【2020年高考必备】黑龙江省大庆市高考数学一模试卷(理科)及解析

1、黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1. （5 分）设集合A=- 1, 0, 1, 2, 3 ,B=x| x| l ,则 2x+y 的最大值为（）A. 2B. 5C. 6 D. 74.（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（）A. 2 B. 4 C. 8 D. 125. （5 分）执行如图所示的程序语句，则输出的 s 的值为（）A.丄 B. 1C.斗D.-:乙-w6. （5 分）已知命题 p：直线 li: ax+y+1=0

2、 与b：x+ay+仁 0 平行；命题 q：直线 I:x+y+a=O 与圆 x2+y2=1 相交所得的弦长为 ，则命题 p 是 q （）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既充分也不必要条件7 . （ 5 分）数列an为正项递增等比数列，满足 0z+a4=10 , a32=16,则-:-I,等于（A.- 45 B. 45 C.- 90D. 908.（5 分）若.! . ,是夹角为 60勺两个单位向量，贝 U 向量 1=. 二.二 ； | 的夹角为（）A.30 B.60 C.90D.1202 29.（5分）已知双曲线的一条渐近线过点-，且a b双曲线的一个焦点在抛物线 y2=16

3、x 的准线上，则双曲线的方程为（10. （5 分）已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0, +x）时，f （x）V0.若I亠；11：|_I- j，则a，b， c 的大小关系为（）吕已 戶A.bVavcB.bvcvaC.cvavb D.avcvb11.（5 分）函数 f（x）=2sin（x?）的图象过点 拓，相邻两个对称中心9的距离是 ，则下列说法不正确的是（）3A.f （x）的最小正周期为B.f （x）的一条对称轴为 L-9C. f （x）的图象向左平移二个单位所得图象关于 y 轴对称9D.f （x）在 -上是减函数99有两个解，则实数 a 的取值范围是（）A. B.壬丨善.b0

4、),其焦距为 2,离心率为 嗥r2(1)求椭圆 C 的方程；(2) 设椭圆的右焦点为 F, K 为 x 轴上一点，满足 J “，过点 K 作斜率不为 0 的直线 I 交椭圆于 P, Q 两点，求 FPQ 面积 s 的最大值.(2)设(2an-3) (2bn-8)，数列 g 的前n项和为 Tn,求使不等式_21.(12 分)已知函数 f (x) =1 - ax+lnx(1) 若不等式 f (x) | a| (| 2+x|+| 2 -x|)恒成立，求实数 x 取值 范圈.2018年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60

5、分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1. （5 分）设集合A=- 1, 0, 1, 2, 3 , B=x| x| 2,则 AHB=的值为（）A. - 1, 0, 1 , 2 B. - 2,- 1, 0, 1 ,2 C. 0, 1 , 2 D. 1, 2【解答】解：集合 A= - 1, 0, 1, 2, 3 , B=x| x| 2=x| - 2x 2, AHB=-1,0,1,2.故选：A.2. （5 分）若复数一亠，则 z 在复平面内所对应的点位于的（）1+1A第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解答】解: .复数z在复平面内所对应的点的坐标为（寻-別，位于第四象

6、限.故选：D.yl ,则 2x+y 的最大值为（）A. 2 B. 5C. 6 D. 7yCl【解答】解：作出 x, y 满足r+Ql对应的平面区域如图：（阴影部分）.由 z=2x+y 得 y= - 2x+z,平移直线 y=- 2x+z,由图象可知当直线 y= - 2x+z 经过点 A 时，直线 y= - 2x+z 的截距最大， 此时 z 最大.由，解得A（2, i）,Lyx-1代入目标函数 z=2x+y 得 z=2X2+仁 5.即目标函数 z=2x+y 的最大值为 5.4.（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几伺体的三视 图，则此几何体的体积为（）A. 2 B. 4 C

7、. 8 D. 12【解答】 解： 由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥 S- ABCD 其中， 四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，PD 丄平面 ABCD PD=3,.几何体的体积：V=：一1= :.:=4.故选：B.5.（5 分）执行如图所示的程序语句，则输出的 s 的值为（）模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是 3 兀 50 兀砧/古 +sin +si 的值，.2H .3H. 50 兀 +si n+-+s in4.871、.49 兀.50H【解答】解：o. 7T 2 兀S=si n +sin4S=si n +sin444/ .兀.2. 3 兀=(sin+s in+s in+

