2020届江苏省南通市高考第二次调研数学模拟试卷有答案(加精)

1、/-/南通市高三第二次调研测试数学 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共4 页，包含填空题（共14 题） 、解答题（共6 题） ，满分为160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔填写在答题卡上。3 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。参考公式：柱体的体积公式V柱体Sh，其中S为柱体的底面积，h 为高14 小题，每小题5 分，共计70 分请把答案填写

2、在答题卡相应位置上/-/11， 0， 1， 2， 3 ， A 1， 0， 2e U A 2z1 a i ， z2 3 4 i ，其中 i 为虚数单位若z1 为纯虚数，则实数a 的值为z240， 100 上，其频率分布直方图如图所示，4 题）0.0300.0250.0150.0100.0053 某班 40 名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间则成绩不低于60 分的人数为4 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为C，以线段AC， BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积5 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 大于 32 cm2的概率为6 在 ABC 中，已知AB 1， AC 2， B 45

3、，则 BC 的长为7 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x2 y 1 有公共的渐近线，且经过点3P 2， 3 ，则双曲线C 的焦距为8 在平面直角坐标系xOy 中，已知角x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1 ， 2)， B (5， 1) ，则 tan(） 的值为9设等比数列an 的前 n 项和为Sn若S3，S9，S6成等差数列，且a83，则a5 的值为10 已知 a， b， c均为正数，且abc 4（ a b） ，则 a b c的最小值为x 3，11 在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3 0， 表示的平面区域3 0C 的标准方程为e12 设函数 f (x

4、)1， x 0，2(其中3mx 2 ， x 0e 为自然对数的底数）有3 个不同的零点，则实数m 的取值范围是13 在平面四边形ABCD 中，已知AB 1， BCuuur uuur4， CD 2， DA 3，则 AC BD 的值为14 已知 a 为常数，函数f （x）2 x 2ax 1x2 ，则 a 的所有值为3二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域证明过程或演算步骤1514 分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量a cossinsincos ， c12，2316171 ）若 a2）设如图，在三棱柱端点）求证：b c ，求 sin (56 ， 014 分），且ABC A1

5、B1C1） 的值；a/ b cAB AC，点E ， F 分别在棱BB1 ， CC1上（均异于ABE ACF ， AE BB 1， AF CC11 ）平面AEF平面BB1C1C；2) BC / 平面 AEFA16 题）14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B1，B2 是椭圆x22ay2 1（ a b 0） 的短轴端点，P 是b椭圆上异于点B1， B2的一动点当直线PB1 的方程为y x 3时，线段PB1 的长为4 21 ）求椭圆的标准方程；2）设点 Q 满足：QB1 PB1 ， QB2 PB2 求证：PB1B2与QB1B2的面积之比为定值18 （本小题满分16 分）将一铁块高温融化后制成一

6、张厚度忽略不计、面积为矩形薄铁皮（如图），并沿虚线100dm2 的l1， l2裁剪成A， B， C 三个矩形（B， C 全等） ，用来制成一个柱体现有两种方案：方案：以l1 为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B， C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案：以l1 为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B， C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与l1 或l2垂直）作为正四棱柱的两个底面1）设B ， C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案制成的圆柱的底面，求底面半径；2）设 l1 的长为 x dm，则当x为多少时，能使按方案制成的正四棱柱的体积最大？19 （本小题满分16 分）设等比数列

7、a1， a2， a3， a4的公比为q， 等差数列b1， b2，差为d，且q 1， d 0 记 ciai bi （ i 1， 2， 3， 4） 1）求证：数列c1 ， c2 ， c3不是等差数列；2）设a11 ， q 2 若数列c1 ， c2， c3是等比数列，求b2关于d 的函数关系式及其定义域；3）数列c1 ， c2 ， c3 ， c4 能否为等比数列？并说明理由20 （本小题满分16 分）设函数 f （ x ） x a sin x （ a 0 ） （ 1 ）若函数y f （ x ） 是 R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；l1A（第 18 题）0b3，b4 的公2)设a 21 ，

