(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习离散型随机变量及其概率分布教案(含解析)

1、11.4 离散型随机变量及其概率分布考情考向分析以理解离散型随机变量及其概率分布的概念为主，考查离散型随机变量、离散型随机变量的概率分布的求法在高考中常以解答题的形式进行考查，难度多为中低档71 .离散型随机变量的概率分布(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量,常用字母X, Y, I , T,表示，所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量.2 2) 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为 X1, X2,，Xi,，xn, X取每一个值Xi(i=1,2,，n)的概率 P(X= Xi)=p,则称表XX1X2XiXnPPiP2piPn为离散型随机变量 X的概率分布表.(3)离散型随

2、机变量的概率分布的性质:Pi >0, i = 1,2 ,，n； P1+P2+ p + + Pn=1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和二2 .两点分布如果随机变量X的概率分布表为X01P1 pp其中0卬<1,则称离散型随机变量 X服从两点分布.3 .超几何分布般地，设有N件产品，其中有MW N)件次品.从中任取n(n< N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么CMCnL MP(X= r)=b (r= 0,1,2 ,，l).X01lPC&CN- M CNcMcN- mccN m ""CT其中 l = m

3、in( M n),且 nW N, Me N, n, M NC N*.如果一个随机变量 X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.概 念 方 法 微 思 考1 随机变量和函数有何联系和区别？提示 区别：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；联系：随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域2 离散型随机变量X 的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？提示 代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的3如何判断所求离散型随机变量的概率分布是否正确？提示 可用pi >0, i = 1,2

4、,，n及pi+ P2+ pn= 1检验.题组一 思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.( V )2 2) 离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象(3)某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数X服从两点分布.(X )(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数 X服从超几何分布.( V )(5)离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是彼此互斥的.(V )题组二教材改编2 . P48练习T3设随机变量X的概率分布如下：X12345P111112636P则p =答案4,1111解析

5、由概率分布的性质知， 12+6+3+g+p= 1，p=1-43 . P52T1有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是.答案 0,1,2,3解析因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0,1,2,3.题组三易错自纠4 .袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是 .(填序号)至少取到1个白球；至多取到 1个白球；取到白球的个数；取到的球的个数.答案解析 表述的都是随机事件；是确定的值2,并不随机；是随机变量，可能取值为0,1,2.5 .随机变量X等可能取值1,2,3 ,，n,如果P(X<4)=0.3,则

6、n =.答案 10解析 由 RX<4)= RX= 1) +RX= 2) + RX= 3) =+n = 3=0.3 ,得 n=10.盒中,答案解析6 .一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取 3个球来用，用完后装回 此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则 P(X= 4)的值为.27220由题意知取出的 3个球必为2个旧球、1个新球，故 P(X= 4)=CC?= 2270.题型一离散型随机变量的概率分布的性质1.离散型随机变量 X的概率分布规律为RX= n)=n na1 (n=1,2,3,4)，其中a是常数，则1 5p 2<x<2的值为.答案6一a解析 . PX=

7、 n)=n-n7T(n=1,2,3,4),”+a+ 旦+a=i,=52 6 12 20， a 4'15P 2<X<2 = RX= 1) + P(X= 2)#5 15 15=X | X -=一.4 2 4 6 6252.设离散型随机变量P" =0) =RX= 1) =0.1 ,R 刀=2) = RX= 3) =0.3 ,X的概率分布为X01234P0.20.10.10.3m求2X+ 1的概率分布.解由概率分布的性质知,0. 2+0.1 +0.1 +0.3 +m 1,得 m 0.3.列表为X012342X+ 113579从而2X+ 1的概率分布为2X+ 113579P

8、0.20.10.10.30.3引申探究1 .若题2中条件不变，求随机变量t =|X- 1|的概率分布.解由题2知m= 0.3 ,列表为X01234|X-1|101231- P( t = 1) = P(X= 0) + RX= 2) = 0.2 + 0.1 = 0.3 ,P(刀=3) = R X= 4) = 0.3.故刀=| X 1|的概率分布为0123P0.10.30.30.32.若题2中条件不变，求随机变量t =X的概率分布.解依题意知Y的值为0,1,4,9,16.列表为X01234X2014916从而Y =X2的概率分布为014916P0.20.10.10.30.3思维升华(1)利用概率分布

9、中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.题型二离散型随机变量的概率分布的求法多维探究命题点1与排列、组合有关的概率分布的求法例1在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1, A A A A, A和4名女志愿者 B,艮，R, 3,从中随机抽取

