(新高考)2020版高考数学二轮复习专题强化训练(二十)概率与统计理

1、专题强化训练(二十)概率与统计1. 2019 天津卷设甲、乙两位同学上学期间，每天 7: 30之前到校的概率均为 最假 3定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7： 30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7: 30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7: 30之前到校的概22k2k 13-k率均为 3,故 XB3, 3,从而 P(X= k) =c33k -3 k,k=0,1

2、,2,3.所以，随机变量X的分布列为X0123P124_82799272随机变量X的数学期望E(X) =3X-=2.32(2)设乙同学上学期间的三天中7: 30之前到校的天数为 Y,则YB3,-,且M= X=3, Y= 1UX= 2, Y= 0.由题意知事件X= 3, Y= 1与X= 2, Y= 0互斥，且事件X =3与Y= 1,事件X= 2与Y= 0均相互独立，从而由(1)知RM=RX= 3, Y= 1 UX= 2, Y= 0) = P( X= 3, Y= 1)+RX= 2, Y= 0) = P( X82 4120= 3) P( Y= 1) +RX= 2) R Y= 0) =27X9+9X2

3、7 = 243.2. 2019 合肥质检二某种大型医疗检查机器生产商，对一次，f购买2台机器的客户，推出2种超过质保期后2年内的延保维修优惠方案，方案一：交纳延保金 7 000元，在延保的2年内可免费维修 2次，超过2次每次收取维修费2 000元；方案二：交纳延保金 10 000元，在延保的2年内可免费维修4次，超过4次每次收取 维修费1 000元.某医院准备一次性购买 2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了 50台这种机器超过质保期后延保2年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X

4、表示这2台机器超过质保期后延保的 2年内共需维修的次数.(1)求X的分布列;(2)以方案一与方案二所需费用(所需延保金及维修费用之和)的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？解：(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.r C、 11RX= 0) = 乂 10 10RX= 1)=X X 2=,10 525'131121131 211RX= 3) = wxwx P?2：卧RX= 2) = - X十X X2=, r ) 5 5 5 1025'RX= 4)=5x5+ 而 x - 25，2F(X= 5) = 5 X339R X= 6) = 一 x =, ()10 10

5、 100'10 720(元).X的分布列为X0123456P113117691002525502525100(2)选择延保方案一，所需费用Y1的分布列为Y7 0009 00011 00013 00015 000P1710011507256259100EY=E X 7 000+ X 9 000 + X 11 000+X 13 000+X 15 000 = 100502525100选择延保方案二，所需费用 Y的分布列为Y210 00011 00012 000P671006259 10010 420(元).EY2=-67- x 10 000 + x 11 000 + X 12 000 = 1

6、0025100EY>EY, 该医院选择延保方案二较合算.3. 2019 石家庄一模东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该 食品一次（购进时，该食品为冈I生产的）.根据市场调查，该食品每份进价 8元，售价12元, 如果两天内无法售出， 则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响， 为了解市场的需求 情况，现统计该产品在本地区 100天的销售量如下表：销售量（份）15161718天数20304010（视样本频率为概率）（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为己，求己的分布列与期望.（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进

7、32或33份，哪一种得到的利润更大？解：根据题意可得 E的可能取值为30,31,32,33,34,35,36,1 11=30) = - x -=55 5 25'133R E = 31) =-XX2=, (G ) 5 1025'1 2331R E=32)=5X5X 2+记X 而=4,r E =33) =1xX2+ X2X2=, (G)510105 25'P( E = 34) =- X -X2+ 2X2 = 11门,)10 1055 50，212R E = 35) = -XX2=,' g551025111R E = 36) = -x =.10 10 100E的分布列

8、如下:30313233343536P131711212525425502510013171121Em = 30x 2r31X25 + 32X4 + 33X25+34X50 + 35X)+36X=328(2)当购进32份时，禾I润为32X4X 27+(31 X48) X ;3+(30X4-16) X 1-= 107.52 + 13.92 +4.16 =125.6(元). 252525当购进33份时，利润为5913133X4X 而十(32 X4 8) X 4 + (31 X416)X 25 + (30 X 424) X 5= 77.88 + 30 +12.96 +3.84 = 124.68（元）.

