(整理)微分方程期末考试卷与答案

1、精品文档精品文档常微分方程期末考试试卷(3 3)班级_ 学号_ 姓名_成绩_一、填空(每格 3 3 分，共 3030 分)1 1、方程M(x, y)dx N ,x )y有y只含y的积分因子的充要条件是2、 _ 称为黎卡提方程，它有积分因子 _。3、 _ 称为伯努禾寸方程，它有积分因子 _ 。4、 若X!(t),X2(t)l,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是O5、形如_ 的方程称为欧拉方程。6、若(t)和(t)都是x= A(t)x的基解矩阵，则 (t)和,(t)具有的关系是7、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为 _ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。计算

2、题( (每题 1010 分. .共 6060 分) )38 8ydx -（x y ）dy = 09 9、x x = si nt一cos2t1111(dy)4xydy8y2=0=0。dxdx1212、 求伯努利方程 理=6=6 丿-xy2的通解。dx x1313、 求方程= x y2经过(0 0, o o)的第三次近似解。dx三、证明. .(1010 分)1414、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。1，试求方程组x -4Ax的解(t), (0)二并求 expAtexpAt。1010、精品文档精品文档常微分方程期末考试试卷(4 4)班级_ 学号_ 姓名_成绩_-、填空(每格 5 5 分，共 3

3、030 分)1 1、 形如_ 的方程，称为变量分离方程，这里. .f(x)(y)分别为 x.yx.y 的连续函数。2 2、 形如_ 的方程，称为伯努利方程，这里P(x).Q(x)为 x的连续函数.n.n-0.1 是常数。弓 I 入变量变换 _,可化为线性方程。3 3、 如果存在常数L - 0,使得不等式 _对于所有(x, yj(x, y2) R 都 成立 L 称为 利普希 兹函数f (x, y)称为在 R R 上关于y满 足利普希兹条件。4 4、 形如_的方程，称为欧拉方程，这里a1,a2,是常数。5 5、 设(t)是/ = Ax 的基解矩阵，：(t)是 / = A(t)x f(t)的某一解，

4、则它的任一解(t)可表为_二、计算题( (每题 1010 分. .共 4040 分) )6 6、 求方程d d = =6y-xy2的通解。dx x7、 求方程dy = e的通解。dx x8 8、 求方程x 6x 5 e2t的隐式解。9 9、 求方程d =x y2通过点(0、0)的第三次近似解。dx三、证明. .(3030 分)间 atat上的基解矩阵。1111、设( (t t ) )为方程 x x =Ax=Ax ( A A 为 nSnS 常数矩阵)的标准基解矩阵(即 (0 0) =E=E ),证明 ( (t t ) )t t0)=)=(t-t(t-t。 ) )其中 t t0为某一值1010、

5、试验证乍 ItIt = =t是方程组11 22x,x=x,x= I I ，在任何不包含原点的区精品文档精品文档试卷(1 1)答案一、填空(每格 3 3 分，共 3030 分)1 1、方程M(x,y)dx N(x,y)dy =0有只与x有关的积分因子的充要条件:M是二2x=%x)。N2 2、 若x1(t), x2(t)|,xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是WXi(t),X2(t),lH,Xn(t) = 0。3 3、 若叮(t)和*(t)都是 xxA(t)x的基解矩阵，贝(t)和匸(t)具有的关系是(t)二:：J(t)C,(a _t _ b)C C 为非奇异常数矩阵。4

6、 4、 函数f (x, y)称为在矩形域 R 上关于y满足利普希兹条件，如果存在常数 L 00,对于所有(Xi，yj, &22严R都有使得不等式| f(xyj f (x?)兰L y1 y?成立。5 5、 当.时，方程M(x,y)dx N(x, y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。.y:x6 6、 若叮J(t)是x = A(t)x的基解矩阵，则x =A(t)x = f(t)满足x(t0)=.t的解x(t) = G(t)G (t。)G(t) G (s)f(s)ds。7 7、若Xj(t)(i =1,2,|l(, n)为 n n 阶齐线性方程x(n) a1(t)x(n) III，an(t