10、5人接受甲种心理暗示， 另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的概率分布.解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的事件为MntC8 5则P(M=cr6(2)由题意知，X可取的值为0,1,2,3,4 ,则C61P(X= 0)=或=4?P(X= 1)=c6c45C50 =21'C3C4P(X= 2)=篇1021，C2C45P(X= 3)= c5T = 2?4C6C4P(X= 4)=高142.X01234P151051422T212142因此X的概率分布为命题点2与互斥事件有关的概率

11、分布的求法例2已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出 3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的概率分布. A2A33解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A,则RA) =72-=讪.(2) X的可能取值为200,300,400.A2 1P(X= 200) = A2= 10-, A510A3+G1G3A13P(X= 300)

12、= -=而，P( X= 400) = 1 -P(X= 200) P( X= 300)1 _3 3=1 io-10= 5.故X的概率分布为X200300400P13310105命题点3与独立事件(或独立重复试验)有关的概率分布的求法例3(2018 苏州期初)在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有 1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出 2个球，若摸出的白球不少于 2个，则获奖.每次游戏结束后将球放 回原箱.(1)求在一次游戏中摸出 3个白球的概率；(2)在两次游戏中，记获奖次数为X,求X的概率分布.3个白球”为事

13、件A,解(1)记“在一次游戏中摸出P(A)=G2G2= 1.G5G3 51故在一次游戏中推出3个白球的概率为5.(2) X的所有可能取值为0,1,2 ,记“在一次游戏中摸出 2个白球”为事件 B,P(B) =C2C2+C1C2C11CC3= 2,1 17则在一次游戏中获奖的概率为5+2=而.33P(X= 0) = X '110 102150?173P(X= 1) = C2x -x -=774910 10P(X= 2) = -X=一10 10 100X的概率分布为X012P9214910050100思维升华求离散型随机变量 X的概率分布的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2

14、)求X取每个值的概率；(3)写出X的概率分布.求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应 用计数原理、古典概型等知识.跟踪训练1连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第 i次得到的点数为 a ,若存在正整数k,使a1 + a2+ak=6,则称k为你的幸运数字.(1)求你的幸运数字为 3的概率；(2)若k=1,则你的得分为6分；若k=2,则你的得分为4分；若k=3,则你的得分为2分;若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分E的概率分布.解(1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A,则它包含事件A, A,A3,其中A:三次恰好均为2; A2:三次中恰好为1,2

15、,3各一次；A3:三次中有两次均为 1 , 一次为4.A, A A3为互斥事件，则1 3 _1 1111112 15P(A) = P(A) + PAa) + P(A3)=c3 6 3+C1- 6 - c2 - 6 - c1 - + C3 6 2(2)由已知得士的可能取值为6,4,2,011 21115= 1=356 36 108 54P(E=6)=6,也=4)= 6 +2XC2X6><6=36,5P( E =2)=疝 R E =0) 108故e的概率分布为6420P1553563610854题型三超几何分布 例4某外语学校的一个社团中有 7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3

16、人既会法语又会英语，现选派 3人到法国的学校交流访问.求: (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的概率分布.解(1)设事件A:选派的3人中恰有2人会法语，则 P(A)=警=4. C77(2)由题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3C34P(X= 0) = CT 3?C4C3 18P(X=止不=点P(X= 2)=c4c3 12C7 =35'C31P(X= 3) = C3= 3?X0123P418121353535351- X的概率分布为思维升华(1)超几何分布的两个特点超几何分布是不放回抽样问题；随机变量为抽到的某类个体的

17、个数.(2)超几何分布的应用条件两类不同的物品(或人、事)；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体.跟踪训练2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准 GB3095- 2012, PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方 米)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85频数

18、311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出 3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记 乙表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求 己的 概率分布.解(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A,C3C2则 P( A) = kC102140.(2)由条件知，工 服从超几何分布，其中N= 10, M= 3, n=3,且随机变量七的可能取值为0,1,2,3.(k=0,1,2,3)P( E =k)=c3 mk0123P72421407401 120cC0C37.E = 0)=24,P(

19、E =1)c3c7 21c3r=4o,P( E =2)C2C77c3r=4o,C3C01P( e =3) = c3r=i20.故E的概率分布为1 .某射手射击所得环数 X的概率分布为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为答案 0.79解析 根据X的概率分布知，所求概率为0.28 +0.29 + 0.22 =0.79.2 .从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 己表示所选3人中女生的则 R /1)=答案c4c2 4解析P( 1)=1 P( E =2) =1方=5.3 .设X是一个离散型随机变量，其概

