2013高中数学 3-4 第1课时二元一次不等式(组)与平面区域同步导学案 北师大版必修5

1、§4简单线性规划第1课时二元一次不等式（组）与平面区域知能目标解读1.明确二元一次不等式及二元一次不等式组的概念.2.理解二元一次不等式的解集的几何意义是平面内一个区域.3.掌握二元一次不等式（组）所表示的平面区域的画法，特别是边界为实线还是虚线的确定.4.能解决与平面区域有关的一些问题，如平面区域的面积、整点个数等问题.5.能从实际情境中抽象出二元不等式（组），并会用平面区域表示此不等式组.重点难点点拨重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式.探索二元一次不等式（组）表示的平面区域及其画图.难点：怎样确定不等式Ax+By+C0（或0）表示直线Ax+By+C=0的哪一侧区域.学习方法指

2、导1.二元一次不等式（组）的解集二元一次不等式（组）的解集是指满足此二元一次不等式（组）的变量x和y的取值所构成的有序数对（x，y）的集合.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点的集合.这种对应思想，为我们下面用平面区域表示二元一次不等式做好理论上的铺垫.2.二元一次不等式（组）表示的平面区域通过上面的分析，用有序数对表示二元一次不等式（组）的解集，就构成二元一次不等式（组）与直角坐标平面内某个平面区域的一一对应关系.我们知道，坐标平面内的一条直线Ax+By+C=0把整个平面分成三部分，即直线两侧的点集及直线上的点集，它们构成不同的平

3、面区域.把平面内的任一点的坐标（x,y）代入三项式Ax+By+C，得到一个实数，或大于0，或等于0，或小于0.在直线Ax+By+C=0上的点，使Ax+By+C的值都为0；在直线同侧的点使Ax+By+C的符号都相同.根据这一点，我们可以用Ax+By+C0或Ax+By+C0判断代表直线的哪一侧.其方法是：在直线的一侧任取一点（x0,y0），若Ax0+By0+C0,则Ax+By+C0表示这点所在的一侧；若Ax0+By0+C0，则Ax+By+C0表示这点所在直线的一侧的相反一侧.如果C0，我们一般取原点（0，0）作为测试点.简称为直线定界，特殊点定域.一般地，（1）y=kx+b表示的直线将平面分成两部

4、分，即ykx+b表示直线上方的半平面区域，ykx+b表示直线下方的半平面区域，而直线y=kx+b是这两个区域的分界线.（2）对于Ax+By+C0（或0）表示的平面区域可以这样来确定：不等式（A0）区域：在直线Ax+By+C=0B>0B<0Ax+By+C0右上方右下方Ax+By+C0左下方左上方当x的系数小于0时，可通过不等式两边乘以-1的方法转化成上述情况.当A或B为0时，可通过不等式直接确定，对于区域的确定要灵活，如果给定点P（x0，y0），和直线Ax+By+C=0（B0）判断点P在直线哪一侧时，设d=B·（Ax0+By0+C），则d0P在直线上方，d=0P在直线上，d

5、0P在直线下方.3.本节学习的关键就是运用数形结合的思想方法.抓住直线定界、特殊点定域，突破点在直线哪一侧的问题.并熟练地用集合语言对有关问题加以描述.知能自主梳理1.二元一次不等式（组）的概念二元一次不等式是指含有未知数，且未知数的最高次数为的不等式.二元一次不等式组是指由几个总共含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式构成的不等式组.2.二元一次不等式（组）表示的平面区域一般地，直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分为三部分：（1）直线l上的点（x,y）的坐标满足ax+by+c=0;（2）直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c>0.（3）直线l另一侧的

6、平面区域内的点（x,y）的坐标满足ax+by+c<0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点,从值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.在这里，直线l:ax+by+c=0叫做这两个平面区域的边界.一般地，把直线l:ax+by+c=0画成，表示平面区域包括这一条边界直线；若把直线l:ax+by+c=0画成，则表示平面区域不包括这一条边界直线.3.直线两侧的点的坐标满足的条件直线l:ax+by+c=0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子ax+by+c的值具有的符号，并且两侧的点的坐标使ax+by+c的值的符号，一侧都，另一侧都.4.二元一次不等