7、)x=0的n个线性无关解,n则这一齐线性方程的通解可表为X(t)=E cixi(t)，其中C1,C2,，Cn是任意常数。i =18 8、求 3=f(x,y)3=f(x,y)满足y(x。)=y。的解等价于求积分方程dx9 9、如果f (x, y)在R上_连续且关于y满足李普希兹条件，则方程 鱼二f (x, y)存在唯一的dxXy=yy=y+ +f (x,y)dx的解。精品文档精品文档解y =(x),定义于区间x-x000,对于所有(X1,yj, (X2,y2)R都有使得不等式| f (xyj f (x?？)兰L yj y?成立。5 5、 当 如二型 时，方程M(x,y)dx - N(x, y)d

8、y =0称为恰当方程，或称全微分方程。6 6、若叮J(t)是x” = A(t)x的基解矩阵，则x、A(t)x = f(t)满足x(t0)=的解x(t) =O(t)(s) f(s)dsot07 7、若xi(t)(i=1,2,i=1,2, , , n n)是对应齐线性方程的一个基本解组，X(t)为非齐线性方程的一个特解,expAt二e3tl.E t(A-3E)丄e3tfl 01o 1J-11U3t1一t试卷(2)答案一M；N精品文档精品文档则非齐线性方程的所有解可表为x(t)=E qXj(t)+X(t)精品文档精品文档x8 8、求 3=f(x,y)3=f(x,y)满足y(x) = y的第一次近似解

9、的表达式为3(x)二y f(x,y)dx。dxx9 9、如果f (x, y)在R上连续且关于y满足李普希兹条件，则方程y = (x),定义于区间x -x0 h上，连续且满足初始条件(x0)= y0,其中h=min( a, R)，M = max f (x, y)。M(x,y)企1解：这是 n=2n=2 时的伯努利不等式，令z=z= y yJ J算得鱼=一丫鱼凹二f (x, y)存在唯一的解dx二、计算题( (每题 1010 分，共 5050 分) )1010、求方程理=丄丄dx xy +x y解：原式可化为分离变两边积的解。1 y2y(x x2)d x1 y2x(1 x)1 .ydy2即(1 y

10、故原方程的通解为丄In 1 +y2求伯努利方程)(1X)2二ex22 2 2(1y) (1x ) = cx=6 -xy2的通解。dx x精品文档精品文档dxdx2解：线性方程x x = 0的特征方程7 = 0，故特征根又f (t)二si nt，二i是特征单根，所以原方程有特解代入原方程得到= -Zdxx带回原来的变量1y y，得到一= =y此外方程还有解y=0.y=0.求常系数非齐线性方程x-x，这是线性方程,2x或者8求得它的通解为2c xz=z=6x688xc，这就是原方程的解。y 8X = cost的特解。x = t(Acost Bsint),将其1212、精品文档精品文档1 1代入原方

11、程得A = 0,B=。所以原方程的特解为x tsint。221313、 求解恰当方程2xydx (x2- 1)dy二0。解：因为(2xydx+2xydx+ x x2dydy)+dy=0+dy=02即 d(xd(x y)+dy=0y)+dy=02也即 d(xd(x y+y)=0y+y)=0故方程的解为 x x2y+y=Cy+y=C。1414、求方程 屯二x -y2通过点(1,0)的第二次近似解。dx解：令0(x) =0 x2x121贝 y y：1(x)十(X - y)dx =；xdx二乂一刁(20(20 分)；(x)二y计x-x2x12121(叶(孑Vdx=-丄x5x320 61 11x -43

12、01515 、1)1) 试验证初值问题110 2一(0)二1K_的解为：(t)-t(-1-13t 112-e1 1)证明:2 2)求该微分方程组的-2 -10 -2expAtexpAt。=(九2)2= 0解得J2=2此时 k=1k=1 山=2=v珥t)=e2t【E + t(A-2E)= e2t精品文档精品文档n -11i2 2)解：由公式 expAt=expAt=e才送 厂(AhE)，得i =0i !j expAt=e2tIE +t(A-2E)=e2t试卷3答案、填空题4、WX1(t),X2(t),lH,Xn(t)=05、x叫dxn印爲川an MO6、- (t)二(t)C7、 零二、计算题稳定

