含参数的不等式的成立问题

1、解含参数的不等式的成立问题 在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式 恒成立，能成立或恰成立.1. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题的操作程序用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:（1）恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值大于,若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于.（2）能成立问

2、题若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最大值大于,若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最小值小于.（3）恰成立问题若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为,若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为,如果从解题模式看,好象问题很简单,但是,由于试题的结构千变万化,试题的设问方式各不相同,就使得题目变得十分灵活,如何对这类题目进行思辨和模式识别,把问题化归到常见的基本的题型,是高考复习的一个课题. 例题精析： （1）不等式的恒成立问题【例1】已知函数在与时都取得极值()求的值与函数的单调区间()若对，不

3、等式恒成立，求的取值范围。【分析及解】() ，由，得,.，函数f（x）的单调区间如下表：（，）（，1）f（x）00f（x）增极大值减极小值增所以函数的递增区间是与,递减区间是() ，当时，c为极大值，而，则为最大值。要使,恒成立，只需.解得或.【例2】已知向量若函数在区间上是增函数，求t的取值范围.【分析及解】 依定义在区间上是增函数等价于在区间上恒成立;而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立;设进而在区间上恒成立等价于考虑到在上是减函数,在上是增函数,则.于是, t的取值范围.是.【例3】设数列的前n项和为，点均在函数的图像上.（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成

4、立的最小正整数m.【分析及解】（）依题意得，即.当n2时，;当n=1时，-21-1-61-5所以.（）由（）得，故=.因此，使得成立的必须满足,即，即,故满足要求的最小整数为10.需要注意的是，在求得参数的范围时，什么时候有等号，什么时候没有等号？如例1，要使,恒成立，只需，而.解可得的范围， 而例2，要使在区间上恒成立等价于考虑到在上是减函数,在上是增函数,的最大值应在处取得，但是，函数的定义域是一个开区间 ，没有函数值，只是在开区间 上的上确界正因为在取不到值，所以时，仍然有成立，所以应该为.如果本题改为在闭区间上恒成立,则只有,这就是例2的情形.再如例3,第（）问等价于使得恒成立,显然,

5、 没有最大值,但是有是的极限值,这里用极限值代替最大值,此时也需加上等号, 即,.【例4】已知函数在区间上是减函数,求实数的取值范围. 【分析及解】 先看如下的解法:令,要使在区间上是减函数,只要在区间上是减函数,且在区间上.因此,需,的最小值应在时取得,然而,题目给出的是开区间,为此应有 解得.【例5】设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围。【分析及解】这是一个恒成立问题,由于不等式的两边都含有变量,所以可以构造函数于是问题转化为对所有的恒成立对所有的成立.下面求的最小值.令得 减最小值 增由以上, 在上是减函数,而在上是增函数,(1) 若,即,由的单调性可知,在时, ,若,即,由的单调

6、性可知, .此时, 不恒成立.由以上, 实数的取值范围是.【例6】已知函数,其中为参数,且.() 当时,判断函数是否有极值;() 要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;() 若对()中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围.【分析及解】() 当时, ,则函数在上是增函数,所以没有极值.() ,令得.(1) 当时,极大值极小值因此,函数在处取得极小值.解得.因为,所以或.(2) 当时,极大值极小值因此,函数在处取得极小值但是, 与矛盾,此时无解.综合以上, 参数的取值范围是.() 由(), 函数的增区间是和,由题意. 应是它们的子区间.于是有或在这里,出现了不等

7、式,这实际上是恒成立问题,即不等式在时恒成立,求的取值范围.因此,当时,不等式恒成立.解得,由以上, 实数的取值范围是【例7】已知函数，其中是的导函数（）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点【分析及解】只考虑（）.解法1.由题意，这一问表面上是一个给出参数的范围，解不等式的问题，实际上，把以为变量的函数，改为以为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即 令，则对，恒有，即，从而转化为对，恒成立，又由是的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需 即解得.故时，对满足的一切的值，都有.解法2.考虑不