8、g( x )f(x) bln x 1 (b R， b 0)， g (x)是 g( x)的导函数x0 ， 使 g( x0 ) 0 ；若对任意的x 0 ， g ( x ) 0 ，求证：存在2若 g( x1 ) g( x2 ) ( x1 x2 ) ，求证：x1 x2 4b 南通市高三第二次调研测试数学 （附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共2 页，均为非选择题（第2123 题） 。本卷满分为40 分，考试时间为30 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确填涂

9、考试号。3 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。21【选做题】本题包括A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修4- 1：几何证明选讲 （本小题满分10 分）换T1 ，如图，A， B， C 是 O 上的 3 个不同的点，半径OA 交弦 BC 于点D求证： DB DC OD2 OA28 选修4- 2：矩阵与变换 （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知A（0， 0），

10、 B（3， 0 ）， C（ 2， 2） 设变T2 对应的矩阵1020分别为 M， N，求对ABC 依次实施变换T1 ， T2 后所得图形的面积0201C 选修4- 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点P 2， 为圆心且与直线l ： sin2相切的圆的极坐标方程33D 选修4- 5：不等式选讲 （本小题满分10 分）已知a， b， c为正实数，且a b c 1 ，求证：1 a c 2 2c a 2b【必做题】第22、 23 题，每小题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分10 分）在某公司举行的年终庆典活

11、动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3 3 表格，其中1 格设奖 300 元， 4 格各设奖200 元，其余4 格各设奖100 元，点击某一格即显示相应金额 某人在一张表中随机不重复地点击3 格，记中奖总金额为X 元1 )求概率P( X 600 ) ；2）求X 的概率分布及数学期望E(X)22 题）23 （本小题满分10 分）2n 12(1 x ) a0a1x a2x2n 1 a2n 1xn*N 记Tn( 2k 1)an k k02）化简Tn 的表达式，并证明：对任意的1）求T2 的值；N* ， Tn 都能被4n 2整除南通市高三第二次调研测试数学学科参考答案及评

12、分建议14 小题，每小 题 5 分，共计70 分1 已知集合U 1 ， 0， 1， 2， 3 ， A 1， 0， 2 ，则 eU A 【答案】1 ， 32 已知复数z1 a i ， z2 3 4i ，其中 i 为虚数单位若z1 为纯虚数，则实数a的值为12z2【答案】433 某班 40 名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间40， 100 上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60 分的人数为【答案】300.0300.0250.0150.0100.005频率（第 3 题）4 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为1255 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点C，以线段AC， BC

13、为邻边作矩形，则该矩形的面积大于概率为1【答案】136 在 ABC 中，已知AB 1， AC 2， B 45 ，则 BC 的长为【答案】26227 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x2 y 1 有公共的渐近线，且经过3点 P 2 ， 3 ，则双曲线C 的焦距为【答案】4 38 在平面直角坐标系xOy 中，已知角， 的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点4 题）32 cm2的A（1 ， 2）， B （5， 1） ，则 tan（ ） 的值为2)设5 ， 06，且 a/ b c ，求 的值解： ( 1)因为 a cos ， sinsin ， cos ， c12，【答案】979

14、设等比数列an的前 n 项和为Sn若S3，S9，S6成等差数列，且a83，则a5 的值为【答案】610 已知a， b， c均为正数，且abc 4( a b) ，则 a b c的最小值为【答案】8x 3，11 在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组x 3y 3 0， 表示的平面x 3y 3 0区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为【答案】(x 1)2 y2 4x 2，1 )若 a b c ，求 sin () 的值；，12 设函数 f(x)2(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，3x 3mx 2 ， x 0则实数 m 的取值范围是【答案】1 ，uuur uuur13 在平面

