导数与函数放缩问题之切线法放缩

1、导数与函数放缩问题之切线法放缩一、典型的不等式：sinxx,x(O,/r),变形即为任土1,其几何意义为，= sin.r,xe(O,/r)上的的 X点与原点连线斜率小于1.(放缩成一次函数)InxRx-l, Inx In(1 + x)x + , exx, exex,以直线y = x l为切线的函数y = In x , yy = x2-x, y = 1 - - , y = xnx.x二、典型例题例 1:已知/ (x) = aex - In x-1,证明。之 1 时，f(x)0例2：已知/(x) = ex?-xnx,求证：f(x) 0)在(一1,八一1)处的切线方程为&-1及+缈+z-1 = 0.

2、(2)若方程= 有两个实数根不人，且为 羽，证明：占-341 +竺二迫.1 -e例 4：已知函数/(x) = xInx , g (a) =空 J)(1)若/g(x)在(1.+8)上恒成立，求实数a的取值范围;(2)求证: 1 +r . ( + 1)二三、巩固练习练习1：已知函数.fa)=e-a.(1)若函数的图象与直线/：相切，求。的值:(2)若/(幻一In心0恒成立，求整数a的最大值.练习：2：已知函数”工)=，一/.(1)求曲线f(x)在 = 1处的切线方程;(2)求证：当x0时，,+(2“)1 w + L x练习3：函数/(x) = ln(x+l) + aY的图像与直线)，= 2x相切.

3、(1)求的值；(2)证明：对于任意正整数，.31生”.了?.n导数与函数放缩问题之切线法放缩一、典型的不等式：sinxx,A-e(O,),变形即为空11,其几何意义为y = sinx,xe(O,;r)上的的 x点与原点连线斜率小于1.(放缩成一次函数)InxRx-l, Inx In(1 + x)x + , exx, exex,以直线y = x-1为切线的函数y = In x , y = exl -1, y = x2-x, y = 1, y = xlnx.x二、典型例题例 1:已知/(X)= aex - In x -1,证明“f(x) 0e考虑：e，Nx + Llnx Wx-l放缩证明如下：因为

4、e所以J (x) - ciex - In x-1 exA -lnx-1 x-(x-l)-l=:O例3：已知/(x) = ex2-xlnx,求证：f(x) 0ex考虑：ex ex,即，-exNOIn x 1 - - 5 = In 1 - -, BP In x+ 0xex ex由相加I,且不能同时取等，即可得式成立，即证。例3：已知函数/(工)=* +。)(/一。)30)在(TJ(-l)处的切线方程为(e l)x + ey + e - l = O.(1 )求a/：(2)若方程/(x) = ?有两个实数根.招，且王乂，证明：达-演41+ 牛生.1 -e【解析】(1) “ = = 1:(2)由(1)可

5、知八/=(*+1乂/-1), /(0)=0,/(-1)=0, r(x)=a+2)/-i,设f(x)在(-L0)处的切线方程为h(x),易得h(x) = H T (X +1),令 F(x) = /(x)i(x),F(x) = (x4-l)(eA -l)-；-J(x贝 lj 尸 ) = (x + 2)/ L, e当xW2时，Fr(A)= (x + 2)ev-2时，设 G(x) = F(x) = (x + 2)/ g ,则 Gx) = (a-+ 3)ex 0 ,故函数Fx)在(-2.+8)上单调递增，又尸(T) = 0,所以当人(-8.-1)时，Fr(x)0,所以函数F(x)在区间(-8,-1)上单

6、调递减，在区间(T.+0C)上单调递增，故 F(x)NF(T) = 0,即/(xR/7(x),所以/(nR/G),设 h(x) = m 的根为 x；,则 x； = -1 +,1-e乂函数(x)单调递减，故加占) = /(a，故*4%，再者，设y = f(x)在(0.0)处的切线方程为y = r(x),易得*x) = x,令7(幻=/(幻一冷=+)卜1)一刀，r(x) = (x+2)el-2，当 xK-2 时，r(x) = (x + 2)-2-2-2时，令 H(x) = Tx) = (x + 2)/ -2 ,则1力=(x+3)/ 0 ,故函数厂在(-2,+oo)上单调递增,又(0) = 0，所以

7、当 X(YC,O)时,r(A)0 所以函数T(x)在区间(-00.0)上单调递减，在区间(0,xo)上单调递增,所以 T(xRT(0) = 0,即 f(xRx),所以/(%)之再),设x) = m的根为x；,则x； = m ,又函数x)单调递增，故)=/(毛)小区)，故占e&,又内，&A，所 x,一司 Kx,_x： =?_ -1 + - =1+?二2-e)1-e【能力提升】结合函数的凸凹性应用切线放缩法证明不等式必须做到脑中有形”，结合示意图易得士5也士/， 显然上-$4-工；.脑海中有这样的示意图，我们的思路不就清晰了吗？例 4：已知函数/(x) = xlnx , g(x)=C： ”.(1)

