层次分析中的判断向量法

1、层次分析中的判断向量法李颖娟 1 赵中奇 21 沈阳大学工商管理学院 沈阳 110041 2.上海交通大学管理学院 上海 200030摘要： 本文提出互反集和判断向量等概念，给出了判断向量一致性的充分必要条件，在此基础上提出层次分析，集标度，判断向量，一致性。一种新的层次分析法。此方法不需进行一致性检验，而且判断次数少，计算简单，具有一定的实用价值。 关键词：Judgment Vector in Analytic Hierarchy ProcessLI Ying-juan 1ZHAO Zhong-qi 21.2.College of Industry and Business Administ

2、ration, Shenyang University, 110041 School of Management, Shanghai Jiaotong University, Shanghai, 200030Abstract: A conception of a set its elements are reciprocal each other is proposed. The sufficient and necessary condition about the consistency of judgment vector is proved. Based on it, we propo

3、se a new analytic hierarchy process. This method needn't be testedncaybout the consiand is very simple in computation. It has definite practical value.Key wards: analytic hierarchy process, set ratio scale, judgementory vector, consistency.引言层次分析法 1,2是一种很有实用价值的方法，但传统方法在建立判断矩阵和进行一致性检验方面比较困难，许多人对此

4、方法正在进行着研究和改进3，4，5。层次分析中的核心问题是建立判断矩阵，判断矩阵是由 决策者给出的一个上三角矩阵，其中，右下角元素 an 1,n 对权重向量的影响最大，它是此行中决策者提供 的唯一信息。由此向上，随着每行元素的增加，每个元素的影响相应的降低。由于判断矩阵的建立是从上至下的，考虑到人的心理与生理因素，人们判断失误的概率随着连续判断次数的增加而增大，这样，影响 最大的元素，判断失误的概率也就越大。 一般地，建立一个n阶判断矩阵，判断次数为n（n 1）/2，当n较大时，工作量是惊人的。一致性检验是层次分析中的必要环节。实际应用中，一般都是凭着大致的估计 来调整判断矩阵，因此不能排除需

5、要多次调整才能通过一致性检验的可能性。这些都给层次分析法的实际 应用带来困难。为克服上述缺点，减少判断工作量，提高判断精度，现提出一种新的层次分析法。该方法与传统方法 的区别是： 对专家给出的判断结果只保留了合理的、 符合一致性要求的结果， 直接构造出满足一致性的 “判 断向量”，据此直接算出各因素的权重值，不必进行一致性检验。判断次数为2（ n-1），当n较大时，比传统方法大大减少了判断工作量，而且运算过程比传统方法简单。1. 新方法的程序步骤设s C,F,V是评判空间，其中F fi，f2， , fn是某层次上的元素，C是其上一层次的中的某元素，即相对于 F 的目标元素， V 是判断向量（由

6、于其取值决定判断矩阵的倒数的数构成的，故称之为互反集。见定义一致性，故称之为判断向量，见定义2）。y是F F到某互反集G （由于该集合是由互为1）上的映射，称三元组 F F,G,y 为标度。因此，标度就是在目标C之下每一对两两比较的元素到互反集G上的映射。记Nm 1,2,m。新方法算法步骤为:步1 :确定因素fk与fk 1相对重要程度的集标度，即确定Gk ,使概率1的相对重要程度。如P(y(fk,fk1) Gk) 1 , k Nn 1。其中 y(fk,fk1)表示 fk与 fk此得到集判断向量 V (G1,G2, ,Gn 1 )。步2 :置kmaxxx G1, D1 G,a1 min x, b

7、1x G3 :确定fk与fk 1之间相对重要程度的点标度(1)(2)y( fk, fk 1) kk DkGk4 :如果转步7,否则转步55 :令ak 1maxak /k,minx步6 :如果Dkbk 1Dk 11Gkmix b, /x| ak 110,则k,maxxbk 1, xGk 1，转步3,否则令DkDk k，转步 3kWkNn(7)步7 :计算因素间的相对权重(6)W11规范化后有Wk n Wk/ Wjj 1Nn(8)2. 新方法的理论证明为证明前面提出的方法的合理性，先给出如下定义:R是标度集；如果G定义1如果数1 G，且对任意x G,有x 0，则称集合G定义2设V (是标度集，且对

8、任意 x G有x 1 G，称G是互反的标度集。1 , 2, n 1 ), i G, i N n 1如果k是因素fk与fk 1的相对重要程度标度值，则称 V是F f1, f2, , fn在G上的判断向量。定义 3 如果 G 是互反的，且对任意的i,j N,有 ajG，对任意 k Nn有aj aikakj其中A (aij )n n，则称矩阵A是标度集G 上一致的。定义 4 如果对任意的 i, j N ，有j1t G 其中 Vti1,2, n 1) ，称向量 V 是标度集 G 上一致的。定义 5 如果存在 Gk G 使概率 P(xk Gk)1 kNn 1 ,则称(G,Gn 1) 为集2, n 1)是

