2020版高考数学大一轮复习-条件概率、二项分布及正态分布讲义(理)(含解析)新人教A版

1、第7节 条件概率、二项分布及正态分布考试要求 1.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，了解条件概率与独立性的关系；2.会利用乘法公式计算概率，会利用全概率公式计算概率；3.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征， 并能解决简单的实际问题；4.了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征|知识邮tn聆I回顾效%西实暴上知识梳理1 .条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A, B为两个事件，且RA)>0,称RB|A)=詈祟=为在事件A发生的条件下，事件P ( A)B发生的条件概率(1)0 w RB|A) W1；(2)如果B和C是两个互斥事件

2、，则P( BU q A) =RB| A)+P(Q A)2 .事件的相互独立性(1)定义：设 A, B为两个事件，如果 P(AB = P(A)P(B),则称事件 A与事件B相互独立.(2)性质：若事件 A与B相互独立，则 A与B, A与B, A与B也都相互独立， RB| A) = P(B), PfA|B)=FA).3 .全概率公式(1)完备事件组：设Q是试验E的样本空间，事件 A, A ，A是样本空间的一个划分，满足： AUA2U U A= Q.A, A2,，A两两互不相容，则称事件 A, A ，A组成样本空间 Q的一个完备事件 组.(2)全概率公式设S为随机试验的样本空间， A1, A,，An

3、是两两互斥的事件， 且有P(A)>0, i =1, 2,，n,21A = S,则对任一事件 B,有RB)=& 1P(A) P(B| A)称满足上述条件的 A, A,，A 为完备事件组.4 .独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中 A(i=1, 2,，n)是第i次试验结果，则R XXX A)= RA)P(A)P(A3)RA).(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件 A发生的概率为p, 则RX= k) = dpk(1- p)nk(k=0, 1,2,，n),此时称随机变量X服从二项分布,记作

4、XR n, p),并称p为成功概率.5 .正态分布(1)正态分布的定义如果对于任何实数 a, b(avb),随机变量X满足RavXw b) = %，(x)dx,则称随机变 a，一 、21(x ,)量X服从正态分布，记为 XN w , /J其中(J)ff( x) = se2-( o- >0). 勺2-2,2(2)正态曲线的性质曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1;曲线是单峰的，它关于直线x=礼对称;曲线在x=处达到峰值_1_2 2 71当一定时，曲线的形状由 (T确定,b越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；b越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散(3)正态总体在

5、三个特殊区间内取值的概率值 P( (1 d <X< (1 + (T) = 0.682 6 ;P( -2(r <X<+ 2 b ) =0.954 4;P( -3(r <X<+ 3(T ) =0.997 4.微点提醒1 .相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB = P(A) R B),互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AU B) = P(A> +P(B».2 .若X服从正态分布，即XN(T2),要充分利用正态曲线的关于直线X=对称和曲线与x轴之间的面积为1.基础自测疑支

6、辨析1 .判断下列结论正误(在括号内打或“X”)(1)相互独立事件就是互斥事件.()(2)对于任意两个事件，公式R AB) = P( A)P( B)都成立.()(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X= k)=Cnpk(1 -p)n k, k=0, 1, 2,，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件 A发生的次数的概率分布.()(4)从装有3个红球，3个白球的盒中有放回地任取一球，连取 3次，则取到红球的个数 X 服从超几何分布.()解析 对于(1),相互独立事件的发生互不影响，而互斥事件是不能同时发生，故 (1)错；对 于(2),只有当A, B为相互独立事件时，公式 R

7、A§ =RA)P(B)才成立；对于(4),取到红 球的个数X服从二项分布.答案 (1) X (2) X (3) V (4) X教材欧&2 .(选彳23P54练习2改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A. 一101B. 一32D 924人， 一，一2A, “第二次拿到红球”为事件 B,依题意P(A)=12o解析 设“第一次拿到白球”为事件12X315，P(AB =10X9 =话生P (AB) 1故A)= P (A) =3答案 B 3.(选彳23P75B2改编)已知

8、随机变量 X服从正态分布 N(3 , 1),且RX>2c1) = RX<c +3),贝U c =.解析XN3, 1), .正态曲线关于x=3对称，且 RX>2c 1) = RKc+ 3), 2c 1 + c+3 = 2X3> . c= . 34答案.3去縻然聆上4.(2018 全国出卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p,各成员的支付方式相 互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4, P(X= 4)<P(X= 6),则 p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3解析 由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符