7、式表示区域的确定在直线l的某一侧任取一点，检测其坐标是否满足二元一次不等式，如果满足，则该点区域就是所求的区域；否则l的另一侧就是所求的区域.如果直线不过，则用的坐标来进行判断，比较方便.答案1.两个12.（x0,y0）ax0+by0+c实线虚线3.相同相反大于0小于04.任取满足所在的这一侧另一侧原点原点思路方法技巧命题方向二元一次不等式表示的平面区域例1画出下列不等式表示的平面区域.（1）2x+y-10<0;（2）y-2x+3.分析对于（1），先画出直线2x+y-10=0(用虚线表示)，再取坐标原点（0,0）代入检验，从而判断出2x+y-10<0表示的平面区域.对于（2），先把

8、y-2x+3变形为2x+y-30的形式，再画出直线2x+y-3=0（用实线表示），取原点（0,0）代入检验，从而判断出2x+y-30表示的平面区域.解析（1）先画出直线2x+y-10=0（画成虚线）,取点（0,0），代入2x+y-10，得2×0+0-10=-10<0,2x+y-10<0表示的平面区域是直线2x+y-10=0的左下方的平面区域，如图（1）所示.(2)将y-2x+3变形为2x+y-30.先画出直线2x+y-3=0（画成实线）.取点（0,0），代入2x+y-3，得2×0+0-3=-3<0，2x+y-30表示的平面区域是直线2x+y-3=0以及其左

9、下方的平面区域,如图（2）所示.说明画二元一次不等式所表示的平面区域的一般步骤为：“直线定界”，即画出边界Ax+By+C=0，要注意是虚线还是实线；“特殊点定域”，取某个特殊点（x0,y0）作为测试点，由Ax0+By0+C的符号确定出所求不等式表示的平面区域.当C0时，通常取原点(0,0)作为测试点.变式应用1画出不等式x+2y-40表示的平面区域.解析先画直线x+2y-4=0(画成虚线）.把原点（0,0)的坐标代入x+2y-4，则0+2×0-4=-40，所以原点在x+2y-40表示的平面区域内，所以不等式x+2y-40表示的区域如图所示中的阴影部分.命题方向二元一次不等式组表示的平

10、面区域 x-y+50例2画出不等式组 x+y0,表示的平面区域.x3分析不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.解析不等式x-y+50表示直线x-y+5=0及其右下方的平面区域， x+y0表示直线x+y=0及其右上方的平面区域，x3表示直线x=3及其左侧的平面区域，所以不等式组x-y+50x+y0，表示的平面区域如图所示.x3说明画不等式组表示的平面区域时，只需作出每一个不等式所表示的平面区域，再求出它们的公共部分即可. x<3变式应用2画出不等式组2yx ,表示的平面区域.3x+2y63y<x+9解析不等式x<3表示直线x=3左侧的平面区域.不等式2y

11、x,即x-2y0表示直线x-2y=0及其左上方的平面区域.不等式3x+2y6，即3x+2y-60表示直线3x+2y-6=0及其右上方的平面区域.不等式3y<x+9表示直线x-3y+9=0右下方的平面区域.所以原不等式组表示的平面区域如图所示.命题方向求平面区域的面积 x-y+60例3 x+y0 ，所表示的平面区域，并求出平面区域的面积.x3分析先画出不等式组表示的平面区域，再求其面积.解析先画出直线x-y+6=0（画成实线），不等式x-y+60表示直线x-y+6=0及其右下方的平面区域.画出直线x+y=0(画成实线)，不等式x+y0表示直线x+y=0及其右上方的平面区域.画出直线x=3（

12、画成实线），不等式x3表示直线x=3及其左侧的平面区域.所以原不等式组所表示的平面区域如图所示.因此其区域面积即为ABC的面积.由于直线x-y+6=0与直线x+y=0垂直，所以ABC为直角三角形. x=3由 ,得B(3,-3).x+y=0x=3由 得C(3,9).x-y+6=0x+y=0由 得A(-3,3).x-y+6=0所以|AB|=6,|AC|=6,所以SABC=|AB|·|AC|=×6×6=36,所以原不等式组表示的平面区域的面积为36.说明 解本题时注意到：ABAC，联立方程组解得A,B,C三点的坐标，经计算求得ABC为等腰直角三角形，从而其面积可求.变式

13、应用3求由不等式y2及|x|y|x|+1所表示的平面区域的面积.解析可将两个原不等式转化成如下两个不等式组: x0, x<0, yx, 或 y-x,yx1, y-x+1,y2, y2.上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示,它所围成的面积为S=×4×2-×2×1=3.命题方向求范围问题例4已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域（包括边界与内部），如图所示.（1）写出表示区域D的不等式组；（2）若点B(-1,-6),C（-3,2）在直线4x-3y-a=0的异侧，求a的取值范围.分析由二元一次不等式组所表示的区域

