椭圆知识点总结

1、知识点一：椭圆的定义椭圆知识点平面内一个动点 P到两个定点F、F2的距离之和等于常数 （PF1PF22aF1F2 ),这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距注意：若PF1亠PFF F21 2若PF1PFF F则动点则动点221知识点二：椭圆的简单几何性质2 2+ = x y 椭圆：P的轨迹为线段F1F2 ；P的轨迹无图形.1 (a b22a b0)与（a b0）的简单几何性质12y1 (a b 0) 222 (a b 0) x1标准方程0图形2a2b ”a b性质隹占八、八、F1 ( c, 0)二 F2 (c,0)F1 (0,甲二 F2 (0, c)焦距F1

2、F2cI2三F1 F22c11M范围xa, ybxb , ya对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0) , (0, b)(0, a) , ( b,0)轴长长轴长=2a，短轴长=2b 长半轴长=a，短半轴长 =b （注意看清题目）离心率11e(0 e1)1 1=1a =+cA1F1AF2； =A1F2A2F1a c ； a c PF1 a c；a c（p是椭圆上一点）（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）几点说明：（1）长轴，线段A-V t长为2柑；短軸：线段久比,长为2A；煤点在长轴上.（2）对于离心率竹 因为ac0,所以0eb 0)或+乂 =1(a b 0)22b 2a ba2 2

3、 在不能确定焦点位置的情况下也可设mx + ny = 1(m 0, n 0且mH n).或设成弋+ r = 1 (“*工昭)的形式.m ir(3) 找关系，根据已知条件，建立关于a, b, c或m, n的方程组.(4) 解方程组，代入所设方程即为所求.6. 点与椭圆的位置关系2 x2 a2y 1,点在椭圆外7. 直线与椭圆的位置关系设直线方程y= kx + m,若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程:2ax+bx + c= 0(a h 0).(1) A 0,直线与椭圆有两个公共点;(2) A = 0,直线与椭圆有一个公共点； +(3) A V 0,直线与椭圆无公共点.8. 弦长公式

4、注意推导和理解)二1+-=十-若直线I : y kx b与圆锥曲线相交与A、B两点 工,)A (xi y B x y 则弦长1 2 2AB(xi2x )( y2 12y )22 2(X1 x )(kx kx )2 1 221 k X1X22()2 41 kxXx = X2$2)(丸.Vo)x+x2=2xqyi +2 =12 1 29. 点差法：利用,然后就是在求解 圆锥曲线 题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程， 并作差。求出直线的斜率利用中点求出 直线方程。涉及弦中点的问题常常用 “点差法”解决，往往会更简单.步骤:设直

5、线和圆锥曲线交点为,其中点坐标为,则得到关系式：把分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进行因式分解其结果为 ( )( ) ( )( ) 0m x1 x x x n y y y y2 1 2 1 2 1 23”二！门-丿2）利用 （X1 -只2）求出直线斜率，代入点斜式得直线方程为中点弦的重要结论（不要死记会推导）AB 为橢圆 p + tt = 1Sb0）的弦# A（Xp yi）f B（X2, y2）f 弦中点 M（x（）, yo）- （Cb弦AB的斜率与弦M和椭园中心0的连线的斜率之积为定值一10 参数方程x a cosy bsi n（为参数）几何意义：离心角x+yA切线x

6、x 0y y十0221(ab0)221abab22y+x* i*切线y y0x x- 0221(ab0)221abab22切线22x2+y21(ab0)ykx厂一一a k bab22切线一2 2 2y2+x21(ab0)yJTkxb k aab11、椭圆切线的求法1）切点（xoyo ）已知时，2）切线斜率k已知时，2 212、焦半径：椭圆上点到焦点的距离22xy221(0)abab2T 2=ya221(ab0)abr a ex （加减由长短决定）0=土r aey（加减由长短决定）013 离心率的求法椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：求出4代入公

7、式*=-;只需要根据一个条件得到关于几的齐次式，结 a合屏=“2一戶转化为q （的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或（於转化为关于e或e?的方程外等式），解方程（不等式）即可得（e的取值范围）.10. 焦点三角形的周长和面积的求法利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常用到结论有：（其中，8|丹訂+略=2卩杠f+|吋-2阿杆巧|6当厂为短轴端点时.&最大sin 01 + cos 0宀 &II=“ tan = ? v* .2r 1当比=丿儿 即厂为短轴端点时，孔化心有最大值为焦点三角形的周长为2（和+）.11. 椭圆的范围或最值问题橢圆的范18或最值问题常常涉及一些不等式例如-/? V/）?Otl, 求橢圆的相关量的范围也要注負应用这些不等关系.知识点四：椭圆了解知识1、椭圆面积：S a b椭 椭圆的第二定义：由此可知，当虫与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数1(0 1)时，这个点的 a轨迹是楠圆.一般称为榔圆的第二定义，定点是欄圆的焦点定胃线叫做欄圆的准线，常数扌是欄圆的离心率.庐+pss)，相应于焦点心Q的准线方程是根据椭圆的对称性，相应千焦点呦的准线方程是所以橢圆有两条准线.計于椭囲tj可见椭凰的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与