若点C的坐标为（2, 3）,求以A、B为焦点且经过点 C的椭圆的方程；（n）若/ ACB=45 ,求4ABC的外接圆的方程；（出）若在给定直线 y=x+t上任取一点P,从点P向（n）中圆引一条切线，切点为Q.问是否存在一个定点M恒有PM=PQf说明理由.2015年03月12日yin

8、yongxia100 的高中数学组卷参考答案与试题解析一.填空题(共1小题)1.已知定点 G(- 3,0),S是圆C:(X- 3)2+y2=72(C为圆心)上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E.设点E的轨迹为M.(1)求M的方程；M相交于A, B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点若存在,G, C为焦点，长轴长为 为色的椭圆，由此能求出动点 E的轨迹方(2)是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线 求出直线的方程；若不存在，请说明理由.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.专题：圆锥曲线中的最值与范围问题.分析：(1)由已知条件推导出点 E的轨迹是以程.(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于

9、A(xi, yi), B(x2, y2)两点,其方程为y=x+m,由Ills 9得3x2+4mx+2rm- 18=0.由此能求出符合题意的直线l存在，所求的直线l的方程为y=x+2jl或y=x - 英.解答： 解：(1)由题知|EG|=|ES| , . |EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6 6.又. |GC|=6 0,化简得m 27,解得-3j?0）上点|(1，通)处切线的斜率为-孝，圆C与y轴的交点分别为 A, B,与x轴正半轴的交点为N.(1)求圆C的方程；D, P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M直线DP与y轴相交于点(2)试问：直线 MN1否经过定点若经过定点

10、，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由.考点：直线与圆的位置关系.专题：直线与圆.分析：(1)根据条件结合点在圆上，求出圆的半径即可求圆C的方程;(2)根据条件求出直线 MN勺斜率，即可得到结论.aW3.,一点（1，在圆 C： x2+y2=r2 上, r2-l2+ （五）2-4故圆C的方程为x2+y2=4.(2)设 P (xo, y),贝U Xo2+yo2=4,一，、q、e、，一，、q、e、， Vn - 2直线BD的万程为x-y-2=0,直线 AP的万程为y=工+2(k -y- 2=0口 口 4 工n2M+2了4yn -2 ，得 m (5,-),产同一宜+2I?0-产产x0 y0+2勿倚 N

11、(0,),2一 x口(2-工口)(2xo+2y0 - 4) - 2 yQ (xia - yc+2)&工口(2一 父口)2xc + 2y0 - 42y04-口+22-小.kMN=2X.1%殉- W4 万口十4%一8一Mxj - 2 工广口十 4工口一 2 工口几十2 vj 一 44一4xQ2+3y 0 4zoyo x 口 4为 一 2 =4叼(2-冥口)4孙(2-町) 町一2化简彳导(yx) Xo+ (2 x) yo=2y 2x(* )y - k=02 产0k=2y=2，且(*)式恒成立，故直线 MNS过定点(2, 2).点评：本题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆的位置关系的应用，考查学生的

12、计算能力.6.二次函数f (x) =3x2- 4x+c (xCR)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为。C.(1)求实数c的取值范围；(2)求0C的方程；(3)问GK是否经过某定点(其坐标与c的取值无关)请证明你的结论.考点：圆的标准方程；二次函数的性质；圆系方程.专题：直线与圆.分析：(1)令x=0求出y的值，确定出抛物线与 y轴的交点坐标，令f (x) =0,根据与x轴交点有两个得到 c 不为0且根的判别式的值大于 0,即可求出c的范围；(2)设所求圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0得，x2+Dx+F=0,这与x2-gxU=0是同一个方程，求3 3出D,

13、 F.令x=0得，y2+Ey+F=0,此方程有一个根为 c,代入得出E,由此求得圆C的一般方程；(3)圆C过定点(0,-)和(1)，证明：直接将点的坐标代入验证.|33 3解答：解：(1)令x=0,得抛物线与y轴的交点(0, c),令 f ( x) =3x2 - 4x+c=0 , 由题意知：cwo且。，斛得：cv二且cW0;|3T(2)设圆 C: x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得到x2+Dx+F=Q 这与x2-x+-2=0是一个方程，故 D=- , F三；3 333令 x=0,得至ij y2+Ey+F=0,有一个根为 c,代入得：c2+cE+=0,解得：E= c-1,同3贝U圆 C