20、率分布为答案3332一 万X10112 3q2P3q解析1 c C 22 3q + q =1,3q2-3q+ 4 = 0,解得 q = |±乂33.又由题意知 0<q2<2,，q=3 32632334 .设随机变量E的概率分布为P( E = k) = m- k(k= 1,2,3),则m的值为3-27 昌木38解析由概率分布的性质得P( E =1) +RE =2) + PH =3)22 22 3 38m=mx 3+ mx 3 +mx 3 芋=1，27. " 38.5. (2018 江苏省常州市田家炳高级中学期末 )袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外 完全相同

21、.现从袋中往外取球，每次任取 1个记下颜色后放回，直到红球出现 2次时停止, 设停止时共取了 X次球，则P(X= 4)=.答案427解析所以由题意可知最后一次取到的是红球，前dC3224RX= 4）= 丁=2?3次有1次取到红球,6.某班级在2018年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为 答案34A 2云=3.解析 6名选手依次演讲有屋种方法，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的安排方法有 4A5,所以6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为 7. 口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5 ,从中任取3只球，

22、以X表示取出的球的最大号码,则X的概率分布为 答案X345P0.10.30.6解析X的取值为3,4,5.又 P(X= 3) =3 = 0.1, P(X= 4)=，=0.3,P(X= 5) = C3= 06C5所以X的概率分布为X3P0.1450.30.68.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取 4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量 E，则P（己W6） =.答案1335解析P（<6） = P（取到3只红球1只黑球）+ R取到4只红球）=C3C3 C413C7 +C7=35.9.随机变量X的概率分布如下:X101Pabc其中a, b, c成等差数列，则 P(| X

23、=1)=,公差d的取值范围是答案33,解析a, b, c成等差数列，2 b=a+c.又 a+b+c=1,，b=；,，P(|X=1)=a + c = S. 3311又 a=3" d, c=3+d,根据概率分布的性质，得 Owdw, 0< -+ d<-, 333310. (2018 南京模拟)已知袋中装有大小相同的2个白千2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出3个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第n局得n(nC N*)分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍

24、未过关，游戏也结束.(1)求在一局游戏中得 3分的概率；(2)求游戏结束时局数 X的概率分布.一口、一,口八，士小rC1C2c 2解(1)设在一局游戏中得 3分为事件A,则P(A) =一4=5.(2)由题意随机变量X的可能取值为1,2,3,4 ,C2C2+C2C 3且在一局游戏中得 2分的概率为 一p一=-; C510.C2C2 1则 p( x= 1) = -43- = 5,43P(X= 2) = - X () 5 104P(X= 3) = gX31 102 28X - =,5 125'31-w3 42x - =,5 125'4P(X= 4) = -X5.X的概率分布为X123

25、4P16284252512512511 .为推动乒乓球运动的发展， 某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手 2名；乙协会的运动员 5名，其中种子选手 3名.从这8名 运动员中随机选择 4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求 事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的概率分布.,“ -C2c3+ c3c3 6解(I)由已知，有 P(A)= -C4=35.所以事件A发生的概率为35.(2)随机变量X服从超几何分布，X的所有可能取值为1,2,3,4.CkC4-kP(X

26、= k) = _c(k=1,2,3,4).C5C31c5c3 3P(X= 1) = -c4-=讶 P(X= 2) = "CT=7,C3C3 3C4C01P(X= 3) = "g- = 7，RX= 4)=e=R.所以随机变量X的概率分布为X1234P133114771412 .若随机变量T的概率分布如下:2-10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(刀<x) =0.8时，实数x的取值范围是 .答案(1,2解析 由离散型随机变量的概率分布知P(刀<1) = 0.1 , P(r<0)= 0.3 , P(r<1)= 0.5 ,P" &

27、lt;2) = 0.8 ,则当P(刀<x) =0.8时，实数x的取值范围是1<xW2.13. 一只口袋中有 n(n N)个白球，3个红球.依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球的次数为X,若P(X=2)=3f，求:(1) n的值;(2) X的概率分布.(1)由题意知P(X= 2)=A3An2An+33nn+3 n+2730'2化简得 7n 55n+ 42=0,即(7 n 6)( n7) = 0, 因为nC N*,所以n= 7.(2)由题意知X的所有可能取值为1,2,3,4 ,A777A3A777771P(X=

28、1)= AT RX= 2)=正 P(X= 3)=苻=百 P(X=4) = 1丽=访所以x的概率分布为X1234P710730_7_1201120*、 * * 一 . 一、 、- . . * 一、14.某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了 n位校友(n>8,且nCN),其中女校友6位, 组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出 2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”. 1.(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于2,求n的最大值；(2)当n= 12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为 X,求随机变量X的概率分布.解(1)由题意可知，所选 2人为“最佳组合”的概率为Cn 6c612 n 6C2n n- 1ntt12 n-61则1美.n n 12化简得 n2-25n+144<