9、125. 6> 124.68 ,可见，当购进32份时，利润更大.4. 2019 长沙一模某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量 x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：月份123456广告投入量/万元24681012收益/力兀14.2120.3131.831.1837.8344.67他们用两种模型y bx a y ae分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残 差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：(1)根据残差图，比较模型，的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由.(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：(i )剔除异常

10、数据后，求出(1)中所选模型的回归方程；(ii )广告投入量x= 18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？A A A附：对于一组数据(xb y1) , (X2, y2),，(xn, yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截A 7 1 xi x yi - y陷 1xiyi - nxy A A 距的最小二乘估计分另1J为：b= n 二=n, a= y b x .陷 1 xi x陷，一n x解：(1)应该选择模型，因为模型的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型的带状区域比模型的带状区域窄，所以模型的拟合精度高，回归方程的预报精度高.(2)( i )剔除异常数据，即3月份的数据后，得x =

11、1X(7 X 6- 6) = 7.2 ,57 = 1X(30 X6- 31.8) = 29.64.55 = 1 464.24 -6X31.8= 1 273.44 ,5汇 X2 = 364 62= 328.i =1a 囱 1Xiyi-5xy b= -513 x2 5 x 2 i =11 273.44 5X7.2 X29.64206.4328 5X7.2 X7.268.8 =3a= y b x =29.64 3X7.2 = 8.04.所以y关于x的回归方程为y=3x+8.04.(ii)把x=18代入(i )中所求回归方程得 y = 3X18+ 8.04 = 62.04 ,故预报值约为62.04万元

12、.5. 2019 福州质检最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%±.某部门研究成果认，一，一一1 ,、 一一， 一 , ,，-1 ,、为，房租支出超过月收入 鼻的租户“幸福指数”低， 房租支出不超过月收入 a的租户33“幸福指数”高.为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查.甲小区租户的月收入以0, 3), 3, 6), 6, 9), 9, 12) , 1215(单位：千元)分组的频率分布直方图如下图:乙小区租户的月收入(单位:月收入0, 3)3, 6)6,

13、9)9,12, 15户数38272492(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立,记M表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率，求 M的概率;(2)利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数;(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元.请根据条件完成下面的2X2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.附：临界值表幸福指数低幸福指数高总计甲小区租户乙小区租户总计参考公式：K224+9+ 2100= 0.35P( K2> k)0.100.0100.001k2.7

14、066.63510.828n ad bca+ b c+ d a+ c b+ d '其中 n= a+ b+c+ d.解：(1)记A表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记B表示事件“乙小区租户的月收入不低于 6千元”，甲小区租户的月收入低于 6千元的频率为(0.060 +0.160) X3= 0.66 ,故P(A)的估计值为0.66;乙小区租户的月收入不低于6千元的频率为故P(场的估计值为0.35 ;因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，事件M的概率的估计值为 P( M = P( A) P( B) = 0.66 X 0.35 = 0.231.(2)设甲小区所抽取的100户的月收入的中

15、位数为t ,则0.060 X3+ (t -3) X 0.160= 0.5 ,解得t = 5.得到K2的观测值k=200 66X6238X34104X96X 100X1002- = 15.705>10.828设H0:幸福指数高低与租住的小区无关,幸福指数低幸福指数高总计甲小区租户6634100乙小区租户3862100总计10496200根据2X2列联表中的数据,所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.6. 2019 广州调研某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值

16、落在的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图,20,40)内表1是设备改造后样本的频数分布表.图1 :设备改造前样本的频率分布直方图表1 :设备改造后样本的频数分布表质量指标值15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)频数2184814162(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值.(2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在20,25)或30,35)内的定为二等品，每 件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价为 120元.根据表

17、1的数据，用该组样 本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望.样本产品的质量指标平均值为3 020100=30.2.根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2.(2)根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为1112' 3' 6'故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为随机变量X的取值为240,300,360,420,480.解：(1)根据题图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下,质量指标值