15、四边形ABCD 中，已知AB 1， BC 4， CD 2， DA 3，则 AC BD 的值为【答案】1014 已知 a为常数，函数f(x)x 的最小值为2 ，则 a的所有值为a x21 x23【答案】4， 146 小题，共计90 分15 (本小题满分14 分)sin ， cos在平面直角坐标系xOy 中，设向量a cos ， sin ， b所以 a b c 1 ，且 a b cos sin sin cos sin ()3分a b c ，所以 a b 2 c2 ，即a2 2a b b2 1 ，所以 1 2sin （） 1 1 ，即 sin （）12 6 分（ 2）因为5 ，所以 a y21（ a

16、 b 0 ） 的短轴端点，P 是 b ， 1 622依题意，b c sin12 ， cos238 分a/ b c ，所以23 cos2312sin210化简得，12sin23 cos21 ，所以 sin1 32 12分因为 0 ，所以 2 333所以 ，即 14 分36216 （本小题满分14 分）AC，点E， F 分别在棱BB1 ， CC1 上（均异如图，在三棱柱ABC A1B1C1 中，AB16 题）于端点），且 ABE ACF ， AE BB1， AF CC1求证： （ 1 ）平面AEF平面BB1C1C；（ 2） BC / 平面 AEF证明： （ 1）在三棱柱ABC A1B1C1 中，B

17、B1 / CC1因为 AF CC1，所以 AF BB12 分又 AE BB1， AE I AF A， AE， AF 平面AEF，所以BB1平面AEF5 分7分又因为 BB1 平面BB1C1C，所以平面AEF平面BB1C1C（ 2）因为AE BB1， AF CC1， ABE ACF， AB AC，所以 Rt AEB Rt AFC所以 BE CF9 分又由（ 1 ）知， BE CF所以四边形BEFC 是平行四边形从而 BC EF11 分 又 BC 平面 AEF， EF 平面 AEF，所以 BC / 平面AEF 14 分17 （本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B1，2B2是椭圆

18、x2a椭圆上异于点B1， B2的一动点当直线PB1 的方程为y x 3时，线段PB1的长为4 21 ）求椭圆的标准方程；2）设点Q 满足：QB1PB1 ， QB2 PB2 求证：PB1B2与QB1B2的面积之比为定值解：设 P x0 ， y0 ， Q x1 ， y11）在 yx 3 中，令 x 0 ，得y 3 ，从而 b3所以椭圆的标准方程为2）方法一：2分2 x a2y2y91，32得 x2a2x391所以x06a29 a24分0PB1所以 4 2x02y03 22 x02 6a92 x 18直线 PB1的斜率为kPB1y0x0联立两直线方程，消去所以所以方法二：QB1 PB1 ， 所以直线

19、QB1 的方程为：QB2的方程为：x1x0 ， y0S PB1B2x0QB1B2设直线PB1，在椭圆x0x1a2 182y 1 93，yy06分QB1的斜率为kQB1x0y0x03xy，得x12x181 上，所以12分2 14分PB2的斜率为k，k ，则直线2 y0x0 y03x33 x02 x018PB1QB1 PB1 ， 直线 QB1 的方程为y 1 x 3 k8分10分2y901 ，从而将 y kx 3 代入x2 y 1 ，得2k2 1 x2 12kx 0，189y022 x02y kx 3 所以 kQB2P 是椭圆上异于点B1， B2的点，所以2x0 ， y0 在椭圆 18ky03 y

20、03x0x0联立 y yx00 ，从而x012k2k28分22y91 上，所以x1082y0x02912，得 kPB2，所以直线QB2的方程为y 2kx1x k2kx所以 S PB1B2S QB1B22 y0912k33， 则 x62k ，即x162k32k2 12k2 1x0x112k2k2 16k2k2 12 14分1 ，从而y0210分12分2 x02l1 Bl 2（第 18 题） 0方法一：a x2 ，a 100x即4a ，2x，209分所得正四棱柱的体积V2a xx ， 0 x 2 10， 4400， x 2 10. x11分18 （本小题满分16 分）将一铁块高温融化后制成一张厚度

