(完整版)中考数学例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题

1、“将军饮马”老歌新唱例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题王柏校古希腊有位将军要从 A地出发到河边去饮马，然后再到B地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短?河流这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设 L为河（如图1）,作AOL L交L于O点，延长AO至 A ,使A OAO连结A B,交L于C,则C点就是所要求的饮马地点。再连结 AC则路程（AC+CB为最短的路程。为什么饮马地点选在 C点能使路程最短？因为 A是A点关于L的对称点，AC与A C 是相等的。而A B是一条线段，所以A B是连结A7、B这两点间的所有线中， 最

2、短的一条， 所以AC+CBA C+CBA B也是最短的一条路了。这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧 妙的解题方法。这一流传近2000年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此 故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从2009年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。一、演变成与正方形有关的试题例1 （2009年抚顺）如图2所示，正方形 ABCD的面积为12, ZXABE是等边三角形， 点E在正方形 ABCD内，在对角线 AC上有

3、一点P,使PD PE的和最小，则这个最小 值为（）C. 3A. 2百分析与解：正方形ABCD是轴对称图形，对角线AC所在直线是它的一条对称轴，相对的两 个顶点B、D关于对角线 AC对称,在这个问题中D和E是定点，P是动点。我们可以找到一 个定点D的轴对称点B,连结BE,与对角线AC交点处P就是使距离和最小的点 （如图3）, 而使PD+PE的和的最小值恰好等于 BE,因为正方形 ABCD的面积为12,所以它的边长为2出，即PD + PE的最小值为2百。二、演变成与梯形有关的试题例2 （2009鄂州）已知直角梯形动，则当PA+PD取最小值时，力A . V17B . 171717JBPC图4ABCD

4、 中 AD/ BC,ABL BC AD=2, BC=DC=5,点 P在 BC上移APD43边AP上的高为（）C. Vi?D. 34 ./PF：/图5分析与解：如图，先作出D作DF,BC于F,过点而AB=4,再由AB=BE且A点关于BC的对称点E,连结DE交BC于P点，连结 AP,再过点 D作DGL AP于G先可以根据梯形知识和勾股定理可以求得 DF=4,从 AD/ BC,知道BP是NABE的中位线，BP=1aD=1得AP=J17 .因为21-1 一 AD?DFNADP的面积=AD?DF= AP?DG所以AP边上的高DG为AP=、'17 ,即正确答案17是C三、演变成与圆有关的试题例3

5、（2009龙岩）如图,AB、CD是半径为5的。的两条弦，AB = 8, CD = 6, MN是直径，ABLMN于点E,CD±MN于点F , P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为Ss分析与解：首先根据对称知识确定点P的位置，连结BC交MN于点P,根据垂径定理易知AE=4,CF=3,EF=7.再过 C 作 CG, AB于点 G 在 Rt/BCG中,CGEF=7, BGBE+EG3+4=7，所以PA+PC的最小值为 BG7 . 2 .四、演变成与直角坐标系有关的试题例4 (2009孝感)在平面直角坐标系中，有 A (3, 2), B (4, 2)两点，现另取一点 C (1, n),

6、当n =时，AC + BC的值最小.分析与解：点 A和B在直角坐标系下的位置 如图8,此问题中A,B是定点，而点C(1, n) 在直线x=1上，可以找出A点关于直线x=1的 对称点A /坐标是(-1,-2),经过点B和A，的 直线解析式为y= 4 x- 6 ,所以当 x=1时552n=。这题与点的坐标和一次函数知识想结5合，考查了学生的数形结合能力。解题时要画出示意图，在直角坐标系中确定点的大致位 置，就可以比较明确的看出利用将军饮马的背 景，再利用坐标知识求出对称点的坐标，最后结合一次函数求出结果。五、演变成与一次函数有关的试题例5 (2009荆门)一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交

7、于点 A(2, 0), B(0, 4).如图9 (1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设 OA、AB的中点分别为 C、D, P为OB上一动点，求PC+PD的最 小值，并求取得最小值时 P点的坐标.分析与解：利用待定系数法易求得函数解析式为：y=-2x+4;求PC+PD的最小值时既可以用代数方法求解，也能用几何方法求出，关键还是正确找到能使PC+PD的值最小的点的位置。如图10,设点C关于点O的对称点为C，连结PC、C D,则PC = PC'.PC + PD = PC'+ PD 式 D,即 C'、P、D 共线时，PC+PD 的最小值是 CD.连结 CD,在 RtDC

8、C'中，CD= ClCD2 =2 近；易得点P的坐标为(0, 1).(亦可作RtAOB关于y轴对称的4 )六、演变成与二次函数有关的试题Q使彳QACc中得1 b c= 0b 2例6 (2009重庆)如图11,抛物线yx2 bx c与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3 , 0)两点,(1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点的周长最小？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由分析与解：(1)将 A(1 , 0), B(-3, 0)代 yx2 bx，抛物线解析式为： y x2 2x 3(2)存在理由如下：由题知A、B两点关于抛物

9、线的对称轴x 1对称直线BC与x 1的交点即为 Q点，此时4AQC 周长最小- y x2 2x 3.C的坐标为：(0, 3)直线BC解析式为：y x 3x 1x 1Q点坐标即为的解y x 3y 2.Q 1, 2)七、演变成综合型试题 例6 (2009衢州)如图12,已知点A(-4, 8)和点B(2, n)在抛物线y ax2上.(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2)平移抛物线y ax2,记平移后点A的对应点为A',点B的对应点为B点0(-2, 0)和点D(-4, 0)是x轴上的两个定点. 当抛物线向左平移到某个位置时，A

10、C+CB'最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A BCD的周长最请说明理由.图12xy 8D 一0-4 -2 O-2-4图13分析与解：(1)(如图13)将点A(-4, 8)的坐标代入y ax2 ,解得 a -2将点B(2, n)直线AP的解析式是y1匚的坐标代入y -x ,求得点B的坐标为(2, 2), 2则点B关于x轴对称点P的坐标为(2,-2).54-4 4x 一 .令y=0,得x - .即所求点Q的坐标是(一，0).33554 , 14(2)(如图 14)解法 1: CQ= | -2- I =,55故将抛物线y1x2向左平移14

11、个单位时，AC+CB最短，25此时抛物线的函数解析式为y l(x )2 .25解法2：设将抛物线y -x向左平移 m个单位，则平移后K, B'2的坐标分别为 A'(-4-m, 8)和B'(2-m, 2),点A'关于x轴对称点的坐标为A'(-'4-m, -8).直线 A'B"的解析式为y且x 5m 4 .要使333A'C+CB'最短，点C应在直线 A'B"上，将点C(-2, 0)代入直线A'B"的解析式，解得145故将抛物线y 1 x2向左平移14个单位时25A C+CB 

12、9;最短，此时抛物线的函数解析式为114 2一(X 一)25 (如图15)左右平移抛物线的长是定值，所以要使四边形y ix2,因为线段AB和CD 2A BCD的周长最短，只要使AD+CB'最短；第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A'D+CB>AD + CB,因此不存在某个位置，使四边形A'B'CD的周长最短.第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点 A和点B的坐标分另I为 A'(-4-b, 8)和 B'(2-b, 2).因为CD=2,因此将点B'向左平移2个单位得B'(-'b, 2),要使AD+CB最短，只要使 A'D+DB'最短.点A关于x轴对称点的坐标为A'(-'4-b, -8),直线A'B"的解析式为y 5x -b 2 .要使A'D + DB'最短, 22点D应在直线A'B''上，将点D(-4, 0)代入直线A'B"的解析式，解得b 16 .故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形5A'B'C