23.1.1 锐角的三角函数 同步练习

第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数23.1.1锐角的三角函数基础过关全练知识点1正切1.(2023安徽池州期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=4,则tanA的值为()A.43 B.34 C.352.(2023安徽巢湖期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tanB=.

3.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanB=32,BC=23,求AB的长知识点2坡度与坡角4.(2023安徽合肥四十二中期末)如图,要在坡角为α的斜坡上栽两棵树,tanα=13,要求它们之间的水平距离AC为6m,则这两棵树之间的坡面ABA.1m B.9m C.210m D.25m 5.小聪周日跟父母走古道到民生村游玩,在路边看到两块指示牌,如图.若两块指示牌之间的古道坡度均匀,则该段路的坡比是.

6.(2023安徽亳州期末)河堤横断面如图所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比为1∶3,求∠A的度数和AC的长.知识点3正弦、余弦7.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=5,b=12,则sinB的值为()A.512 B.513 C.1258.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则cosB的值等于()A.35 B.45 C.349.在△ABC中,∠C=90°,已知tanA=34,则cosAA.35 B.45 C.3410.如图,在6×4的网格中,每个小正方形的边长均为1,顶点为格点,若△ABC的顶点均是格点,则sin∠ABC的值是()A.55 B.105 C.2511.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=10,sinB=35,则AC等于12.(2023安徽定远月考)已知Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=1213,AC=12,求tanA和BC的值13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的三个三角函数值.知识点4利用平面直角坐标系求角的三角函数值14.如图,在直角坐标系中,P是第一象限的点,其坐标是(3,y),且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是43,求y的值及角α的正弦值能力提升全练15.(2023安徽蚌埠期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=6,则下列结论正确的是(M912301)()A.sinA=13 B.cosB=223 C.tanA=22 16.(2022湖南湘潭中考)中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图),并用它证明了勾股定理,这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形的面积与每个直角三角形的面积均为1,α为直角三角形中的一个锐角,则tanα=()A.2 B.32 C.12 17.(2022江苏扬州中考)在△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,若b2=ac,则sinA的值为.

18.(2023安徽宣城期末)如图,AD是△ABC的高,cosB=12,sinC=35,AC=10,求AD及AB19.(2023安徽五河期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tanB=12,点D在BC上,且BD=AD,求AC的长和tan∠ADC的值20.(2023安徽凤阳期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AC=4,BC=3.(1)求BD的长;(2)求∠ACD的正切值.素养探究全练21.数学老师布置了这样一个问题:如果α,β都为锐角,且tanα=13,tanβ=12.求α+β的度数.甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题.(1)请你分别利用图1,图2求出α+β的度数,并说明理由;(2)请参考以上思考问题的方法,选择一种方法解决下面问题:如果α,β都为锐角,当tanα=5,tanβ=23时,在图3的正方形网格中,利用已作出的锐角α,画出∠MON,使得∠MON=α-β.求出α-β的度数,并说明理由

第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数23.1.1锐角的三角函数答案全解全析基础过关全练1.D如图所示:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=4,∴BC=AB2−∴tanA=BCAC=72.4解析∵∠C=90°,AB=5,BC=3,∴AC=52−32=4,∴tanB=3.解析∵在Rt△ABC中,∠C=90°,tanB=ACBC=32,BC=2∴AC23=32由勾股定理得AB=AC2+BC4.C∵tanα=BCAC=13,∴BC=2m,∴AB=AC2+BC25.7∶24解析由题意得该段路的铅直高度为290-220=70米,该段路的坡面距离为1350-1100=250米,则水平距离为2502−6.解析∵迎水坡AB的坡比为1∶3,∴tanA=BCAC=1∵BC=6米,∴AC=63米.∴在Rt△ABC中,AB=62+(63)27.D如图所示,∵∠C=90°,a=5,b=12,∴c=52+122=13,∴sinB=8.A∵∠C=90°,AB=10,AC=8,∴BC=102−82=6,∴cosB=BCAB9.B∵在△ABC中,∠C=90°,tanA=34,∴BCAC=设BC=3k,则AC=4k,∴AB=BC2+AC∴cosA=ACAB=4k510.A如图,取格点D,连接AD,CD,∵△ABD是直角三角形,∴AB=AD2+BD∴sin∠ABC=ADAB=22511.6解析∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinB=ACAB=3∴AC=sinB·AB=35×10=612.解析∵在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=ACAB=1213,AC=12,∴∴BC=AB2−AC2=5,∴tan13.解析∵在Rt△BCD中,CD=3,BD=5,∴BC=BD2−∵AC=AD+CD=8,∴AB=AC2+BC则sinA=BCAB=445=55,cosA=ACABtanA=BCAC=48=14.解析过点P作PC⊥x轴于C.∵tanα=43,OC=3,∴PC=4,即y=4,则OP=5,∴sinα=4能力提升全练15.B在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=6,则BC=AB2−AC∴sinA=BCAB=426=223,cosB=BCtanA=BCAC=422=22,tanB=ACBC=16.A由题意可得,大正方形的面积为1×4+1=5,设直角三角形的长直角边长为a,短直角边长为b,则a2+b2=5,a-b=1,解得a=2,b=1或a=-1,b=-2(不合题意,舍去),∴tanα=ab=2117.5解析在△ABC中,∠C=90°,∴c2=a2+b2,∵b2=ac,∴c2=a2+ac,由题意可知ac≠0,则等式两边同时除以ac得ca=ac+1,令ac=x,则有1∴x2+x-1=0,解得x1=5−12,x2=经检验,x=5−12是原分式方程的解,∴sinA=ac18.解析在Rt△ACD中,sinC=ADAC=35,∴AD=6.在Rt△ABD中,cosB=BDAB=12,设BD=x,则AB=2由勾股定理得AD=3x,∵AD=6,∴x=23,∴AB=43.19.解析∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tanB=12∴ACBC=12,∴AC设CD=x,则AD=BD=8-x,在Rt△ACD中,根据勾股定理得AD2=CD2+AC2,即(8-x)2=x2+16,解得x=3,∴CD=3,∴tan∠ADC=ACCD=420.解析(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB=AC∵S△ABC=12AB·CD=12AC·∴CD=AC·BCAB=4×35=125.∵tanB=CDBD=ACBC,∴125BD(2)∵AB=5,BD=95,∴AD=AB-BD=16∵CD⊥AB,∴tan∠ACD=ADCD=16512素养探究全练21.解析(1)①如图,取格点M,N,分别连接AM,CM,BN,CN,易知AM=CN,CM=BN,在△AMC和△CNB中,AM∴△AMC≌△CNB,∴AC=BC,∠ACM=∠CBN,∴∠CAB=∠CBA,∵∠BCN+∠CBN=90°,∴∠ACM+∠BCN=90°,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=∠CBA=45°,∴α+β=45°.②设每个小正方形的边长为1,则CE=1,AE=2,BE=2,∴ECBE=12=22,BEAE=22∵∠CEB=∠AEB,∴△CEB∽△BEA,∴∠CBE=∠CAB=α,∴∠BED=∠CBE+∠ECB=α+β,∵DE=DB,∠D