导数问题中参数范围的求法-典型

1、导数问题中参数范围的求法、分离常数法(I)常规分离常数法原理：将所给不等式变形为g(a) f(x) g(a) f(X)g(a) f(X)ming(a) f(X)max1)ln x x 1，若 xf (x) x2 ax 1 、(x1)(1 n(x1)1)x伕-叭呛,h(x严X求a的取值范围.解：f(x)Y 1Inx1Inx1XXxf(x)x2 ax 1a In x x令 g(x)In x x (x 0)g(x)X当Ox1 时 g (x)° '当 x 1 时 g (x) 0gg( x) macg(x) 1所以g(x) 1故a 1例1、(2010全国卷一)已知函数f(x) (x(U

2、)能分离常数，但求稳定点困难原理：稳定点的估算利用连续函数介值定理去估算 例2、已知函数f(x) 1 一(x 0)，若当x 0时，f(x)求正整数k的最大值.解:有已知k (x 1 )f (x)设 h(x)x设 g(x) x 1 ln(x 1)从而 h(x) 0 与 g(x)o在(0,)有相同根g(x)o由于g(2)x 1X0且g(3)0所以g(x)o存在唯根(2,3)故g()0 得1 ln( 1)0x(0,)时 g(x) oh(x)0x(,)时 g(x) 0 h (x)0h(X)min(1)(1 n(1)1)1(3,4)h()所以kh (y .A/ min1 4又因为kZ，故kmax3(川)

3、能分离常数7旦求最值困难例3、已知函数f(x) (x1)1 n(1 x)，若当xO时(x) ax恒成立，求a的取值范围.解：当x 0时f(0)0 a R有f (x) ax恒成立当X0时由已知a丄色(1 x) ,n(1X)XX(1 x)l n(1 x)x ln(1 x)令 g(x)g (x)-XX令 h(x)X ln(1 x)h (x)故 h(x) h(0)0 进而 g (x)g(X)min/、 cc(1 x) ln(1 x)xm g (x)00ZxIJml n(1 x) 1 1所以a的取值范围是1,).注：此题求最值时应用洛必达法则 洛必达法则1 (适用于。型不定式极限)0若函数f和g满足:l

4、im f(x) lim g(x) 0；X XQX XQ在点Xo的某空心邻域Uo(x。)内两者都可导，且g (x)0 ;lim 3A( A可为实数，也可为 或)； XXOg (X)则 lim" limA.XX g(x) xxog (x)洛必达法则2 (适用于一型不定式极限) 若函数f和g满足：lim f (x) lim g(x);XxoXX,在点X。的某空心邻域U o(x。)内两者都可导，且g(X) 0 ;limd A( A可为实数，也可为 或)； xx°g (x)则lim型lim少A.xx°g(x) xx°g (x)此方法对与高中生来说理解上稍有难度，但

5、对于研究高中教学的人来说，更进一步对于接受过高等数学教育的人来说还是大有裨益的、最值转化法适用干不能分离常数适用于：能分离常数，但求稳定点或最值困难(I)局部最值转化1(a R).例4、(2010 Jj东)已知函数f x Inx ax1设g x x? 2bx 4当a 时，若对任意Xi(0,2)，存在x? 1,2使4f刘gxz 求实数b的取值范围解:由于“对任意人(0,2)，存在X21,2使f人gXJ'等价于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小宜当a时f(x)在(0,1)上单调递减，4在(1,2)上单调递增g x x 2bx 4 , x 1,2当b1 时,g(x)ming(1)5 2b 111b中舍)|b| 4(舍)2当 b 2 时,g(x)ming(2) 综上b的取值范围是斗)(U)整体最值转化 方法：设辅助函数辅助函数的设法: 移项作差设辅助函数 利用泰勒展式设辅助函数利用泰勒展式设辅助函数：f (x) f (xo) f (x0)(x x0)fM(x x0)22!实质：任意一个函数都可由幕函数近似表示例5、已知函数f(x) (x 1 )ln(1 x)，若当x 0时,f(x) ax恒成立，求a的 取值范围.解:设 g(x) f(x) ax (1 x)ln(1 x) ax