21、忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线 l1， l2裁剪成A， B， C 三个矩形（B， C 全等） ，用来制成一个柱体现有两种方案：方案：以l1 为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B， C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案：以l1 为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B， C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与l1 或 l 2垂直）作为正四棱柱的两个底面（ 1）设B ， C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案制成的圆柱的底面，求底面半径；2）设 l1 的长为 x dm，则当x为多少时，能使按方案制成的正四棱柱的体积最大？解： （ 1）设所得圆柱的半径为r

22、 dm，则 2 r 2r 4r 100，解得 r 5 2 1 6 分2 12）设所得正四棱柱的底面边长为a dm，/-/3x ， 0 x 2 10，记函数 p（x） 4400 ， x 2 10. x则 p（x） 在 0， 2 10 上单调递增，在2 10 ， 上单调递减，所以当 x 2 10 时， pmax（x） 20 10 所以当 x 2 10 ， a 10 时，Vmax20 10 dm314 分方法二：2a x （本小题满分16 分）设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q 1 ， d 0记ciaibi （i1，2，3，4）（ 1）求证：数

23、列c1 ， c2 ， c3不是等差数列；（ 2）设a1 1， q 2 若数列c1 ， c2 ， c3 是等比数列，求b2 关于d 的函数关系式及其定义域； （ 3）数列c1 ， c2 ， c3 ， c4 能否为等比数列？并说明理由解： （ 1）假设数列c1 ， c2， c3是等差数列，则2c2c1c3 ，即2 a2b2a1b1a3b3因为b1 ，b2 ，b3 是等差数列，所以2b2b1b3从而2a2a1a3 2 分2又因为a1 ， a2 ， a3是等比数列，所以a2a1a3所以a1 a2 a3 ，这与q 1 矛盾，从而假设不成立所以数列c1 ， c2 ， c3 不是等差数列4 分 ，从而 a1

24、0 11 分a所得正四棱柱的体积V a2x a2 2020a 20 10 a所以当 a10， x 2 10 时， Vmax 20 10 dm314 分答： （ 1）圆柱的底面半径为5 2 1 dm；2 1（ 2）当 x 为 2 10 时，能使按方案制成的正四棱柱的体积最大16 分【评分说明】直接“由 x 2x 2x100得， x 2 10 时正四棱柱的体积最大”给 2分；方法一中的求解过程要体现V p（x） 2 10 ，凡写成V p（x） 2 10 的最多得5分，其它类似解答参照给分（ 2）因为a1 1 ， q 2 ，所以 an 2n 1/-/-/-/22c22c1c3，所以2b21 b2d4

25、b2d ，即b23d ，6 分c2 2 b2 0 ，得 d2 3d 2 0，所以d 1且 d 2又 d 0，所以b2 d2 3d ，定义域为dR d 1， d 2，8分3)方法一：q1，设c1， c2， c3， c4成等比数列，其公比为a1 b1 c1 ，10分则a1q b1 d=c1q1，a1q2 b1 2d =c1q1233a1qb1 3d =c1q1 .将 +2得，q1c1 q12，将 +2得，a1q q 1c1q1q121 ， 12 分a10 ，q 1 ，由得c10 ， q11q1 ，从而a1c1 14分代入得b10再代入，得0 ，与 d 0 矛盾所以 c1， c2，c3，c4不成等比

26、数列16分方法二：假设数列c1 ，c2 ，c3 ， c4 是等比数列，则c2c3c1c2c4c310分所以c3c2c2c1c4c3c3c2a3 a2 d a4 a3a2a1da3a2两边同时减1得，a3 2a2 a1 a4 2a3 a2a2a1da3a2d12分a1，a2，a3，a4 的公比为q q 1a32a2a1q a3 2a2a2a1 da3a2a1 d又 a3 2a2 a12a1 q 10 ，所以 q a2 a1da3a2 d ，即q 1 d 014分这与 q1，且 d0 矛盾，所以假设不成立所以数列c1 ， c2，c3， c4不能为等比数列16分20 (本小题满分16 分)设函数 f

