2020版高考数学大一轮复习-第4节数列求和及数列的综合应用讲义(理)(含解析)新人教A版

1、第4节数列求和及数列的综合应用考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、 非等比数列求和的几种常见方法；3.了解数列是一种特殊的函数；4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.知识衍化II鸵胃2；知识梳理i.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n项和公式：n (ai+ an)n ( n 1)22-(2)等比数列的前n项和公式：nai, q=1,S = a1 anq a (1 qn)-h=, q w i.1 - q 1 q 2 .数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 (2)裂项相

2、消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n项和即可用倒序相加法求解 .3 .数列应用题常见模型(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.（3）递推数

3、列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an+1（或者相邻三项等）之间的递推关系，或者&与&+1（或者相邻三项等）之间的递 推关系.微点提醒1.1 +2+3+ 4+ n=n (n+1)22.1 2+22+ n2 =n ( n+1) (2n+ 1)193.裂项求和常用的三种变形111(1) n (n+1) n n+11111(2) (2n1)( 2n+1) = 2 2n 1 . 2n+ 1 .f-1= Jn+ 1 - 5.:n+ n+1基础自测疑误辨析1.判断下列结论正误（在括号内打或“x”）a1 - an+1（1）若数列an为等比数列，且

4、公比不等于1,则其前n项和S.=-.（）1 q, 一，1111当 n>2 时，n=2（三一E）.（） 求S=a+ 2a2+3a3+ nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.（）（4）若数列d, a2-a1,，anan1是首项为1,公比为3的等比数列，则数列an的通项公，一3n 1式是 an = 3-2.（）解析 （3）要分a=0或a= 1或aw。且aw 1讨论求解.答案 （1）， （2） V （3） X （4） V教材近化12 0192.（必修5P47B4改编）数列an中，an=n（n+1）,若an的前n项和为2020,则项数n为（）A.2 018B.2 019D.2

5、 021C.2 020解析 ann ( n+ 1) n n+ 1'n 2 019S=1-2 + 2-3 + + n E =1-nT7=2O20n= 2019.答案 B3.（必修5P56例1改编）等比数列an中，若ai=27,1 a9243q>0, &是其前n项和，则Ss =解析由 a = 27, a9=243知,243=27 - q8,又由-1 ，q>0,解得q = -,所以S6=3697127 1 -1311-3364答案364V4.(2018 东北三省四校二模 )已知数列an满足an+1-an=2, a1 = -5,则| a” + | a2|+|a6| = ()

6、A.9B.15C.18D.30解析由题意知an是以2为公差的等差数列，又a1=5,所以|a1|十|a2|+ |a6|=|5| + |-3|+|-1|+1+3+5=5+3+ 1 + 1+3+ 5= 18.答案 C 5.(2019 北京朝阳区质检)已知数列an, bn的前n项和分别为 S, Tn, bn-an=2n+1, 且 &+丁=2田+产一2,则 2Tn=.解析由题意知 Tn Sn = b1 a1 + b2a2+ bnan=n+2 2,又 S. + Tn=2n+1 + n2-2,所以 2Tn= Tn- S+ S+ T= 2n+2+ n( n+ 1) 4.答案 2 +n(n+1)41n

7、16.(2019 河北“五个一”名校质检)若 f(x) +f(1 x) =4, an = f(0) +f、+ f 一丁*+ f(1)( nCN),则数列an的通项公式为 .1 n-1解析 由 f(x) + f(1 x) =4,可得 f(0) +f(1) =4,，f - +f - =4,所以 2an=f(0) + f(1) + f ； +f n-n + f(1) +f(。) =4(n+1),即 an=2(n+ 1).答案 an=2(n+1)|考点聚焦突破 丑和乐以愎求法考点一分组转化法求和【例1】(2019 济南质检)已知在等比数列an中，a=l,且ai, a2, a31成等差数列. 求数列an

8、的通项公式；(2)若数列bn满足bn=2n-1 + an(n N*),数列bn的前n项和为试比较S与n2+ 2n的 大小.解(1)设等比数列an的公比为q,.1 a1,a2, a31成等差数列,a32 a2= aH- (a3 1) = a3,q = - = 2,a2 . an= a1qn1= 2n1( nC N*).(2)由(1)知 bn=2n1 + an=2n1+2n1,.S=(1 +1) + (3+2) + (5+22) + (2n1 + 2n1)1 + ( 2n 1)2=1 +3+5+ (2n1) +(1 +2 + 22+ 2n一)nn+ m=n2+2n-1.1-2- Sn ( n +