9、合二项分布，所以D(X)=10P(1 p) = 2.4 ,所以 p=0.6 或 p=0.4.由 P(X= 4)< P( X= 6),得 C4op4(1 p) 6<C6op6(1 p) 4, 即(1 _p)2<p2,所以 p>0.5 ,所以 p= 0.6.答案 B5.(2019 汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等 23则这两个人中恰有一人获得奖的概率分别为力7甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,等奖的概率为(A.4B.|解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得,则所求概率是 2X 1-3 +3X 1-23

10、443512答案 D6.(2019 青岛联考)已知随机变量XN(1 ,屋)，若 P(X>0) =0.8 ,则 P(X> 2)=解析随机变量X服从正态分布 N1 , b2)，正态曲线关于 x= 1对称，P(X>2)= RXW0)= 1-P(X>0) = 0.2.答案 0.2以例求汕苫由聚焦突破考点一条件概率与事件独立性【例1】(1)( 一题多解)从1, 2, 3, 4, 5中任取2个不同的数，事件 A= "取到的2个数之和为偶数”，事件 B= "取到的2个数均为偶数”，则 P(B|A) = ()1A.8121B.4C.5口.2解析,C2+ C2 4 2

11、C2 1 一，m- P(A) 1 “一 u，RAB P(E) “.由条件概率计算公式，得P(B| A)C510 5C5 101P (AB10 1一P (A)24.5法二 事件A包括的基本事件：(1, 3), (1, 5), (3, 5), (2, 4)共4个.事件AB发生的结果只有(2 , 4) 一种情形，即n(AB) =1.故由古典概型概率 R B| A) = n黑 =1.n(A)4答案 B (2)(2019 天津和平区质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2和3.现安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立 . 3 5求至少有一种新产品

12、研发成功的概率；若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获 利润100万元.求该企业可获利润的分布列2解 记E= 甲组研发新产品成功, F= 乙组研发新产品成功,由题设知 P(E)=-, P(E)3=3P(F)=?P(F)=|，且事件E与F，E与FE与F，EMF都相互独立记H 至少有一种新产品研发成功 ，则 k E F,1 22于是 PH) = P(E)FF)=-x-=-, 3 5 15故所求的概率为 R H =2131-PH)=1-=-设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0, 100, 120, 220,因为 RX= 0) = P( EF)122

13、x -=一35 151331RX= 100) = P(EF) =-x-= =-3 515 52 24RX= 120) = PEFi=-X-=-, 3 5 152 362RX= 220) = REFi=3x 5=5.故所求的分布列为X0100120220P2142155155规律方法1.求条件概率的两种方法(1)利用定义，分别求 P(丹和P(AB),得口日内=|黑，这是求条件概率的通法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数 n(A ,再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB，得R B| A)="黑.n( A)2.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利

14、用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【训练1】(1)(2019 珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15 ,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05 ,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为11A.0.05B.0.007 5C.D.36一 _ ，

15、一 ，,_ _ 11 , 一则灯(2) (2018 濮阳二模)如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是 2,且是相互独立的,亮的概率为()B.3D.4解析(1)设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件 B为该雌性个PfAB0.051体成功溯流产卵繁殖，由题意可知 RA) =0.15 , P(A§ = 0.05 RB|A)=曝?=不=%P(A)0.153(2)灯泡不亮包括两种情况：四个开关都开，下边的2个都开，上边的2个中有一个开，1111111111113.灯泡不凫的概率是 2X 2X2X2+ 2X2X2X2+2X-X-X- = ,. 灯亮和灯不亮是两个对立事件,31

16、3，灯凫的概率是1 一6=6.答案(1)C(2)C考点二全概率公式【例2】 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%二厂生产的占50%三厂生产的占20%已知这三个厂的产品次品率分别为2% 1% 1%问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？解 设事件A为“任取一件为次品”，事件B为“任取一件为i厂的产品"，i = 1, 2, 3.BUB2U R=S,由全概率公式得P(A) =P(A| Bi)P(B) + P(A| B2) P( B2) + P( A| R)P(B).RB)=0.3, RB2)=0.5, P(B3)=0.2,RA|B)=0.02, P(A B)= 0.01 ,

