2016年高考数学理试题分类汇编：立体几何(含解析)

1、2016年高考数学理试题分类汇编立体几何一、选择题1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A.考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为 （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析1】 由三视图可知,半球的体积为,四棱锥的体积为,所以该几何体的体积为，故选C【解析2】 考点：根据三视图求几何体的体积.3、（2016年全国I高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等

2、的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17 （B）18 （C）20 （D）28 【答案】A【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是，故选A考点：三视图及球的表面积与体积4、（2016年全国I高考）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，/平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】如图所示： ，若设平面平面，则又平面平面，结合平面平面，故同理可得：故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小而（均为面对交线），因此，即

3、故选A考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角5、（2016年全国II高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20 （B）24 （C）28 （D）32【答案】C【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为由图得，由勾股定理得：，故选C考点： 三视图，空间几何体的体积.6、（2016年全国III高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A） （B） （C）90 （D）81【答案】B考点：空间几何体的三视图及表面积7、（2016年全国III高考）在封

4、闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，则V的最大值是（A）4 （B） （C）6 （D） 【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积二、填空题1、（2016年上海高考）如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于_【答案】【解析】试题分析：由题意得。考点：线面角2、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_【答案】【解析】由题可知， 三棱锥每个面都是腰为

5、2的等腰三角形，由正视图可得如下俯视图，且三棱锥高为，则面积3、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_m3.【答案】2考点：三视图4、（2016年全国II高考） 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）【答案】【解析】试题分析：对于，则的位置关系无法确定，故错误；对于,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由线面所成

6、角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有.考点： 空间中的线面关系.5、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.【答案】 【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为6、（2016年浙江高考）如图，在ABC中，AB=BC=2，ABC=120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .【答案】【解析】中，因为，所以.由余弦定理可得，所以.设，则，.在中，由余弦定理可得.故.在

7、中，.由余弦定理可得，所以.过作直线的垂线，垂足为.设则，即，解得.而的面积.设与平面所成角为，则点到平面的距离.故四面体的体积.设，因为，所以.则.（2）当时，有，故.此时，.由（1）可知，函数在单调递减，故.综上，四面体的体积的最大值为.三、解答题1、（2016年北京高考） 如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，【解析】面面面面，面面面又面取中点为，连结，以为原点，如图建系易知，则，设为面的法向量，令，则与面夹角有假设存在点使得面设，

8、由（2）知，有面，为的法向量即综上，存在点，即当时，点即为所求.考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.【答案】（）见解析；（）【解析】()连结，取的中点，连结， 因为，在上底面内，不在上底面内，EFBACGH所以上底面，所以平面； 又因为，平面，平面，所以平面； 所以平面平面，EFBACO，Oxyz 由平面，所以平面()

9、 连结， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，于是有，可得平面中的向量，,于是得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，设二面角为，则二面角的余弦值为考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力3、（2016年上海高考）将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧。（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小。【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径确定计算后即得.（2）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线与所成的角确定，得出试题解析：（1）由题意可知，圆

10、柱的高，底面半径由的长为，可知，（2）设过点的母线与下底面交于点，则，所以或其补角为直线与所成的角由长为，可知，又，所以，从而为等边三角形，得因为平面，所以在中，因为，所以，从而直线与所成的角的大小为考点：1.几何体的体积；2.空间的角.4、（2016年四川高考）如图，在四棱锥中，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线平面PBE，并说明理由；（II）若二面角的大小为，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【解析】（I）延长，交直线于点， 为中点， ， ， ， 即 ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 面， 面， ，面， 面 故在面上可找到一点使得

11、面.（II）过作交于点，连结，过作交于点， ，与所成角为， ， ，面，且，面，面，且，面，为所求与面所成的角，面，即.为二面角所成的平面角,由题意可得，而,四边形是平行四边形，四边形是正方形， ， ， ， .5、（2016年天津高考）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【解析】（）证明：找到中点，连结，矩形,、是中点，是的中位线且是正方形中心且四边形是平行四边形面面（）

12、正弦值解：如图所示建立空间直角坐标系，设面的法向量得：面，面的法向量（）设得：考点：利用空间向量解决立体几何问题6、（2016年全国I高考）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，且二面角DAFE与二面角CBEF都是（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角EBCA的余弦值【答案】（I）见解析（II）【解析】为正方形面面平面平面由知平面平面平面平面面面,四边形为等腰梯形以为原点，如图建立坐标系，设 ，设面法向量为.，即设面法向量为.即设二面角的大小为.二面角的余弦值为考点：垂直问题的证明及空间向量的应用7、（2016年全国II高考）如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点将沿折到位置，（）证明：平面；（）求二面角的正弦值【答案】（）详见解析；（）.【解析】证明：，四边形为菱形，；又，又，面建立如图坐标系，设面法向量，由得，取，同理可得面的法向量，考点：线面垂直的判定、二面角. 8、（2016年全国III高考）如图，四棱锥中，地面，为线段上一点，为的中点（I）证明平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）见解析；（）设为平面的法向量，则，即，可取，于是.考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积9、（2016年浙江高考）如图,在三棱台中,平面平面,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3