8、若f(x)g(力在(l,+oo)上恒成立,求实数”的取值范围;【解析】(1)f (x) g (x)等价于x In x - :一 ! 0 ,即x三山0 , (x)在(l.xc)上单调递增，由力=0 , /(.v)/z(l) = O ,所以M(x)0 ,即/(x)g(x)不恒成立；当 0“l,xel，3 时，h,(x)0 , /(x)单调递增，f(x)g(x)不恒成立;当心2时,xg(I.-kc) , /(x)0 ,力(x)在(Lxc)上单调递减，A(x)/(l) = 0 ,所以人力(x)0,即。(x)eg(冗)恒成立;故/(x)g(M在(l，x)上恒成立，实数”的取值范围是2,XC)；(2)当

9、=2时，/0)g(x)在(I.+8)上成立，即lnxvx-1,令 x = 14= 1.2,( + 1,，则 In 1 + - -不， 5+1);(+1).所以Zin 1 +-1( + 1=ln( + 1)2 2(+ 炉 2(+ 1)1 一，2所以 +r 0恒成立，求整数a的最大值.解(1)(x)=e*因为函数/(x)的图象与直线y=x-l相切，所以令/。)=1,即 e、=l,得 x=0,即八0)= - 1,解得 “=2.(2)先证明 eNx+l,设尸(x)=出一%1,则尸(x)=cv1,令尸(x)=0,贝iJx=O,当 x(0, +8)时，尸(x)0,当 x(8, 0)时，尸。)lnxt当 “

10、W2 时，nx0恒成立.当a23时,存在x=l,使一alnx不恒成立.综上，整数a的最大值为2. 练习：2：已知函数/(x) = /-/.(1)求曲线“X)在工=1处的切线方程：(2)求证：当x0时，(，+(2-r-101-4-1.X【解析】(1)f(x) = ex -x2, f(x) = ex -2a-,由题设得/(l) = e-2J(l) = e-l,所以曲线x)在x = l处的切线方程为产(e-2)(x-l) + e-l,即y = (e-2)x + l：2)令g(x) = /(x),贝IJg(x) = e-2,当xvln2时，g(x)ln2时，g(x)0，所以函数g(x) = r(x)在

11、(-8.1n2)上单调递减，在(ln2,+8)上单调递增，g (x) = 5 (In 2)= /*(ln 2)= 2 - 21n2 0 ,所以函数/ (x) = -1在(0. +8)上单调递增，由于曲线/(X)在x = l处的切线方程为y = (e-2)x+l, /(l) = e-l,可猜测函数x)的 图象恒在切线y = (e-2)x + l的上方.先证明当x0时，/(x)(e-2)x+l.设=/(x)-(e-2)x-l(x0),则(x) = ex -2x-(e-2)Ji(x) = ex -2 ,当xln2时，F(x)ln2时，ir(x)0,所以l(x)在(O.ln2)上单调递减，在(ln2,

12、xo)上单调递增，由力(0)= 3-e0/(l) = 0.0ln2，所以汇(ln2)时,/ir(A)0 ,当 xw(%,l)时,/f(x)0时，ex-x2(e-2)x + ,变形可得二I、，X又由于xnx+l，当且仅当x = l时取等号(证明略)，所以“二(2一小一:lnx + l,当且仅当x=l时取等号. x【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题.练习3：函数x) = ln(x+l)+aY的图像与直线丁 = 2x相切.(1)求的值；(2)证明：对于任意正整数，仁/nl【解析】(1) f(x = + a.x+设直线y = 2

13、1与曲线y = /(x)相切于点P(即先) ,依题意得：o = 2%、0时,g(x)0, g(x)单调递增;当一 1cx0时,g(x)0, g(x)单调递减.当x = 0时，g(x)取得最小值g(0) = 0,所以g(X)N0,即ln(x+l”号.故方程(*)的解为x()=0,此时。=1.(2)要证明。尸0也，即证Ce*( + 1)( + 2)( + ),m 千t J + l + 2 +一 n . + l . + 2.只 ifii UE e,+l =0, BP ln(x+l)x7+1要证明察I上式累加得：In 1 + -即证( + 1)(+ 2).( + )，/ e 1 ,只需证”1.比+, +1 , +2, + +1e 2 =ln4-I