14、方程为：x2+y2 一$x一 ( c+=)yu=0;333(3)圆C必过定点(0,工)和(, 1),理由为：3 弓由 x2+y2-x - ( c+-1) y+三=0,333令y=，解彳导:x=0或工，33，圆c必过定点(0, 1)和(乌!).33 3点评：本题主要考查圆的标准方程，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题.7.如图，抛物线M：y=x2+bx (bw0)与x轴交于O,A两点，交直线l : y=x于O,B两点，经过三点O,A,B作圆C.(I)求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；(II )求证：圆C经过除原点外的一个定点；(III )是否存在这样的抛

15、物线 M,使它的顶点与 C的距离不大于圆 C的半径考点：圆与圆锥曲线的综合；圆的一般方程；抛物线的简单性质.专题：计算题.分析：(I)在方程y=x2+bx中.令y=0, y=x,易得A, B的坐标表示，设圆 C的方程为x2+y2+Dx+Ey=0,利用条件 o r Tb - 一一 ,得出，写出圆C的圆心坐标的关系式，从而说明当b变化时，圆C的圆心在定直线y=x+1上.E=b-2(II )设圆C过定点(m n),则m+n2+bm-+ (b-2) n=0,它对任意bwo恒成立，从而求出 m, n的值，从 而得出当b变化时，(I)中的圆C经过除原点外的一个定点坐标；(III )对于存在性问题，可先假设

16、存在，即假设存在这样的抛物线M使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆 C的半径，再利用不等关系，求出 b,若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否 则存在.解答： 解：(I )在方程 y=x2+bx 中.令 y=0, y=x,易得 A ( - b, 0), B (1 - b, 1 - b)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey=0,f b2-bD=0fD=b则.?(Lb)(1 -b)2+ (1 -b)叶(1-b)方。l 方 b-2故经过三点 O, A, B的圆C的方程为x2+y2+bx+ (b-2) y=0,设圆C的圆心坐标为(xo, y),则 Xo=-_k, yo=一刍一?，yo=

17、Xo+1,22这说明当b变化时，(I)中的圆C的圆心在定直线 y=x+1上.(II )设圆 C过定点(m n),贝U m2+n2+bm+ (b 2) n=0,整理得(m+力 b+n2+n2- 2n=0,它对任意bwo恒成立，.吁*。？ 111r 一】或;小,e 2 - 2n=0 1n=l1 口=0故当b变化时，(I)中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为(-1,1).(III )抛物线M的顶点坐标为(- 旦 -且:)，若存在这样的抛物线 M使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆c的半径，则 | 一七三| Jb 2)2 F V 44整理得(b2- 2b) 2 07当m=- 2k时，l的方

18、程为y=k (x-2),直线过点(2, 0),与已知矛盾；当m=-时，l的方程为y=k (x-上)，直线过点(2, 0),?n 7，直线i过定点，定点坐标为(2, 0).点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属 于中档题.=1交于A, C两点，A. C在x轴两侧，B,9. (2013?温州二模)如图.直线 l : y=kx+1与椭圆Ci：D是圆G: x2+y2=i6上的两点.且 A与B. C与D的横坐标相同.纵坐标同号.(I)求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算11ABi - |CD|的取值范围;(II )试问直线BD是否经过一个

19、定点若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由.考点：直线与圆锥曲线的关系；两点间的距离公式.r 22叼+4产1=1622,消掉 Xi 得二专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(I)设A (xi, yi), B (xi, y2),分别代入椭圆、圆的方程可得由yi,y2同号得y2=2yi,设C(x3,y3),D (x3,y4),同理可得y4=2y3,联立直线与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由 A C在x轴的两侧，得yiy3V 0,代入韦达定理可求得k2范围，而11ABi - |CD|=|y i| -2 .|y 3|=|y i+y3|=|k (xi+x3)+2| ,再由韦达te理及 k氾围

20、即可求得答案；(II )由斜率公式求出直线 BD的斜率，由点斜式写出直线 BD方程，再由点A在直线l上可得直线BD方程, 从而求得其所过定点.解答：(I )证明：设 A (xi, yi), B (xi, y2),（22根据题意得:/T。二622町.万，。6.yi, y2同号,1- y 2=2y1,y4=2y3,设 C（X3, y3）, D（X3, y4）,同理可得 . |AB|=|y i| , |CD|=|y 3I ,，二16 y=kx-Fl? （4k2+1） x2+8kx -12=0, 0恒成立,-12. A、C在x轴的两侧，y iy3V 0,/八 /八,2,/、,0,(kxi+1) (kx

