动态规划之01背包问题及改进

1、动态规划之-0- 1背包问题及改 进作者:日期:有N件物品和一个容量为 V的背包。第i件物品的重量是 wi,价值是v i 。求解将 哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。在选择装入背包的物品时，对于每种物品i ,只能选择装包或不装包， 不能装入多次，也不能部分装入，因此 成为0 -1背包问题。形式化描述为：给定 n个物品，背包容量C0,重量第i件物品的重量 wi 0，价值V i 0 , 1wiw n.要求找一 n 元向量(X1,X 2,，Xn ,), Xi 0,1,使得 刀(wi * Xi) C, 且刀V i * Xi达最大即一个特殊的整数规划问题。数学描述为:

2、y u.T J ,即第i个物品重量大于背包容量j时，m (i, j)=m ( i +1,j)(2) 当wi = j，即第i个物品重量不大于背包容量j时，这时要判断物品i放入和不放入对m的影响。若不放入物品i,则此时m (i,j)=m(i+ 1 , J ) 若放入物品i,此时背包剩余容量为J - w :i,在子结构中已求出当容量 k= 0,1, 2C 时的最优值 m (i+1 , k )。所以此时 m(i,j)=m( i+1, j-wi: ) + vi。取上述二者的最大值，即m(i, J ) = m a x m (i+1 , j), m (i+1,j- w i )+ vi 总结得出状态转移方程为

3、= 皿+1琼 + 1J - 叫）+ 片叫尸1叭+1J）0勺叫也（血力=该算法的pyth o1 # 0 -1背包问题代码实现:2 _a u th o r_ice5 # 背包容量 Ocapacity，不是 0c a pa c ity- 16 defkn a psac k(weig h t, v alue, capaci t y):if le n( wei ght) != lena lue):print ( pa rameter e r r!r et ur n10b j_nu m =1 en(w ei ght)res u lt = for x inrang e(ob j num)12divide =

4、 min(weight-1, capai ty)14r e s ult -1 .e X te n d(value-1 f o r X:inr an15for i in r e verse d(list(range(1, ob j_num 1 ):1 6divide = min(weig h t i,capa c it y)仃f orj i n ran g e ( d ivide):18resu1 ti.a p p end(resulti+ 1 :j :)19fo r j inr ang e (di v ide,c apacit y +1 )1 3result-1range(di v id e

5、)1 n20res ul t i.appe n d (max(resu 1 ti + 1ge( d iv i de, capac=0 for X1 t y + 1)resu 1ti + 1 j - w eighti +2122re s ult0 =capaci t y: resu1t 1 capacity： 2 3i fwe ight0 2人n时，需要Q ( n *2人n)计算时间。所以，改进算法如下：对于函数m(i, j)的值，当i确定，j为自变量时，是单调不减的跳跃式增长，如图所示。而 这些跳跃点取决于在(物品1，物品1 +1,物品n)中选择放入哪些物品使得在放入重量小于容量j (0v =

6、jd,则(c, 掉受控跳跃点，是为了求得在物品由此计算得出Pn,P n -1, (3) 求P i1 ,即求PiU Qi然后再去掉 受控跳跃点 后的点集。此处有个 受控跳跃点 的概 d)受控于(a,b),所以(c,d )?Pi-1o 去i 1放入后m较大的点，即使m取最优值的跳跃点。,P1。求得P1的最后那个跳跃点即为所求的最优值m(1 ,C)o举个例子n =5,c= 1 0, w= 2,2,6,5, 4,v= 6, 3,5,4,6 。跳跃点的计算过程如下初始时 因此，p6=(0,0)q 6 = p 6 (w5,V 5 )= (4, 6 )p : 5=(0,0), (4,6)q 5 =p5 (w

7、4,v4)=( 5 , 4) , (9, 1 0)4 ),(9, 1 0)10q :4=p4: (0,0),p : 3= q 3 = p3:(6,5)=(6,5),(10, 11)(4 ,6),(9, 1 0) , (10,11)(2 , 3 )= (2,3),(6 , 9) p2=(0, 0), (2, 3), (4,6 ), (6,9), (9, 10),(10, 1q2= p： 2 (2, 6)= ( 2 ,6) ,(4 , 9),(6 , 12), ( 8, 1 5)p ： 1 = (0, 0), (2 , 6 ),(4,9) , (6,1 2 ) , ( 8 ,15)p 1 的最后的

8、那个跳跃点（8 , 15）即为所求的最优值,最后,p y thon代码的实现：C lass Poin t:d e finit(self , x , y )sel f .x = xsel f .y = y0 -1背包问题改进def knapsac k impr o ve( we i gh t, va 1 u e , capacity):i f le n (weigh t) ! = len (v alu e ):pr i nt (para met er err!m(1，C) =15p 4 =(0 ,0) , (4 , 6), (9 , 10) p 5与q 5的并集 p5: Uq： 5=(0, 0

9、),( 4 ,6),(5, 中跳跃点(5,4)受控于跳跃点(4 , 6)。将受控跳跃点(5, 4 )清除后，得到p 4ret u rn12o bj_ nu m = len(w eight)13jump_p oints_pfor a n g e ( o b j _num)14jum p p oin ts qf or xin range (obj_n u m)15ju mp_points p.a pp end (Poin t (0,0)16jump_p o ints _ q . a p p end(Po i n t(w ei g ht : obj_ n um - 1, va 1 u e obj_n

10、u m - 1)fo r i in r ever sed(l is t(range( 1 , o bj_ nu n):18jum p _po int s _p ：i = mer gepo ints(ju mp_p oin ts_ p i +1 , jump_p oi n t s _q i +1)19jump poi n ts q i = Point(po i n t . x + weig h ti - 1,po i nt .y + v a lue :i 1) fo i n t in jump_ points_ p i ifp oin t. x + weig h ti - 1 = c apa c

11、 it y r e sult = merge_p oi n ts(ju m p_p oint sp 1, j u mp _po in ts_q1)ret u r n resul t2 5def m erg e _poi n t s(p oi n ts_x, poi n ts _y):26x_le n = len( po int s _x )27y len =l e n(poi n ts_y)28merg e d_po ints =2 9i = j= 030while T rue:31if i=x_len o r j =y 1 en:32b reak33i f po in ts _ x i .

12、x= p oints_y j. y：36J += 137i += 138else :3 9mergedpoi nt s. a ppe n d (po in ts _y j )40if p oin ts _ y J.y = p o int s_xi .y:4 1i += 142j+ = 143while i merg ed _po int s- 1 .x and p oints _x i.y me rge d_po int s - 1.y :4 5me r ged_p o int s. ap pend(points xi)46i += 14 7whil e jmer ged_po ints-1 .x and p oints_yj.y merged points- 1 .y:49me rg e d_po ints;.a ppe nd( p o int s _y j )5 0j += 151re t urn merge dpo ints52535 4result = kna