8、等式.由知,于是,不等式的解为 .但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善.为此,设.不等式化为恒成立,即.由于在上是增函数,则,在上是减函数,则所以, .故时，对满足的一切的值，都有.【例8】求与抛物线相切于坐标原点的最大圆的方程.【分析及解】因为圆与抛物线相切于坐标原点,所以,可设.由题意, 抛物线上的点除坐标原点之外,都在圆的外边.设和圆心的距离为,则本题等价于 在的条件下,恒成立.整理式得 于是,本题又等价于式在的条件下,恒成立.即,由得 ,即.所以,符合条件的最大圆的半径是,最大圆的方程为【例9】三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的

9、解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 【分析及解】关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.设.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设其解法相当于解下面的问题：对于,若恒成立,求的取值范围.所以，甲的解题思路与题目,恒成立,求的取值范围的要求不一致.因而, 甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数的图象和的图象,然

10、而,函数的图象并不容易作出.由乙的解题思路,本题化为在上恒成立,等价于时, 成立.由在时,有最小值,于是,.【例10】已知两个函数，其中为实数.()若对任意的，都有成立，求的取值范围； ()若对任意的，都有，求的取值范围.()若对于任意,总存在使得成立，求的 取值范围.【分析及解】 () 令,问题转化为 在 上恒成立,为此只需在上的最小值 即可, 由, 得 或 . , 由, 解得 . ()由题意可知当时,都有. 由 得., , . 由得, , , ,.则, 解得. () 若对于任意,总存在使得成立，等价于的值域是的值域的子集，由()可知，在的值域为，在的值域为，于是，即满足解得。【练习题】1.

11、已知函数.()若此函数在上有意义, ,试求的取值范围.() 若此函数的定义域是,试求的值.2.已知 在区间上是增函数.()求实数的值组成的集合;()设关于的方程的两个非零实根为.试问:是否存在实数,使得不等式对任意及恒成立?若存在,求的取值范围; 若不存在,请说明理由.3.若函数,在区间上为减函数, 在区间上为增函数,试求的取值范围.【练习题参考解答】1.要注意这两问的区别,第()问是指在区间上恒成立,是一个恒成立问题,而第()问求定义域,则要求不等式只能在在区间上成立,而在区间之外都不成立,因此是一个恰成立的问题.() 函数在上有意义,等价于在区间上恒成立,即 恒成立.记,在上是增函数,因此

12、的最大值为.恒成立,等价于于是,的取值范围为.()函数的定义域是,应满足,解这个不等式,得 由得 , ,令 ,解得.对于第()问也可以这样思考:由于在区间上恰成立,则时,必有,即 2.第()问相当于在区间上是增函数, 求实数的取值范围.,由已知, 在区间上是增函数,则等价于对恒成立.即 对恒成立.这是一个含参数的不等式的问题,如何处理这一问题呢?首先是函数思想起了作用.把看作函数！记.要使对恒成立,只要就可以了.所以问题转化为求的最大值.由于时,为减函数, 时,为增函数,因此,又要进行分类讨论.当时,由的图象可以看出,最大. 解不等式组得 当时,由的图象可以看出,最大. 解不等式组得 综合以上

13、得.即.可以知道,在上的最大值只能在区间的端点得到,因此只要解就可以得到.下面研究第()问.关于的方程可以化为.解得 和.由于,所以方程有两个非零实根. 下面计算, 由得=. 本题等价于是否存在,使不等式 对,恒成立. 把看作关于的函数, 则式等价于 由于,则,从而式转化为3,即 对恒成立我们又可以把式的左边看作的函数.记=.若,式显然不成立;若,是的一次函数,这样,要使对恒成立,只要及同时成立即可.解不等式组 得或.所以存在实数,使不等式对任意,恒成立.,其取值范围是. 3.首先对求导数.若在区间上为减函数,则在区间上恒成立,从而在区间上的最大值.即 或解得 .若在区间上为增函数,则在区间上