9、一致的，则F在G上的判断矩阵A也是一致的。其中A (aij )n n 。判断向量；称随机变量 Xk为因素集F fi,f2, , fn在标度集G上的集标度。定理1如果因素集F fi, f2，, fn在标度集G上的判断向量 V (1j9)aijtti 1/aji 证明 由定义 3与 4，立即得证。定理 2 设 G 是标度集，Dk G，则Dk 0, kNn 1，其中Dk由(5)式定义。证明 对任意 k Nn 1，显然 Dk，现证明 Dk0。为此只需证明1Dk 。采用数学归纳法， k1 时 D1G ，因 G 是标度集，故有 1D1 。假设 k n2 时，有1 Dn 2，欲证当 k n 1时有 1Dn

10、1 。假设不然，则必有1an 1 (或 1bn 1)。不妨设 1an 1，则1 an 1 =maxan 2/ n 2 , min xxGan 2 /n2Gn 1 ，同理可证 1 bn 1 时由此得 n 2 an 2 ，这与 n 2 Dn 2 Gn 2 矛盾，故必有 1的情况。根据归纳法原理，命题得证。定理 3 设集合 Dkx|akx bk ,x G 。D1 G,1t1,1，i其中akmin x max maxxGi Nk1bkmax x min imNinxGt 1,1 ，则有 Dk Dk , kNn 1 。证 明 应用数学归纳法，k1时，显然有 D1 D1 ；假设k n 2 时有Dn 2Dn

11、 2 欲证当1时，有Dn1 Dn 1 。假设不然，即Dn 1Dn 1 则必有 an 1an 1 或 bn 1bn。不妨设an 1an 1 由（ 3）和an 1 的定义有同理当Dn 1max an 2 /n 2,mx inG xmax min xxGmaxi N n 11, min xxGananbn 1Dn 1定理证明2/ n 2mx iGn ximNanx1n2mx iGn xmin xxGan 2bn 1 时 ，imNanx2maxtimaxi Nn 2 tt 1,1可推出bn 2bn 2。这 与 DnDn 2矛盾，故必是根据归纳法原理，命题得证。V ( 1, n 1) 是标度集Nn 1）

12、由（ 1）与（ 2）确定。由定义由（ 2），j1ti上的判断向量，j1是一致的，其中4 只需证明对任意的 i, j1 Dj 1 G j 1D j 11 bj 1max xxGNnti定理 3）。故Dj1 。因此有max xxGminimNijnt ,1imNinj 2 tmxaGx x imNijn2t121timxaGx x同理可证miGixj因此t这就证明了定理 4。定理1 , 2, n 1 )是 F f1, f2, fn在标度集G上一致的判断向量。则F中元素的相对权重由（8）式给出。 证明 因为V是G上一致的，所以由定理 1知A是G上一致的,A由（9）式定义。记Wj是fi的权重，贝u A

13、的元素ajj可记为Wj / Wj，又因A是一致的,所以 A的任一列都可以作为因素集 F中元素的相对权重向量，不妨取第一列并令W 1，则有由（9）式,由此有注意到W ai1对任意i有aia1iNn3111a211133111an1an 11W,故有W1WjW1211 n 1ai11j 1321Nn 1规范化后有Wj/定理5得证。3. 应用实例分析说明本文方法的应用过程与优点。问题的层次结构如图1,现只考虑因素层 F，取标度集现以三峡移民工程方案评价为例,G=,9，按1中的方法步1得集判断向量为9Vg(1,9, b,1,61 1 1 1 11,7, 1,3, 9,1, 3,6, 5,-, 2,6,

14、 9,-)其中G11,9表示 fi（使搬迁费用最低）f2 （使损失最小）的相对重要程度y(fi , f2)1,9的概率是1,后面以此类推。确定判断向量的过程如表1。表中各值由算法2,1/7，35步2至步6得出。判断向量为(9, 1/5, 2,(1155535(,9,9,1?36,36180'5，1/3, 4，1212163)36, 荷面)于是由（6），（7）得规范化后得0.0314,0.2201,0.0440,(0.2264,0.0252,0.1258,0.0629,0.1321,0.0330,0.0991)即因素层各因素权重按图中先后顺序分别为（0.2264,0.0991）。图1kG

15、kDkGkDkk11,91/9,91,9921/6,61/9,11/6,61/531,75/9,51,5241,35/18,5/25,5/2251/9,15/36,5/45/36,11/763,635/36,35/43,6571/5,1/27/36,7/41/5,1/21/382,621/36,21/42,21/4491/4,1/221/144,21/1621/144,1/21/34.值,次,结论本文提出的新的层次分析法直接构造出一致的判断向量，据此直接算出各因素的权重不必进行一致性检验。由应用实例可以看出，n 10,区间判断向量9个元素，判断91共2(n1)18次。比一般层次分析法 一(n 1)n45少45-18=27次判断，且权重值2表1构造判断向量表的计算非常简单，得出的权重值是很理想的。参考文献1 Satty T L. A Scaling Method for Priorities in Hierarchical Siruchical. J. Math P sychol, 1977; 15(3).AHP和齐次马尔可夫链J。系统工程，2001，1： 142-145王金生。模糊动态AHP及其在水资源系统模糊优化中的应用J。系统工程，2001,342 Satty T L. App lic