13、中心8 8、解：因为M,:N,1, 1L、L、y x,所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子(y)=e争二en y21 dx x y3，两边同乘得十dy = 0y y y0_01忖tl0S 1-2、齐p(x)y2 Q(x)y R(x)3、齐p(x)y Q(x)ynu(x,y)= y_ne(Tp(x)dx精品文档精品文档所以解为丄dxy-x+y3.xc_ydy = c yy222c即2x = y(yC)另外 y=0y=0 也是解9 9、线性方程x X X = =0的特征方程2 1 = 0故特征根二ift) =sint良=i是特征单根，原方程有特解x = t(Acost Bsint)代入原方程1A

14、=-A=-B=0B=02f2(t)二-cos2t不是特征根，原方程有特解1B s i代入原方程A = -B=03所以原方程的解为1c2sinttcost21cos2t31010、解:p()2九一6九+ 9 = 0解得州2= 3此时3t、t(A-3E)Li =0i-3t+t(W2)【 打2+t(I2L由公式 expAt=expAt=n-AtieU(A- E)i得gi!3t3t10-1 1-t-t1 It -1111、解：方程可化为8y24ydydxdydx32P 8y4yp(*)精品文档精品文档32dp232(*)两边对 y y 求导：2y( p - 4y ) p(8y - p)=4yp dy即

15、(p3_ 4y2)(2ydp-0由2yd_ p = 0得p =cy2即y = (-)2将 y y 代入(* *)dy2c x二4習即方程的含参数形式的通解为:c2c x =42cp p 为参数P、2又由p3122_4y= 0得p =(4y )3代入(* *)得：y = x3也是方程的解271212、解:=yoxT00(x2x xdx =022xx(x )dx044xx210厶40050207x w)dx20 x2x5x111313、解:_x _ y +1 = 0解得奇点(3 3,I x _ y _ 5 = 0因为2044008160-2-2)令 X=x-3,Y=y+2X=x-3,Y=y+2 则

16、=1+1=1+1= = 0 0 故有唯一零解（0 0，0 0）dxdt虬.dt-x-ydy精品文档精品文档= =，2 2，2 2，1 1，1=1=，2 2，2 2，2=02=0 得=1-i=1-i 故（3 3, -2-2）为稳定焦点。证明题由解的存在唯一性定理知：n n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n n 解:1414、精品文档精品文档代入原方程得到dz-=dx带回原来的变量y y,得到此外方程还有解y=0.y=0.求得它的通解为2c Xz=z=6X68x8c,这就是原方程的解。y 8X6xyxe - y. dy7 7、解：e -xy二-dxxXl(to) = hx2(tg) = 0川U

17、 , Xn(to) =0X；(t) =O,X2(to)=1|，Xn(t) =0IIIIHIHnillllHIIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIXi2(to)=O,xy(to)=O,|H，Xn(to)=1从而Xi(t)(i =1,2,l|n)是线性无关的。试卷(4)答案一、填空题(每格 5 5 分)伴二f(x)(y)2 2、乎二P(x)y Q(x)ynz=z=y1dXdx3f (x,yj f (x,y2)兰Lyi y2n 4nd ydyaxnranjxany =0dxdx二、计算题(每题 1010 分)6 6、这是 n=2n=2 时的伯努利不等式，令z=z= y y , ,算得虫二

18、一 y y 鱼dxdx考虑WXi(to), X2(to),l|,Xn(to)10IH001IH0=“oIII III III HI00IH14 4、nnd yx -n5 5(t)二(t) It)1yxy6z X，这是线性方程,X2个 f f 或者精品文档精品文档xdy二(xex，- y)dxxyxdy ydx二xe dxdxy =xexydx积分：e = 1 x2c2故通解为：12_xyx ec = 028 8、解：齐线性方程x，6x5x=0的特征方程为26 -0,tRt= -1,= -5，故通解为x(t) =se c2e =2不是特征根，所以方程有形如x(t)二Ae2t把x(t)代回原方程4A