27、 ( x ) x a sin x ( a 0 ) 1 )若函数y f ( x ) 是 R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；2)设a12 ， g( x ) f ( x ) bln x 1 ( b R ， b0)， g ( x )是 g( x)的导函数若对任意的x 0，g ( x ) 0，求证：存在x0 ，使 g( x0 )0； 若 g( x1 )g( x2 ) ( x1x2) ，求证：x1 x2 4b2解： ( 1)由题意，f x 1 acosx 0对 x R 恒成立，a 0 ，所以 1 cosx对 x R 恒成立，acosx max 1 ，所以 1 1 ，从而 0 a 1 3分a2)g

28、x x 1 sin x bln x 1 ，所以 g x 1 1 cosx b 22x若 b 0 ，则存在b2 0 ，使 gb21 21 cos 2b0 ，不合题意，所以 b 0 5 分3取 x0 e b ，则 0 x0 1 3此时 g x0x01 sin x0b ln x01 1 1 b ln e b 110 所以存在x00 ，使 g x008 分t ，则 t1依题意，不妨设0 x1x2 ，令x2x1x1sin x1 1)知函数y x sin x单调递增，所以x2sin x2从而x2 x1sin x2sin x1 10 分11gx1g x2 ，所以x12sinx1blnx11x22sin x2

29、bln x2 1 ，所以 b ln x2ln x1x21x12 sin x2sin x1x2x1所以 2b lnxx22 lxn1x1 012分设 htlnxx22lxn1 x1x1 x2 ，即证明tln t1t ，只要证明ln tt1tlnt t 1 tt12t 1 ，所以 h t2t t0在 1，恒成立所以 h t 在 1 ，单调递减，故h t h 10 ，从而得证所以 2bx1 x2 ，即x1x2 4b2 16 分所以 DB DC OD 2 OA2 10分数学 （附加题）21 【选做题】本题包括A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题

30、评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修 4- 1：几何证明选讲 （本小题满分10 分）如图， A， B， C 是 O 上的 3 个不同的点，半径OA 交弦 BC 于点 D求证： DB DC OD2 OA2证明：延长AO 交 O 于点E，则 DB DC DE DA OD OE OA OD 5 分因为 OE OA，所以 DB DC OA OD OA OD OA2 OD 2在平面直角坐标系10M 10， N02解：依题意，依次实施变换T1 ， T2 所对应的矩阵NM2010010220025分200则020020362024，002000224所以A（ 0， 0）， B（3， 0），

31、C（ 2， 2） 分别变为点A（0， 0）， B（6， 0）， C（4， 4）B 选修4- 2：矩阵与变换 （本小题满分10分）xOy中，已知A（0， 0）， B（ 3， 0）， C（ 2， 2 ） 设变换T1 ， T2对应的矩20，求对ABC 依次实施变换T1 ， T2后所得图形的面积0112从而所得图形的面积为21 6 4 12 10 分C 选修4- 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）2 相切的圆的极坐标3在极坐标系中，求以点P 2， 为圆心且与直线l ： sin3方程解：以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy则点 P 的直角坐标为1 ，3 2 分将直线 l ： sin2 的方程变形为：sin cos cos sin 2 ，333化为普通方程得，3x y 4 05分所以 P 1，3 到直线 l ： 3x y 4 0的距离为：4232122故所求圆的普通方程为x 1 y 34 8 分化为极坐标方程得，4sin6 10 分D 选修4- 5：不等式选讲 （本小题满分10 分）a， b， c为正实数，且a b c 1 ，求证：1 a c 2 2c a 2b证明：因为a， b， c 为正实数，所以 1 a c a 2b 3cc a 2b c a 2ba c 2b cac 2 bc2 ac 4 bc ac 2 bc2（当且仅当a b c取“ =”） 1