21、3+1) =kxiX3+k(X1+X3) +1 =e (0, );5|AB| 一 |CD|曰y i| - |y3|=|y i+y3|=|k (X1+X3) +2|=L-4k,12V2丫1=2k,I II )解：二直线 BD的斜率k，= J1 小- K1直线 BD的方程为 y=2k(X-X1)+2yi=2kX- 2 (kXi-yi),.y 产kXi + 1, .直线 BD的方程为 y=2kX+2 ,，直线BD过定点(0, 2).点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，本题中多次用 到韦达定理，应熟练掌握.10.已知A( - 1, 0), B (2,

22、0),动点M (x, v)满足您工二，设动点 M的轨迹为 C.WI 2(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹 C是什么图形；(2)求动点M与定点B连线的斜率的最小值；(3)设直线l : y=X+m交轨迹C于P, Q两点，是否存在以线段 PQ为直径的圆经过 A若存在，求出实数 m的值；若 不存在，说明理由.考点：轨迹方程；圆方程的综合应用.专题：综合题；探究型.分析：解：(1)先将条件化简即得动点 M的轨迹方程，并说明轨迹 C是图形：轨迹 C是以(-2, 0)为圆心，2 为半径的圆.(2)先设过点B的直线为y=k (x-2).利用圆心到直线的距离不大于半径即可解得k的取值范围，从而得出动点M与定点

23、B连线的斜率的最小值即可；(3)对于存在性问题，可先假设存在，即存在以线段PQ为直径的圆经过 A,再利用PALQA求出m的长,若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在.解答:化简可得(x+2) 2+y2=4.轨迹C是以(-2, 0)为圆心，2为半径的圆(3分)I 一 4k |(2)设过点 B的直线为y=k (x-2),圆心到直线的距离 = 0.士工 (12 分) 22点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系，求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.本题是

24、利用的直接法.直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直 接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.11 .已知定直线l : x= T,定点F (1, 0) , OP经过F且与l相切.(1)求P点的轨迹C的方程.(2)是否存在定点 M使经过该点的直线与曲线 C交于A B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求 出M点的坐标；若没有，请说明理由.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.专题：直线与圆.分析：(1)由已知得点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，由此能求出点P的轨迹C的方程.(2)设AB的方程为x=my+n,代入抛物线方程整理，得：y2-4my- 4n=0,由此利用韦达定理、直

25、径性质能求出直线 AB: x=my+4恒过 M (4, 0)点.解答： 解：(1)由题设知点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等，.点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，.点P的轨迹C的方程为y2=4x.(2)设AB的方程为x=my+n,代入抛物线方程整理，得：y2- 4my- 4n=0,设 A(X1, y , B(X2, y2),则“,六一 如以AB为直径的圆过原点，. OALOB-y 1y2+X1X2=0,y 1y2= - 16,，一4n= - 16,解得 n=4,. .直线 AB: x=my+4恒过 M (4, 0)点.点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否

26、存在的判断与求法，解题时要认真审题，注 意函数与方程思想的合理运用.12.已知动圆 P与圆M: (x+1) 2+y2=16相切，且经过 M内的定点N (1, 0).(1)试求动圆的圆心 P的轨迹C的方程；(2)设O是轨迹C上的任意一点(轨迹 C与x轴的交点除外)，试问在x轴上是否存在两定点 A, B,使得直线 OA 与OB的斜率之积为定值(常数)若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由.考点：圆方程的综合应用；圆与圆的位置关系及其判定.分析：(1)利用动圆P与定圆(X- 1) 2+y2=16相内切，以及椭圆的定义，可得动圆圆心 P的轨迹M的方程；(2)先设

27、任意一点以及 A B的坐标，kQA? kQ=k (常数)，根据轨迹方程列出关于 k、s、t的方程，并求出k、s、t的值，即可求出结果.解答： 解：(1)由题意，两圆相内切，故， |PM|=4 - |PN| ,即|PM|+|PN|=4 . 又 MN=2 4二动圆的圆心 P的轨迹为以 M N为焦点，长轴长为 4的椭圆.22动点P的轨迹方程为 工：乙二1 .q 3 一1(2)设点 Q (xo, yo),则79与 yp为 12 3又口设 A (s, 0), B (t, 0), kQA? kQE=k (常数) Q QA? kQB?其口一5 3c0一，4 一(升 t)配 4q- s+t) Xg+st 整理得(4k+3) xo2 4k (s+t ) xo+4 (kst 3) =0由题意，上面的方程对(-2, 2)内的一切xo均成立.-4k+3=0, 4k (s+t) =0 且 4 (kst 3) =0解得 k= - -, s=2, t= 2,或 s=-2, t=24在x轴上只存在两定点 A (2, 0)、B(- 2, 0)使得直线 QA与QB的斜率之积为定值-W.4点评： 题考查圆的基本知识和轨迹方程的求法以及斜率的求法，