14、恒成立,从而在区间上的最小值.即或解得 ,综合以上,.3. 不等式的能成立,恰成立和部分成立问题【例1】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 【分析及解】第一个填空是不等式恒成立的问题,设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得第二个填空是不等式能成立的问题. 设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.【例2】设，二次函数若的解集为， ，求实数的取值范围.【分析及解】这是一个题目在不等式成立的前提下，求参数的范围的问题， 这个题目的常规解法是：由题设,. 的两个根为显然,. (1) 当时, (2) 当时, , .于是,实数

15、的取值范围是.因为,题目的条件是只要集合的交集不是空集就可以,即只要不等式在区间有解就可以,这等价于(1) 当时,因为的图象的对称轴，则对，最大， (2) 当时, 在或实现,由,则于是,实数的取值范围是.把函数思想与数形结合思想结合起来，还可获得更简单的解法，即在有解.【例3】已知函数，. 若，且存在单调递减区间，求a的取值范围； 【分析及解】只研究第（I）问.，则因为函数存在单调递减区间，所以有解.由题设可知,的定义域是 ,而在上有解,就等价于在区间能成立,即, 成立, 进而等价于成立,其中.由得,.于是,由题设,所以a的取值范围是【例4】设是函数的一个极值点.（）求与的关系式（用表示），并

16、求的单调区间；（）设，,若存在使得成立，求的取值范围.【分析及解】（），由，得，则.于是令，得，由于是极值点，所以有,则.当时，则在区间上，为减函数；在区间上，为增函数；在区间上，为减函数。当时，则在区间上，为减函数；在区间上，为增函数；在区间上，为减函数。（）由（）知，当时, 在区间上的单调递增，在区间上单调递减，那么在区间上的值域是，而,那么在区间上的值域是如果函数在的值域与在的值域的交集非空，则一定存在使得成立，如果函数在的值域与在的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可.由（）可得,函数在的值域为,又在的值域为,存在使得成立，等价于或，容易证明,.于是, .【例5】(

17、)已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;()已知当的值域是,试求实数的值.【分析及解】 这两问给出的函数的表达式相同,的范围相同,的取值区间也相同,但是,由于设问的含义不相同,所以解题的目标也不相同.本题的第()问是一个恒成立问题, 对任意恒成立等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立.由于在上为增函数,则,所以 .第(问是一个恰成立问题,这相当于的解集是.当时,由于时, ,与其值域是矛盾,当时, 是上的增函数,所以,的最小值为,令,即【例6】已知适合不等式的的最大值为，求实数的值，并解不等式.【分析及解】 这是一个不等式恰成立问题.因为的最大值为,所以,已知不等式化为即 由不等式有解可知

18、,(1)当时,不等式化为 由题设, 有解为,于是有 解得 不等式的解为 .(2)当时, 不等式化为 由题设, 有解为或,于是有 解得 与矛盾,此时无解.由(1),(2),.【例7】已知动直线与椭圆交于两点, 轴上有一动点.令向量,其中a为一个给定的常数(a,且有b|+与共线=.求出a的值.【分析及解】设点A的坐标为,点的坐标为,线段AB中点为M(, ), =与共线等价于与共线, ,由与共线得,即 ,由, 消去y得 , 两根为, . =, , , =.与共线=, 或0,或,于是，且构造函数，则其定义域满足即,或且.因而,这相当于含参数的不等式在定义域内恰成立.即在且,或x时,最小值为. 图象的对

19、称轴是,于是由图象可知:(1) 当,即时,当时最小,最小值为 .+1=3,解得;(2) 当0,即a时, ,此时, 无最小值.由(1)(,(2)得常数. 【例8】()若函数的一个单调增区间为,求的值;()若函数在区间为增函数,求的取值范围.【分析及解】（）是指恰为函数的一个单调增区间，因此，在区间上恰成立,即恰为方程的一个根，解得.（）是指只要是增区间的一个子区间就可以.即在上恒成立,即在上恒成立.【例9】已知，设函数在上单调递减；的解集为.如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.【分析及解】函数在上单调递减，.的解集为在上恒成立如果正确,且不正确,则,如果正确,且不正确,则.由以上, 的取值范围