8、si n) + sin+si n4444=sin 二+sin44=1+ - .2故选：C.6. （5 分）已知命题 p：直线 li: ax+y+1=0 与 I2： x+ay+仁 0 平行；命题 q：直线 I:x+y+a=O 与圆 x2+y=1 相交所得的弦长为爲则命题 p 是 q （）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既充分也不必要条件【解答】解：当 a=0 时，两直线方程分别为 y+仁 0, x+仁 0,两直线不平行，当 aM0 时，若两直线平行，则满足卫=工,1a 1由=得 a2=1，得 a= 1,由1，得 aM1,即 a=- 1,1 a11即 p: a=- 1,圆心到

9、直线的距离 d= ，半径 r=1,V2直线 I： x+y+a=0 与圆 x2+y2=1 相交所得的弦长为:, r2=d2+（ =）2,2即 1=+，得 a2=1，得 a= 1, 乙则命题 p 是 q 充分不必要条件，故选：A.7 . （ 5 分）数列an为正项递增等比数列，满足 az+a4=10 , a32=16,则-:-I,等于（A.- 45 B. 45 C.- 90 D. 90【解答】解：因为an为正项递增等比数列，所以 anan-10,公比 q 1.因为 a2+a4=10 ，且：=16=as?a3=a2?a4由解得 a2=2, a4=8.又因为a4=a2?q2,得 q=2 或 q=- 2

10、 （舍）.则得 a5=16,a6=32,因为X9_片=452：=90,故选：D8.（5 分）若二是夹角为 60 的两个单位向量，则向量=I二丁2, 的夹角为（ ）A.30 B.60 C.90D.120【解答】解：根据题意，设|、，的夹角为9,又由丁 二;是夹角为 60。的两个单位向量，且=十；则? =（；+ ：）（- .+2. ） =- . .2+2+. ?=,又由 a= （ Ej +亡三），则 Ia|=讥+1 石=兀,b=（-石 +2 云），则币=Vl+4-2=V，则有 cos9二.=丄，I a I I b | 2则9=60;故选：B.2 29.（5 分）已知双曲线的一条渐近线过点-，且az

11、bz双曲线的一个焦点在抛物线 y2=16x 的准线上，则双曲线的方程为（2 2【解答】解：双曲线的渐近线方程为 y=x,a2b2a由一条渐近线过点-.，可得，a双曲线的一个焦点（-c, 0）在抛物线 y2=16x 的准线 x=-4 上,可得 c=4，即有 a2+b2=16，解得 a=2，b=2#.:,2 2则双曲线的方程为=1.412故选：A.10. （5 分）已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0, +x）时，f （x）V0.若t 二十：，：-门】11!_I-L j，则a，b，c的大小关系为（）A.bVavc B. bvcva C. cvavb D.avcvb【解答】解：当 x

12、0，+x）时，f（x）v0，当 x 0，+x）时，函数 f （x）单调递减， f （x）是定义在 R 上的奇函数，函数在（-,+x）上单调递减，a=- f （ln 丄）=-f （- ln2） =f （ln2）,In （丄-）1 门丄=-1,又 In （丄-）v0,则1vln （丄寺）v0, e0.1 1, 0vln2v1,已 e则1vln （丄-厶）1 门 2e0.1,则 f （In （丄-寺）f （ln2）f （e0.1）,ce即 cvavb,故选：C.11.（5 分）函数 f （x） =2sin（x?）的图象过点A；,相邻两个对称中心y的距离是，则下列说法不正确的是（）A. f （x）的最

13、小正周期为一B. f (x)的一条对称轴为9C. f (x)的图象向左平移-个单位所得图象关于 y 轴对称9D. f(x)在=. 一上是减函数99【解答】解：函数 f(x)=2sin(3X)图象相邻两个对称中心的距离是 3 T二二，二 T=二二，解得3=32 333又 f (x)的图象过点.,9二 2sin (3+) =2,9込_3+=+2kn,kZ;92解得 = +2kn,k Z;6令 k=0,得 二,f (x) =2sin (3x+);6f (x)的最小正周期为 T=, A 正确；f (丄-)=2sin (3+ 丄)=-2 为最小值，996f (x)的一条对称轴为 x= , B 正确；9J

14、Tf (X)的图象向左平移个单位，得函数 y=2sin3 (x+ ) + =2sin (3x+) =2cos3x其图象关于 y 轴对称，C 正确；x-g,=时，3x-，丁,3x+T-亍，时，f (x) =2sin (3x+丄)在 一上是增函数，D 错误.699故选：D.J+l,12. (5 分)已知函数 f(x)=J i ,”，若关于 x 的方程 fh-41,Y 応5有两个解，则实数 a 的取值范围是()A.倉丨4- B. 令;丨4-C1 D.【解答】解：设函数 y=f (x)和 y=ax,作出函数 f (x)的图象如图： 要使方程 f (x)- ax=0 有 2 两个解,即函数 y=f (x