14、写出相应的不等式组，这本身就是一种创新，其求解过程与画出二元一次不等式组的过程正好互逆.另外，在第（2）问中由B,C两点位于直线4x-3y-a=0的异侧，可知将B,C两点坐标代入代数式4x-3y-a所得的值的符号正好相反.解析（1）由A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)，得直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.原点（0,0）在区域D内，所以表示区域D的不等式组为7x-5y-230x+7y-110 .4x+y+100（2）将B,C的坐标分别代入4x-3y-a,得4×(-1)-3×(-6)-a=14-a,4

15、15;(-3)-3×2-a=-18-a.由题意，知(14-a)(-18-a)<0,解得a的取值范围是-18<a<14.说明点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线Ax+By+C=0同侧的充要条件是Ax1+By1+C与Ax2+By2+C同号；在异侧的充要条件是Ax1+By1+C与Ax2+By2+C异号.变式应用4若点（3,1）和（4,-6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A.(24,7)B.(7,24)C.(-7,24)D.(-24,-7)答案D解析把点(3,1)和（4,-6）分别代入3x-2y+a得7+a，24+a,由题意得(7+a)(24

16、+a)<0.-24<a<-7.探索延拓创新命题方向二元一次不等式组表示实际问题例5某工厂生产甲、乙两种产品，需经过制造和装配两个车间.已知制造车间生产1件甲产品需4小时,生产1件乙产品需3小时,总有效工时为480小时;装配车间生产1件甲产品需2小时,生产1件乙产品需5小时,总有效工时为500小时.若工厂安排生产x件甲产品，y件乙产品，试列出x,y满足的关系，并画出图形.分析将已知数据列成下表：加工时间(小时/件)总有效工时(小时)甲乙车间制造43480装配25500解析依题意，可列出下面的条件：4x+3y4802x+5y500，x,yN+可行域为如图所示阴影部分（不含坐标轴）

17、内的整点.说明用二元一次不等式（组）表示的平面区域来表示实际问题时，可先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示，进而问题中所有的量都用这两个字母表示出来，再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量的实际意义写出所有的不等式，再把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可.变式应用5某家具厂计划每天生产桌椅的数量各不少于12，已知生产一张桌子需用木材0.3方，生产一把椅子需要用木材0.2方，每个工人每天能生产一张桌子或2把椅子，木材每天供应量为12方，工人人数最多时为30人，请你用图形表示每天生产的桌椅数量的取值范围.分析设出桌椅数量x、y,把x、y的限制条件列成不等

18、式组，把不等式组表示的区域画出就是所要求的每天生产桌椅数量的取值范围.解析设每天生产桌子x张，椅子y把，由题意得x12，y12，0.3x+0.2y12，x+30，x,yN,由不等式组画出区域如图阴影部分.(x,y)的取值范围即图中阴影部分的整点.名师辨误做答例6画出二元一次不等式2y-5x-10>0表示的区域.误解作出直线2y-5x-100,即5x-2y+10=0.将（0，0）代入5x-2y+10可得5×0-2×0+10>0,所示区域为含有（0，0）的一侧，如图所示.辨析取特殊点检验时，应代入原式（2y-5x-10），而不能代入变形后的（5x-2y+10）进行检

19、验.正解设F(x,y)=2y-5x-10,作出直线2y-5x-10=0.F(0,0)=2×0-5×0-10-10<0，所求区域为不含（0，0）的一侧，如图所示.课堂巩固训练一、选择题1.不在3x+2y6表示的平面区域内的点是（）A.（0,0）B.（1,1）C.（0,2）D.（2,0）答案D解析只有（2，0）点不满足3x+2y6. yx2.不等式组 x+y1表示的区域为D，点P1（0，-2）,点P2（0，0），则（）y3A.P1D，P2D B.P1D，P2DC.P1D,P2D D.P1D,P2D答案A解析P1点不满足y3，P2点不满足yx,选A.3.表示图中阴影部分的区

20、域的二元一次不等式组为（）x+y-10 x+y-10A. B.x-2y+20 x-2y+20 x+y-10 x+y-10C. D. x-2y+20 x-2y+20答案A解析取原点0（0，0）检验满足x+y-10，故异侧点应为x+y-10排除B、D,O点满足x-2y+20，排除C.二、填空题4.已知集合A=（x,y）|x|+|y|1,B=（x,y）|y2-x20，M=AB，则集合M所表示的平面区域的面积等于.答案1解析如图，A表示的区域为横条阴影部分，B表示的区域为竖条阴影部分，M=AB为阴影重叠部分，其面积为2× ()2=1.5.点（1，2）和点（-1，3）在直线2x+ay-1=0的