18、15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)频数416401218104X 17.5 + 16X 22.5 +40X 27.5 + 12X 32.5 + 18X 37.5 + 10X42.5 =3 020.P( X= 240)1 11X -=6 6 36P( X= 300)1 1 1 1=C2X _X _=3 6 9'P( X= 360)111115= C2X-X + X =,2 6 3 3 18P( X= 420)1111=C2 X - X =2 3 3'1 1 1 RX= 480)=2X2=4,7. 2019 福州质检“工资条里显红利，个税新政人

19、民心”.随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下:旧个税税率表（个税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元）缴税级数每月应纳税所得额（含 税）=收入个税起征占八、税率（%）每月应纳税所得额（含 税）=收入个税起征 点一专项附加扣除税率（%）1不超过1 500兀

20、部分3不超过3 000兀部分32超过1 500兀至4 500元部分10超过3 000元至12 000元部分103超过4 500兀至9 000元的部分20超过12 000兀至25000元的部分204超过9 000元至35 000元的部分25超过25 000兀至35000元的部分255超过35 000兀至5530超过35 000兀至5530000兀部分000兀部分随机抽取某市1 000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们 2019年的人均月收入24 000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们 每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教

21、育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2： 1 ： 1 ： 1.此外,他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1 000元/月，子女教育每孩1 000元/月，赡养老人2 000元/月等.假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级 的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；（2）根据新旧个税方案，估

22、计从 2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的月收入？解：（1）既不符合子女教育专项附加扣除又不符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应 纳税所得额（含税）为24 000 5 000 -1 000 = 18 000（元），月缴个税 X= 3 000 X3涮9 000 X 10吩6 000 ><20好 2 190;只符合子女教育专项附加扣除但不符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得 额（含税）为 24 000 -5 000 1 000 1 000 = 17 000（元），月缴个税 X= 3 000 X3涮9 000 X 10

23、吩5 000 ><20好 1 990;只符合赡养老人专项附加扣除但不符合子女教育专项附加扣除的人群每月应纳税所得 额（含税）为 24 000 -5 000 1 000 -2 000 = 16 000（元），月缴个税 X= 3 000 X3涮9 000 X 10吩4 000 ><20好 1 790;既符合子女教育专项附加扣除又符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得额 （含税）为 24 000 -5 000 1 000 1 000 -2 000 = 15 000（元）,月缴个税 X= 3 000 X3涮9 000 X 10吩3 000 ><20好 1 59

24、0.所以X的可能值为2 190,1 990,1 790,1 590.依题意，上述四类人群的人数之比是2 ： 1 ： 1 ： 1 ,所以 RX= 2 190） =2, P（X= 1 990） =1,55P（X= 1 790） =1, P（X= 1 590） =1. 55所以X的分布列为X2 1901 9901 7901 590D2111P5555所以 E（X） =2190 X 2+1990 X 1+1790 X 1+1590 X 1= 1950.5555（2）因为在旧个税政策下该市该收入层级的IT从业者2019年每月应纳税所得额（含税）为 24 000 3 500 = 20 500（元）,所以其

25、月缴个税为 1 500 X3涮3 000 X 10吩4 500 X20吩11 500X25*4 120（元）.因为在新个税政策下该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税的均值为1 950元.所以该收入层级的IT从业者每月少缴纳的个税为4 120 - 1 950 = 2 170（元）.设经过x个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税的总和就超过24 000元，贝U 2 170 x>24 000，因为 xC N,所以 x>12.所以经过12个月，该市该U入层级的IT从业者各月少缴纳的个税的总和就超过2019年的月收入.8. 2019 太原一模为方便市民出行，倡导低碳出行.某

26、市公交公司推出利用支付宝 和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市 民扫码支付乘车.该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况， 其中x（单位：天）表示活动推出的天数，y（单位：十人次）表示当天使用扫码支付的人次， 整理后得到如图所示的统计表1和散点图.U118!118_>0 L 23 4 5678 JC表1:x第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天y71220335490148（1）由散点图分析后，可用 y=ebx+a作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次y关于活动推出天数 x的回归方程，根据表2的数据，求此回归方程，并预报第8天使用 扫码支付的人次（精确到整数）.表2：xyz72 xii = 17xi yii