17、 P(A| 固=0.01 ,故 P(A) = P(AB)RB)+RA|B2)RB) + P(AE3)P(B3)=0.02X0.3+0.01 x 0.5+0.01 x 0.2= 0.013.规律方法 全概率公式是计算概率的一个很有用的公式，通常把 B, B,，Bn看成导致A 发生的一组原因.如若A是“次品”，必是 n个车间生产了次品；若 A是“某种疾病”，必是几种病因导致 A发生；若A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生(2)如何用全概率公式：将事件分解成两两不相容的完备事件组(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合【训练2】一个盒

18、子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，求第二次取到白球的概率.解 A= 第一次取到白球, B= 第二次取到白球.因为B= ABJ AB,且AB与AB互不相容，所以654 6PB)=P(AEB + P(AE)=P(A)P(B|A) + PA)P(B|A) = -x-+-x9=0.6. 10 9 10 9考点三独立重复试验与二项分布【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490 , 495 , (495 , 500,，(510, 515.由此得到样本的频率分布直方图(如下图)

19、.(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；从该流水线上任取 2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求 Y的分布列.解(1)质量超过505克的产品的频率为 5X0.05+5X0.01= 0.3,所以质量超过505克的产品数量为40X0.3= 12(件).(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过 505克的产品数量为 28件，X的取值为 0, 1, 2,X服从超几何分布C28 63C2G28 28RX= 0)=区=的 RX= 1) =-G2T=65,RX= 2)=11的X的分布

20、列为(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为12 240= 10.X012P63130286511130从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件3数Y的可能取值为0, 1,2,且YB2,*3RY= k) = G2 1-2 kk10，所以 RY= 0) =C0 74910 100'13已丫= 1)=C2-而7102150'Y012P49100215G91GGRY= 2) = C2 10100.，Y的分布列为规律方法利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=

21、k) = dpk(1 p)nk的三个条件：(1)在一次试验中某事件 A发生的概率是 一个常数p； (2) n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了 k次的概率.【训练3】 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人.(1)在被调查的驾驶员中

22、，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取 2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为 X,求X的分布列.解(1)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取 2人的方法总数为 c4g,件数为&区，所以所求的概率记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件 A,则事件A所包含的基本事&区 15X25 25P(A = C2o = 20X39=52,(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车

23、速超过 100 km/h且为男性驾驶员的概率为4010025'故XB 3, 2 .5所以 P(x= 0) = cG| 327透1 2RX= 1)=C3 554125'X0123P2754368125125125125/ 2RX= 2)=536125,33 2RX= 3)=C3 58125.所以X的分布列为考点四正态分布【例4】(1)(2019 郑州模拟)已知随机变量己服从正态分布N(2,(T2),且P(己<4) = 0.8 ,则 R0< 9) = ()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2(2)(2019 茂名一模)设XN1 , 1),其正态分布密度曲线如图所示，

24、那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若 XN )，则 P( w b<XW(r) = 68.26%,P( w2(r<XW+ 2 (t) =95.44%)A.7 539B.6 038C.7 028D.6 587解析 (1)因为随机变量E服从正态分布N(2 , (t2),科=2,得对称轴为x=2, RE<4) =0.8 ,P( >4)= P(<0)= 0.2 ,P(0< E <4) = 0.6.(2) XN(1 , 1) , i = 1,(r = 1. P( l b <X< + b ) =

25、68.26%,.P(0<X<2) = 68.26%,则 P(1<X<2) =34.13%,，阴影部分的面积为1 0.34 13 =0.658 7.向正方形 ABCD中随机投掷 10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000X0.658 7 = 6 587.答案(1)A(2)D规律方法(1)利用3 (T原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的,(T 进行对比联系，确定它们属于 (jib, + d), ( (12(r,(i+2(r), ( 3 o- ,+ 3 (T)中的哪一个.(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要

26、是正态曲线关于直线x= 对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：P(Xv a) = 1 - P(X> a); RXv 林一a) = P(X> 林 + a).【训练4】(2019 淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且XN(800,502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为()(参考数据：若XN(W ,2),有P(<XW+ b) =0.682 6, R 2(r<Xw+ 2 b)=0.954 4 , R 3(T <X<+ 3(T ) = 0.997 4)A.0.977 2 B.0.682 6 C.0.997 4

