椭圆和双曲线的类似的基本题型prt

1、椭圆和双曲线的类似的基本题型X2222解法二：由题知椭圆9L 1的焦点坐标为4（引5,0），而欲求椭圆和它有相x解法二：由题知双曲线16L 1的焦点坐标为（2/50），而欲求双曲线与4同的焦点，故可设欲求椭圆的标准方程为:2 x 52L 1(m0)，则有:m它有相同的焦点,2故可设欲求双曲线的标准方程为：20 m2仝 1(m0),m941 m 10，所以所求方程为:5mmx21521104-1 m 8，所以欲求双曲线的标准方程为:mx2124注：以上两题属于共焦点的同类曲线问题，虽然用了两种解法，但是原理都是一样的，即利用有相同的焦点坐标。但是值得体会的是椭圆和双曲线对这类题目 的解法也有很多

2、相似之处。3、（椭圆）求过点A（5, 3，B（ 8罟）的椭圆的标准方程（双曲线）求过点 A（2j7,3）, B（ 7,氐迈）的双曲线的标准方程解：设欲求椭圆的方程为 Ax2 By21（A0, B 0），则依题意有解：设欲求双曲线的方程为Ax2By21（AB 0），则依题意有25 A 64 A27 B 1箸B 1可解得 11003628 A 9 B 1 49 A 72 B 1 可解得:Ab丄25175从而所求椭圆的标准方程为:2x1002y- 136从而所求双曲线的标准方程为:2x252y- 175注：以上两题虽然是求两个不同的标准方程，但是我们可以发现，在用待定系数法对方程的假设上，两个是一样

3、的，只是条件有所不同，并且这两个方程这样写出并没有规定所求曲线的焦点在哪个轴上，如果用常规解法，则要讨论焦点在X轴上和焦点在 丫轴上两种情形，而用这种设法就可以避免这类讨论。这是解这类有曲线上两点确定，不能判断焦点所在的位置的标准方程的很简洁的方法。而且针对椭圆和双曲线，两者又有很多相似的地方，值得回味。2x4、（椭圆）已知椭圆 a21( a b 0) , F1, F2为焦点，P为椭圆上 bx2（双曲线）已知双曲线 a2丫2 1(a 0,b 0), F1, F2 为焦点，P 为双b一一占八、5曲线上一点,X证明:2FiF2c2c22c 2aF1P I?|F2 P|F1PF2.2.b sin2b

4、 tanFiPFiPF2F2P2|FiP|?|F2P|?cos F1PF2科FjP |?|f2 p|? 1FiP |?|f2p? 1 cos F1PF24a2 4c22b2试证:证明:S FiPF22b cot2F1PF221 cos FjPF?cos F1PF21jFi p|?|F2 p|?s in F1PF22b21 cos F-i PF2込 b2tanF1PF2F2Ocos F-i PF212 1 cos F-i PF22FiP*XFiPI |F2p|/S222c 2aF2p2 2FiP ?F2p?cos F1PF2cos F1PF2FiF1p?F2 P? 1 cos RPF24c2 4

5、a22b221 cos F1PF2cos F1PF21而 Sfw -|Fip?F2p?sin FiPF2b2sin F1PF2b2 cotF1PF21 cos F1PF2注：以上两题的结论在今后的选择和填空中可以直接应用，而且在历年的高考中都有直接应用的题目。2x5、求椭圆921被点Q(2,1)平分的弦AB所在的直线方程4解：设 A(xi, yi), B(X2 , y2)，则有:2Xi-2求双曲线42X292y24YO2b2-?sin2 1 cos Fi PF22止 1被点Q(3,1)平分的弦AB所在的直线方程42Xi解：设 A(xi, yi), B(x2，y2)，则有：4-2灶 1 C2)F

6、2F1PF24462 2X1 X29_2 2y1y204(Xi X2)(XiX2)(yi y2)(yiy)而X1 X22y1 y221代入式,得:4(X1X2)2( y1y2)yiy2XiX2而恰好是弦AB所在直线得斜率值，所以直线AB得方程为： 討2)即：8X 9y 250，而由点Q(2,1)在椭圆内部可知即为所求。6(Xi2 2X1X24X2)2 2y1y2 04X1 X22y1 y222( yiy2)44而恰好是弦ABy13(X3)即：3xy802 X(3x8)248x248x641444217所以，所求直线3Xyi(XiX2)(XiX2)y2X1X2(yiy2)(yi y)所在直线得斜

7、率值，所以直线AB得方程为： 再将与双曲线方程联立消去y得：22x 12x17080与双曲线有两个不同的交点，满足题意，即8式为所求。注：以上两题也可以用常规解法来做，椭圆和双曲线的解法也类似，但是计算过程相对麻烦许多，而且道理也简单易懂，在此略去不写了。这种解法由于是将 点的坐标设而不求，代入方程作差，利用中点坐标公式巧妙的求出直线斜率，从而简捷的解决问题。这种方法称为“点差法”。但是这种方法对于椭圆只需要验证题目中给出的中点在椭圆内部就可以保证所求直线为所求。而对于双曲线，则要在求出直线方程后与双曲线方程联立，用判别式来判断所求直线是否与双曲 线有两个不同的交点。如果有则是所求直线，若没有

8、，则所求方程不满足。这些验证是必要的，尤其是对双曲线，因为有时用这种方法得到的直线和双曲线根 本就没有交点。这里就不举例了。2 2226（椭圆）已知椭圆专二1内有一点P（1, 1），F2为右焦点，椭圆上（双曲线）已知双曲线 X23一点M，使得MP2|MF2 I的值最小，求 M的坐标1解：由题可知椭圆的离心率为丄，如右图1：2iY1, MP 1MF2解X由题可知双曲线的离心率为1，有一点Q（3,2），F2为右焦点，双曲线Y上一点M，使得的值最小，求M的坐标如右图1:有:怦|MN1才 |MN| 2|MF图1lY有:MF2|2|MN|MNmf2所以：|MP| 2|MF|MP|MN|，故最小值所以：|MP| 1MF2|MP|MN|，故最小值F1是当M,P,N三点共线（见图2）,并且当点M在P,N之F1CPF是当 M , PXN三点共（见图2），并且当点M在P,N之 M时取得。此时点 M的纵坐标和点P的纵坐标相同间时取得。此时点 M的纵坐标和点 P的纵坐标相2为2，将y 2代入双曲线方程可得：x同为1，将y1代入椭圆方程可得:，舍去负值,3得点M坐标为（池，1）即为所求。3舍去负值,得点M坐标为（M21,?）即为所求。3FiPNF2PNF2图2图