15、)和 y=ax 有 2 个不同的交点,- f (- 2) =5, f (5) =| 5/ - 4|=,55当 y=ax 经过点(5,二)时，此时 a=,525当过点(-2,5)时，此时 a=-3,2当直线 y=ax 与 y=x2+1 相切时， y =2x 设切点为(xo, yo), - 2xo0, b0),当且仅当 b=2a=时，等号成立， 则 I 的最小值为2 -.a b故答案为：2 匚.16. (5 分)已知抛物线 C: y2=4x,过其焦点 F 作一条斜率大于 0 的直线 I, I 与 抛物线交于M ,N 两点，且| MF| =3| NF，则直线 I 的斜率为近_.【解答】解：抛物线 C

16、: y2=4x,焦点 F (1, 0),准线为 x=- 1,分别过 M 和 N 作准线的垂线，垂足分别为 C 和 D,过 NH 丄 CM,垂足为 H,设| NF| =x,则 | MF| =3x,由抛物线的定义可知：| NF| =| DH| =x, | MF| =| CM| =3x,I HM| =2x,由 | MN| =4x,/HMF=60，则直线 MN 的倾斜角为 60则直线 I 的斜率 k=tan60T,故答案为：方法二：抛物线 C: y2=4x，焦点 F (1, 0),准线为 x=- 1,设直线 MN 的斜率为 k,则直线 MN 的方程 y=k (x- 1),设 M (xi, yi), N

17、 (X2, y2), 芷，整理得：k2x2- 2 (k2+2) x+k2=0,则 x*-現.尸kd-l)k2由 | MF| =3| NF| ,Tl=3【I,即(1 - xi, - yi) =3(沁-1 , y2), xi+3x2=4 ,整理得：3x2-4x+仁 0,解得：X2h,或 x2= 1 (舍去)，仝则 Xi=3 ,解得：k=:,由 k0,则 k=:故答案为：方法三： 抛物线 C： y2=4x ,焦点 F (1 , 0),准线为 x=- 1 , 设直线 MN 的方程 x=mx+1 ,设 M (xi, yi), N (沁,y2),x=my+l2,整理得：y2- 4my- 4=0 ,则 yi

18、+y2=4m , yiy2= - 4 ,二由 |MF|=3|NF ,Tl=3【I,即(1 - xi, - yi) =3 (x?- 1 , y?),-yi=3y2,即 yi=- 3y2,解得：y2=-, yi=2 :,二 4m=_ ,贝Um=，33直线 I 的斜率为,故答案为：,xix2=1 ,因为 OvAv n,所以二5；,三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (12 分)设函数 y=f(x)的图象由 y=2sin2x+1 的图象向左平移-个单位得到.12(1) 求 ffx)的最小正周期及单调递增区间：(2)在厶 ABC 中，a,b,c,

19、6 分别是角 A, B, C 的对边，且 f (A) =2, b=1, 一*二,求 a 的值.【解答】解：(1) y=2sin2x+1 的图象向左平移个单位得到-的 图象，函数最小正周期 T=n解得：二所以 y=f (x)的单调增区间是| -. I |二：.(2)由题意得：U 二匚 L，则有二厂：由._. - .: 1.1. .及b=1得，c=4根据余弦定理，J -.-：!_ TI - -,所以-=vn.18. （12 分）已知数列an的前 n 项和为,点（n, Sn）在曲线数列bn满足 bn+bn+2=2bn+1，匕4=11, bn的前 5 项和为 45.（1）求 &，bn的通项公式

20、；（2） 设一1.，数列Cn的前 n 项和为 Tn，求使不等式:丄恒成立的最大正整数 k 的值.【解答】解：（1）由已知得：-丄n 22当n=1时，二丄-：-：当n2时，I -. 一一门二丄 * ： |TT1：- I =n+2,当 n=1 时，符合上式.所以 an=n+2.因为数列bn满足 bn+bn+2=2bn+1，所以bn为等差数列.设其公差为rb4=b1+3d=U5b?=5（b+2d） = 45所以 bn=2n+3.2(aS+l)(2n-l)一4 2n-l 2n+l11-_ _十4、2n+l 2n+3；2 (2n+l)(2n+3)所以Tn是递增数列.所以：，-,故 ：恒成立只要-.恒成立