9、2 ) = 1<0, S<n + 2 .规律方法 1.若数列Cn的通项公式为Cn=an±bn,且Hn , bn为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列Cn的前n项和.an, n为奇数，2.若数列Cn的通项公式为Cn= bn, n为偶数，其中数列an, bn是等比数列或等差数列， 可采用分组求和法求an的前n项和.【训练1】 已知等差数列an的前n项和为Sn,且a=1, &+&=&. 求数列an的通项公式；(2)令 bn=(1)n1an,求数列bn的前 2n 项和 T2n.解(1)设等差数列an的公差为d,由 $+&=&可得 a1+a

10、z+a3=a5,即 3a2= a5, 3(1 + d)= 1 + 4d,解得 d = 2.an= 1 + ( n1) X2= 2n 1.(2)由(1)可得 bn= (-1)n 1 - (2n- 1).T2n = 1 3+57+ + (2 n3) (2 n 1) = ( 2) x n= 2n.考点二裂项相消法求和 an+ 1【例2】(2019 郑州模拟)已知数列时的前n项和为且a2=8, S1= - -n-1. 求数列an的通项公式； n ，一 ，2X3 ， 一(2)求数列的前n项和Tn. HnHn + 11 An + 1斛(1) ,-32 = 8, Sn = 2 n1,c 32 - 31 =

11、S1 = 2=2, 2,一3n+13n当 n>2 时，an= $ 一 $1=-2 n1 2n ,即 an+1 = 3an+2,又 32=8=331 + 2,3n+1= 33n + 2, nC N ,3n+ 1+ 1=3(3n+ 1),数列3n+1是等比数列，且首项为 31+1 = 3,公比为3,3n+ 1=3X3 = 3 ,3n= 3 1.2X3n 2X3n 11(2) 3n3n+1= (3n 1) (3n+1 1) =3n-1-3n+1-1. n数列22y-的前n项和 3n3n+ 1_111111Tn= 37-= + /- + 3n-311=2 3n+1-1.规律方法 1.利用裂项相消

12、法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【训练2】 设S为等差数列3n的前n项和，已知 S= 37, 38233 = 3.(1)求 3n；1 一(2)设bn=,求数列bn的刖n项和Tn.发解(1)设数列3n的公差为d,由题意得3ai+3d=ai+6d,(ai+7d) 2 (ai + 2d) = 3,解得 ai = 3, d= 2,an= ai + ( n-1)d = 2n+1., ，口n (n 1)(2)由(1)得$=门21+2d=n(n+2),，bn=,1

13、、=；.n (n+2)2 n n+2Tn= b1 + b2+ bn 1+bn111111112 1 3 + 2 4 + + n-1 n+1 + n n+21 111=2 1 + 2-n+1-n+23 11=42 n+1 + n+2 .考点三错位相减法求和【例3】 已知an是各项均为正数的等比数列，且 & + %=6, a&=a3. 求数列an的通项公式；， ，一， bn ,、，(2) bn为各项非零的等差数列，其刖 n项和为已知Sn+1 = bnbn+1,求数列一的刖n项 an和和解(1)设an的公比为q,由题意知a1 (1 + q) =6, a2q= a1q2,又 an>

14、;0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知：S2n+1 =(2n+1)(b+b2n+1)=(2 n+ 1) bn+1,又 S2n+ 1 = bnbn + 1 , bn +10 ,所以 bn= 2n +1.人bn2n+ 1令 Cn=-,则 Cn=n ,an2因止匕Tn = C1 + C2+ Cn3 5 72n1 2n+1=2+Q+ 212，13 5 72n1 2n+1又2丁尸废+矿+或+2n + 2n+1352n- 1 2Tn=22+23+24+-+ -nTT-,由一，得 , 131112n+ 1两式相减得 2Tn= 2+ 2+ 了+ 2n12n+1 ,雨pi 丁 42n+5所以

15、 Tn= 5 _2n- .规律方法1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列an bn的前n项和时，可采用错位相减法 .2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形(2)在写出“ S”与“ qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“ S qS”的表达式._ . . _ 一 -一、 一一. . . * . .【训练3】已知等差数列an满足:an+1>an(nl N), a1=1,该数列的刖三项分别加上1,1,3后成等比数列，an+210g 2bn=- 1.(1)分别求数列an, bn的通项公式； (2)

16、求数歹U an - bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d,则d>0,由 a1 = 1, a2=1+d, a3=1 + 2d 分别加上 1, 1, 3 后成等比数列，得(2+d) 1111112n-12Tn=2+2x 22+23+24+-+ 2 -nrr-.= 2(4 + 2d),解得 d= 2(舍负)，所以 an= 1 + ( n1) X2= 2n- 1.1又因为 an+ 210g 2bn= 1 ,所以 log2bn= n,则 bn=2n.1(2)由(1)知 an - bn= (2 n-1) - 2n,1 352n-1112Tn=2 + 2X11-22n-12n+1，则