27、 D.0.954 421 -0.954 4解析 XN(800 , 502) ,P(700<X< 900)= 0.954 4, . P(X>900) =2= 0.0228,P(X< 900)= 10.022 8 = 0.977 2.答案 A反思与政思维升华1 .古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为 RB|8=昆坐="绊，其中，在RA)n(A)实际应用中P(B| A)= n”是一种重要的求条件概率的方法 .n(A)2 .全概率公式的理论和实用意义在于：在较复杂情况下直接计算 P(B)不易，但B总是伴随着某个 A出现，适当地去构造这一组 A 往往可以简化

28、计算.3 .二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位 (1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了 n次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 RX= k) =dpkq，k.其中k=0, 1,，n, q= 1-p.易错防范1.运用公式P(AB=P(A)RB)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A B相互独立时，公式才成立.2.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二

29、项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理|棘心素养提升U现升门数据分析一一三局两胜制的概率问题1 .数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建 模型，进行推断，获得结论.2.教材和考题中涉及到“三局两胜制”的概率计算问题，对于“三局两胜”的比赛赛制其实是有两种：一种是比赛完3局，胜两局的一方获胜；另一种是比赛的一方先获胜两局则比赛 结束，两种不同的赛制对于同一问题的概率计算结果是否一样呢？我们可通过教材的习题对 此问题进行认识.【例

30、题】(选彳2-3P59习题2.2B组1)甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6 ,乙胜的概率为0.4 ,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？你对局制长短的 设置有何认识？解 每局比赛只有两个结果，甲获胜或乙获胜，每局比赛可以看成是相互独立的，所以甲获胜的局数X是随机变量，X服从二项分布.(1)在采用3局2胜制中，X蜕3, 0.6),事件X2表示“甲获胜”.所以甲获胜的概率为 P(X>2)= RX= 2) +RX= 3) = C3X0.6 2X0.4 + 0.6 3=0.648.(2)在采用5局3胜制中，XB(5 , 0.6),事件X>3表示“甲获胜”.所以甲获

31、胜的概率为 P(X> 3)= P(X= 3) +P(X= 4) + P(X= 5) = C3X 0.6 3X 0.4 2+C5X 0.6 4X 0.4 + 0.6 5=0.683. 可以看出采用5局3胜制对甲更有利，由此可以猜测“比赛的总局数越多甲获胜的概率越 大”，由此可以看出为了使比赛公平，比赛的局数不能太少.在这个实际问题背景中，比赛局数越少，对乙队越有利；比赛局数越多，对甲队越有利 拓展延伸先后参赛对比赛公平性的影响拓展1(两方参赛)匣中有3红5黑2白共10个球.现甲、乙二人轮流从匣中取球，甲先 取而乙后取；每人每次取一球且取后不放回 .按规定先取到红球者获胜，而出现白球时为平

32、局.分别求甲获胜、乙获胜和平局的概率 .解甲获胜则必为甲先取到了红球，即：甲取到黑球时乙必取黑球，甲取到红球后比赛马上结束，比赛过程中不会取到白球.记8= "第i次取到黑球"，R= "第i次取到红球”.则R 甲胜)=R R) + P( B8R) + R BBRRR)3 5 4 3 5 4 3 2 3 83=1o+ 10'9 , 8+10 ' 9 , 8 > 7 6= 210，同理可得R乙胜)=慧，P平局)=2. 2105拓展2(三方参赛)甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两局为止，此人即为冠

33、军 .已知每次比赛双方取胜的概率都是0.5 ,现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率解 记事件A, B, C分别为“甲、乙、丙获冠军”，事件 A, B, C分别为“第i局中甲、 乙、丙获胜”.则 P(A) = P(AiAz) + R AGB3AA5) + P(AiG2BAGBAA8) + P( BC2AA4)+ R BGABCAAz)+1 . 1 . 1 . 1 . 1 , 1 .5=22+ 25+ 28+ 24+27+210+-=14.542因为甲、乙两人所处地位是对称的，所以P(B)=P(A)=五，P(C)=1-P(A)-PB)=7.55 2即甲、乙、丙得冠军的概率分别为-> -