21、.d.，解得5一(2片-3) (2bn-8) (2n+l)(4n-2)T丄(i丄丄丄+ 4 3垢5因为.-12n-l 2n+l1n 54 654所以 kv9,最大正整数 k 的值为 8.19.(12 分)已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为正方形，PU 上面 ABCD 且PA=AB=2 E 为 PA 的中点.(1) 求证：PC/ 面 BDE(2) 求直线 DE 与平面 PBC 所成角的余弦值.【解答】(1)解：连接 CA 交 BD 于 0,连接 0E因为 ABCD 为正方形且 AC, BD 为对角线，所以 0 为 CA 的中点，又 E 为 PA 的中点，故 0E 为 APAC 的中位

22、线，所以 0E/ PC,而 0E?面 BDE, PC?面 BDE故 PC/ 面 BDE(2)以 A 为原点，AB, AD, AP 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系A- xyz.则 B (2, 0, 0), D (0, 2, 0), C (2, 2, 0), E (0, 0, 1), P (0, 0, 2), 所以._- , h -,设平面 PBC 的法向量二(监员 D,则壮逻 F 即厂一日，tn-BC=0 I尸0令 Z=1，则法向量:II, 一 ,设直线 DE 与平面 PBC 所成角为 9,I；元 | 二V15InllDEl-1020.(12 分)已知椭圆 C：弓+更|二

23、1 (ab0),其焦距为 2,离心率为平(1) 求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆的右焦点为 F, K 为 x 轴上一点，满足 H,M 点 K 作斜率不为 0 的直线 I交椭圆于 P, Q 两点，求 FPQ 面积 s 的最大值.【解答】解：(1)因为椭圆焦距为 2,即 2c=2,所以 c=1,匸 M，所以 a=, 从而 b2=a2-c2=1,2所以，椭圆的方程为+y2=1.(2)椭圆右焦点 F( 1, 0),由 0K=20F 可知 K (2, 0),直线 I 过点 K (2 , 0),设直线 I 的方程为 y=k (x-2),心 0 ,二DE故直线 DE 与平面 PBC 所成角的余弦值二_将直线

24、方程与椭圆方程联立得(1+2/) x2- 8k2x+8k2- 2=0.2 2设 P (Xi, yi), Q (X2, y2),则 屮心二池,尙牝二盹飞1已l+2kz1 zl+2kz由判别式厶=(-8k2)2-4 (2k2+1) (8k2- 2) 0 解得 k2v丨.点 F (1, 0)到直线 I 的距离为 h，则-丄,硏S=7-|PQ|h=-p/lT2+lI口-七卜令 t=1+2k2，则 1vtv2,则,当亠-二时，S 取得最大值.t4此时 L -66S 取得最大值.421.(12 分)已知函数 f (x) =1 - ax+lnx(1) 若不等式 f (x) h (X)max.X由；可知，h

25、(乂)在(0, 1)上单调递增，在(1, +X)上单调递减,xh (X)在 X=1 处取得最大值，且 h (X)max=h ( 1 ) =1 .所以 ah (x)max=1，实数 a 的取值范围是1,+x).(2)由(1)可知，a 1，当 a=1 时，f (x) =1 - x+lnx，g (x) =x (x- Inx)- k (x+2) +2=x - xlnx- k (x+2) +2，g (x)在区间 一上恰有两个零点，即关于 x 的方程 x2- xlnx-k (x+2) +2=0 在区间丄 J 上恰有两个实数根.2整理方程得计22令17八+3工-ZlrixT(x+2)2令 (x) =x2+3

26、x - 2lnx- 4，：, I则“ 一丄xZ于是 x) 0， (x)在* 8上单调递增.因为 (1) =0,当二丄时， (x)v0,从而 s (x)v0, s (X)单调递减，当 x( 1, 8时， (x)0,从而 s (x) 0, s (x)单调递增， 十孕，s (1) =1, = V-二二,因为. ,所以实数 k 的取值范围是：. - .105证明(3)由(1)可知，当 a=1 时，有 x- 1 lnx,lnx+1当且仅当 x=1 时取等号.令二一，则有7】：.=，其中 k N*, k2.整理得：-一丄:当 k=2, 3,，n 时， ，訂w丄，二-,2-1 23-1 3n-1 n上面 n - 1 个式子累加得：.- . n N*且 n2,2叶即:_.命题得证.n请考生在 22、23 两题中任选一题作