17、Tn=2i+22+23+2n ,22n14+2n13 + 2n, Tn = 1 + 2 - 2n - 12n = 3 2-n= 32"n .考点四数列的综合应用【例4】某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付 4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付 0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？解 设该学生工作n天，每天领工资an元，共领工资 S元，则第一种方案 an(1)=38, S6 =38n；第二种方案 an(2)=4n, S(2)= 4(1 +2+3+

18、+ n) =2n2 + 2n；第三种方案 an(3) = 0.4 x 2 n 1 , Sn(3) = =0.4(2 0-1).1 2令&、S，即38n>2n2+2n,解得n<18,即小于或等于18天时，第一种方案比第二种 方案报酬高(18天时一样高).令 S(1)>S(3),即 38n>0.4 x (2 n-1),利用计算器计算得小于或等于9天时，第一种方案报酬高，所以少于10天时，选择第一种方案.比较第二、第三种方案 ,$0(2)= 220 ,S10(3)= 409.2 ,S°(3)>S0(2),Sn(3) >Sn(2).所以等于或多于1

19、0天时，选择第三种方案.规律方法数列的综合应用常考查以下几个方面：(1)数列在实际问题中的应用；(2)数列与不等式的综合应用；(3)数列与函数的综合应用.解答数列综合题和应用题既要有坚实的基础知识，又要有良好的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再结合其他相关知识来解决问题【训练4】已知二次函数y = f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f' (x) = 6x 2,数列*an的刖n项和为S,点(n, S)(nCN)均在函数y=f(x)的图象上. 求数列an的通项公式；3(2)设bn=，试求数列bn

20、的前n项和Tn.anHn+ 1解 (1)设二次函数 f (x) = ax2+bx(aw0),贝U f' (x) = 2ax+ b.由于 f' (x)=6x 2,彳导 a=3, b= 2,所以 f(x) = 3x22x.又因为点(n, S)(nCN)均在函数y=f(x)的图象上, 所以 S=3n22n.当 n>2 时，an= $ $ i= 3n22n3( n-1)2-2( n-1) =6n5;当 n= 1 时，ai=S = 3xi2-2xi = 6xi- 5,也适合上式，*所以 an=6n-5(n N).33111(2)由(1)得 bn=anan+1 = (6n5) 6 (

21、 n+ 1) 5 = 2 '6n 5- 6n+1 '1.1116n5 6n+11,13n2 1 6n+ 1 =6n+ 1.故l=2 17 + 7 n +思维升华2 .非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.3 .解答数列应用题的步骤(1)审题一一仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模一一将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么.求解一

22、一求出该问题的数学解.(4)还原一一将所求结果还原到实际问题中.易错防范1 .直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2 .在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号3 .解等差数列、等比数列应用题时， 审题至关重要，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解|分层限时询炼分二从出限力基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1 .（2017 全国出卷）等差数列a的首项为1,公差不为0.若a2, 33, a6成等

23、比数列，则an前6项的和为（）A.-24B. -3C.3D.8解析 设an的公差为d,根据题意得32= 32- 36,即（ai+2d）2= （ai +d）（ ai+5d）,解得 d=2,所以数列an的前 6 项和为 S6= 6a + 6d =1X6+ 6x （ - 2） =-24.答案 A2 .数列an的通项公式为an=（ 1）nT （4n 3）,则它的前100项之和S©等于（）A.200B. 200C.400D. 400解析S00=(4X1 3) (4X2 3)+(4X3 3)一(4X100 3)=4X(1 2) + (3 4)+ +(99 100) =4X( - 50) =- 2

24、00.答案 B3.数列an的通项公式是1n+ n+1,前n项和为9,则n等于（A.9B.99C.10D.100解析因为an =所以 Sn=a1+a2+ an = (，n+ 1 3)+ (5-巾1) +十 (乖一也)+ (也一小)= 令,Jn+ 1 -1=9,得 n= 99.答案 B2n 14.（2019 德州调研）已知Tn为数列 一，的前n项和，若m>T10+ 1 013恒成立，则整数 m的最小值为（）A.1 026B.1 025C.1 024D.1 0232n +111解析2n = 1 + 2 ,Ti= n+ 1 2n,T10+1 013 =11-2110+ 1 013 = 1 024