34、> ;.14 14 7分层限时塌炼分从出泰力基础巩固题组(建议用时：40分钟)、选择题1.打靶时，甲每打 10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是 (14A.2512B.253D.5解析因为甲每打10次可中靶8次，乙每打，410次可中靶7次，所以P(甲)57P（乙 ） = 10, 4714所以他们都中靶的概率是-170=-答案 A2.(2019 衡水模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是 ()1A. 一 8B.37 D.-8解析三次均反面朝上的概率是1 =1,所以至少一次正面朝上的概率是11=7.288 8答案 D3 .某地区空

35、气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75 ,连续两天为优良的概率是0.6 ,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45解析 记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件B表示“随后一天的空气质量为优良",RA）"75，"0.6.由条件概率，得抽丹=株=黑=0.8.答案 A4 .已知某批零件的长度误差 （单位：毫米）服从正态分布 N（0, 32）,从中随机取一件， 其长度误差落在区间（3, 6）内的概率为（附：若随机变量 E服从正态分布 N w2(T),则 Rw(r<E<w

36、+ (T) = 68.26%, P(2(t<E<w + 2(t) =95.44%.)(A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%解析依题设，XN。，32）,其中=0，b=3. .P(-3<X<3) = 0.682 6 , R 6<X<6) = 0.954 4.因此1R3< X<6) = 2P( - 6<X<6) R 3<X<3)1=2(0.954 4 0.682 6) = 0.135 9 = 13.59%.答案 B5.（2019 厦门二模）袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3

37、次中恰有2次抽到黄球的概率是（）2A.53B.518C.-12554 D.- 125解析袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取 3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率3R = 5,_2 3 2354次中恰有2次抽到黄球的概率是 P= C2 5 1-=.答案 二、填空题6 .已知随机变量 X服从正态分布 N0 , 82),若RX>2) = 0.023，则P(-2<X<2) =. 解析 因为 =0，所以 P(X>2) = RX< 2) =0.023 ,所以 P(-2<X<2)= 1 2X0.023 = 0.954.答案 0.9547 .某次知识竞赛规则如

38、下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8 ,且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了 4个问题就晋级下一轮的概率等于 .解析 记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A,由题意，若该选手恰好回答了 4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，故 P(A) = 1X0.2 X 0.8 X 0.8 = 0.128.答案 0.1288 .某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层有 5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯

39、的概率均为1,用X表示这5位乘客在第20层下电梯的3人数，则RX= 4) =.解析 考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是 5次独立重复试验，故X1B5，3 ,k5-k即有 P(X= k) =Ck 1 X 2, k=0, 1, 2, 3, 4, 5.33_ 4 1 42 10故 R X= 4) = G 3 X 3 = ,4Q.3324310答案243 三、解答题“立定投篮”9.在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试,与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三.小明同学“立定投篮”步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必

40、须投中一次即为合格1 3的命中率为2, “三步上篮”的命中率为 4,假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响.(1)求小明同学一次测试合格的概率;（2）设测试过程中小明投篮的次数为E ,求E的分布列.解 设小明第i次“立定投篮”命中为事件A,第i次“三步上篮”命中为事件B(i =1,132),依题意有P(A)=2，P(B)=4(i = 1, 2), “小明同学一次测试合格”为事件C.(1) P(C) = P(AA) + P(A1A2B1B2) + RABB2)= P(A)P(A2)+P(A1)P(A)P(B1)RR) + P(A) P(B)RB2)P(C)11 -21X -x2

41、31 -421+ 2*1-1964.=1 一6419 4564(2)依题意知己=2, 3, 4,5 F( 己=2) =P(A1B) +RAA) = P(A)P(B) + RA) - P(A2)=-,8P( E =3) =P(ABB)+ RAAB) +P(ABB2)=P( A) P( B1) P( B2) + P(A) P( A2) P( B) +RA1)RB)P(B)=而,R E =4)=P(AAB) = RA)RA2)RB)=行故投篮的次数 E的分布列为:234P5518161610.空气质量指数（AirQuality Index ，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照 AQI大小分为六级：050为优；51100为良；101150为轻度污染;151200为中度污染；201300为重度污染；300以上为严重污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的数据分别为：45, 50, 75, 74, 9390, 117,118, 199, 215. 利用该样本估计该地六月空气质量为优良（AQIW100）的天数;（2）将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为E ,求E的分布列.解（1）从所给数据可以发现样本中空气质量为优的天数为2,空气质量为良的天数为4,该样本中空气质量为优良的频率为36 = 3,10 5