21、同一侧，则实数a的取值范围是.答案（-,-)(1,+)解析(2a+1)(3a-3)0,a-或a1.三、解答题6.如图所示,在ABC中,A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),写出ABC区域所表示的二元一次不等式组.解析解法一:由两点式得AB、BC、CA的直线方程并化简.AB:x2y-1=0,BC:x-y+2=0;CA:2x+y-5=0.原点（0,0）不在每条线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组x+2y-10x-y+202x+y-50解法二：由AB的方程及三角形区域在AB右方，得不等式x+2y-10.同理得x-y+20.由CA的方程及三角形区域在CA左方，得不等

22、式2x+y-50. x2y-10从而可得不等式组 x-y+20 .2x+y-50课后强化作业一、选择题1.不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直线x+3y-1=0的（）A.右上方B.右下方C.左下方D.左上方答案C解析画出不等式x+3y-1<0表示的平面区域如图所示.2.不等式x-y+10表示的平面区域是（）答案B解析将点（0，0）代入不等式，得10成立，排除C、D，将点（-2,0）代入不等式，得-10,不成立，排除A，故选B. x0,3.(2011·湖北文，8)直线2x+y-10=0与不等式组 y0,表示的平面区域的公共点有()x-y-2, 4x+3y20A.0个B.

23、1个C.2个D.无数个答案B解析本题考查不等式（组）表示平面区域，考查学生分析问题的能力.不等式（组）表示可行域的画法，“直线定界，特殊点定域”.可行域如图所示.由于-2<-,且直线2x+y-10=0过（5,0）点，所以交点个数为1个，是（5,0）.4.完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2:3，请木工需付工资每人50 元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的约束条件是（） 2x+3y5 50x+40y2000A.B.x、yN =5x+4y200 5x+6y100C. =D. =x、yN答案C解析因为请木工每人工资50元，瓦工每人工资40元

24、，工资预算为2 000元，50x+40y2 000即5x+4y200. x、y表示人数x、yN，答案为C.5.原点和点（1，1）在直线x+y-a=0两侧，则a的取值范围是（）A.a<0或a>2B.a=2或a=0C.0<a<2D.0a2答案C解析根据点（0，0）和点（1，1）位于直线x+y-a=0的两侧可得(-a)(2-a)<0，解得0<a<2.2x+y-606.不等式组 x+y-30，表示的平面区域的面积为（）y2A.4 B.1 C.5 D.无穷大答案B解析如图，作出可行域，ABC的面积，即为所求，易得A(1,2),B(2,2),C(3,0),则SAB

25、C=×1×21. （x-y+1）(x+y+1)07.不等式组 表示的平面区域是（）-1x4A.两个三角形B.一个三角形C.梯形D.等腰梯形答案B解析如图,（x-y+1）(x+y+1)0表示如图A所示的对角形区域.且两直线交于点A（-1，0）.故添加条件-1x4后表示的区域如图B. x+y-108.在平面直角坐标系中，若不等式组 x-10 ,（a为常数）所表示的平面区域的面积ax-y+10等于2，则a的值为（）A.-5B.1C.2D.3答案D y=ax+1解析由 ,得A(1，a+1),x=1 x=1由 ,得B(1,0)，x+y-1=0 y=ax+1由 ,得C(0,1).x+y

26、-1=0SABC=2,且a>-1,SABC=|a+1|=2,a=3.二、填空题9.已知点P（1,-2）及其关于原点的对称点均在不等式2x-by+1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是.答案 (-，-）解析由点P（1，-2）关于原点的对称点为（-1，2），它们均在2x-by+1>0表示的平 2+2b+1>0,面区域内，则 故-<b<-. -2-2b+1>0,10.点P（1，a）到直线x-2y+2=0的距离为，且P在3x+y-30表示的区域内，则a=.答案3解析由题意，得=，a=0或3，又点P在3x+y-30表示的区域内，3+a-30，a0，a=3.11.不等式|x|+|y|2所表示的平面区域的面积为.答案8解析不等式|x|+|y|2等价于不等式组x+y-20(x0,y0)x-y-20(x0,y<0)x-y+20(x<0,y0)x+y+20(x<0,y<0)画出不等式组表示的平面区域如图所示.由图