25、 -210,又m>T10+ 1 013恒成立，整数m的最小值为1 024.答案 C5.(2019 厦门质检)已知数列曰满足an+1 + (-1)n+1an=2,则其前100项和为()A.250B.200C.150D.100解析 当n = 2k(kCN*)时，a2k+1a2k=2,当n= 2k1(keN*)时，a2k+a2k1=2,当 n=2k*+ 1(kCN)时，a2k+ 2+a2k+1 = 2,.a2k+1+a2kT = 4,a2k+ 2+ a2k=0,. an的前 100 项和=(a1+ as) + (a97 + a99)+ (a2 + a4)+ (a98 + a100)= 25 x

26、 4+ 25 x 0= 100.答案 D二、填空题6 .已知正项数列an满足a2+1 6a2=an+1an.若a1=2,则数列a的前n项和$=解析 由 an+1- 6a2 = an+1an,得(an+ 1 3an)( an+ 1 + 2an) = 0,又 an>0,所以 an+1 = 3an,又d = 2,所以an是首项为2,公比为3的等比数歹U, 故 S=2工=3n-1.I 3答案3n17 .(2019 武汉质检)设数列( n2+n)an是等比数列，且&=1, a2=2，则数列3 nan的前65415项和为.解析 等比数列( n2+n)an的首项为2a1 = ；,第二项为6a2

27、=故公比为，所以(n2+n) an 3931111n 1111=3, 3=1，所以 =3n (n2+n)，则 3 a0=石=%一二，其前 n 项和为 1 -H，115n= 15 时,1 一=一1 16 16.15答案行8.某棵果树前n年的总产量 S与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为解析 由于平均产量类似于图形过Pi(1 , Si), R(n, SO两点直线的斜率，斜率大平均产量就高，由图可知n=9时割线RF9斜率最大，则 m的值为9.答案 9三、解答题229.求和Sn =x+ 1 + X2+L +X X222Sn= x+x + x?+q + (1)解因

28、为 an+1 = 2+ S(ne N),所以 an=2+S1(n>2),所以 an + 1 an=S S-1=an,所以 an+1 = 2an( n>2).又因为 a2=2+a1 = 4,日=2,所以 a2= 2a1,所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数歹U,n+=x2+ 2 + 2 + x4 + 2 + -4 +*20+2 + -2TiXXX= (x2+x4+ x2n) + 2n+111-2+ -4+ FX X XX2(X2n1) x 2 (1-x-2n)+1+2n(X2n1) (x2n+2+1)X2n X21)+ 2n.当 x=±l 时，S=4n.*10 .设数

29、列an的刖 n 项和为 S, a = 2, an+1 = 2+S(n C N). 求数列an的通项公式；_ ,2、11(2)设bn=1+log 2(an),求证：数列 -的刖n项和Tn<-. bnbn + 16则 an = 2 2 ni=2n(ne N). 2(2)证明 因 bn=1 + lOg2(an),则 bn=2n+1.1111贝I=人bnbn+1 2 2n+1 2n+3 ' 1111111所以 Tn=2 3-5+57+ 21后31 11111=2 3- 2n+ 3 =6- 2 (2n+ 3) <6.能力提升题组(建议用时：20分钟)11 .(2019 广州模拟)已知

30、数列an满足a1=1,an+1-an>2(n N),且&为an的前n项和,则()2A.an>2 n+ 1B.S>nC.an>2n1D.S>2n1解析 由题意得 a2-a1 >2, a3a2>2, a4- a3>2,，an-an 1>2, a2 a+a3 a+a4 a3+ an an 1 2( n 1), an a1 寺 2( n 1),an2 n 1,a1>1, a2>3, a3>5,，an>2 n-1,，a1+a2+a3+ an >1+3 +5+ + ."(ini) =n；答案 B12.某厂

31、2019年投资和利润逐月增加,投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同.已知1月份的投资额与利润值相等,12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润与总投资N的大小关系是（）B. co<NA. 3 >ND.不确定解析投入资金逐月值构成等比数列bn,利润逐月值构成等差数列an,等比数列bn可以看成关于n的指数式函数，它是凹函数，等差数列an可以看成关于n的一次式函数.由于d = b1, a2 = b12,相当于图象有两个交点，且两交点间指数式函数图象在一次函数图象下方，所以全年的总利润3=a1 + a2+ a12比总投资N= b1+b2+ b12大，故选A.答案 A13.已知数列an中，an=4n+5,等比数列bn的公比q满足q=anan1( n>2)且bi=a2,则| bi| + | b2| +| b3| + | bn| =.解析 由已知得bi = a2= 3, q= - 4,.bn=(3)X( 4)1,bn| =3X4 nT,即| bn|