艺术生高考数学专题讲义：考点33空间点、直线、平面之间的位置关系

1、考点三十三 空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理1 .平面的概念数学中的平面是一个不加定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、海平面都给我们平面的形象.几何里所说的平面就是从这样的一些物体抽象出来的，平面是无限延展的，没有厚度， 也没有大小、轻重之分.2 .空间中的四个公理及其推论公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和直线外一点，有且只有与一个平面.推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一

2、条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.3 .等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 .直线与直线的位置关系位置关系的分类平行共面直线相父异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a, b的平行线li, l2(a/li, b/l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a, b所成的角.范围：0,2.5 .空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言何语日公共点直线与相交a Cl a= A1个平面平行a / a0个在平卸a? a无数个内平平行a / 30个面与平面相交aCl

3、3= l无数个典例剖析题型一平面的基本性质及应用例1在下列命题中，不是公理的是. 平行于同一个平面的两个平面相互平行 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案解析 由立体几何基本知识知，项为公理2, C项为公理1,项为公理3,项不是公理.变式训练 下列结论正确的是.经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面 经过两条相交直线，可以确定一个平面经过两条平行直线，可以确定一个平面经过空间任意三点可以确定一个平面答案 3个解析 当三点在一条直线上时不

4、能确定平面，故不正确，正确.解题要点 三点不一定确定一个平面.当三点共线时，可确定无数个平面.题型二空间直线的位置关系例2正方体ACi中，E、F分别是线段BC、CDi的中点，则直线 AiB与直线EF的位置关 玄旦不 TH.答案相交解析 如图所示，直线 AiB与直线外一点 E确定的平面为 AiBCDi, EF?平面A1BCD1,且 两直线不平行，故两直线相交 .变式训练 如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，AB H E N CGH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60°角；DE与MN垂直.以上四

5、个命题中，正确命题的序号是 .答案解析 还原成正四面体知 GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60° 角，DELMN.解题要点 1.空间两条直线的位置关系有三种：平行，相交和异面，要正确理解异面直线“不 同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2 .对于较复杂几何体的线面关系判定问题，应注意借助图形，考察各点、线在空间中的相对位置.3 .正四面体的特性：对棱都异面且互相垂直，记住这个特性有助于快速解题.题型三异面直线判定问题例3如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 AB, CD, EF, GH在原正方体 中互为异面直线的对数为 .答案3

6、解析 AB, CD, EF和GH在原正方体中如图所示，显然 AB与CD , EF与GH , AB与GH 都是异面直线，而 AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面的直线有 且只有三对.变式训练 若直线l不平行于平面 %且1?%则. ”内的所有直线与1异面 a内不存在与1平行的直线 a内存在唯一的直线与1平行 a内的直线与1都相交答案解析 依题意，直线 m a= A（如图）.a内的直线若经过点 A,则与直线1相交；若不经过点A,则与直线1是异面直线，故选.解题要点 判定异面直线有以下异面直线判定定理：平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线.另外判定两

7、条直线异面，还可依据：定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；既不平行也不相交的两条直线是异面直线。题型四异面直线所成角的求解例4已知正方体 ABCD AiBiCiDi中，E、F分别为BBi、CCi的中点，那么异面直线 AE 与DiF所成角的余弦值为.答案35解析如图，连接DF,因为DF与AE平行，所以/ DFDi即为异面直线 AE与DiF所成角的平面角，设正方体的棱欣 2+ 店 2_ 22 3长为2,则FDi = fd = V5,由余弦定理得 cos/ DFD i =2. 血2=g变式训练 直三棱柱ABCAiBiCi中，若/ BAC=90°, AB = AC = AAi,

8、则异面直线 BAi与ACi所成的角等于.答案 600解析 如图，可补成一个正方体，ACi II BDi.，BAi 与 ACi 所成角的大小为/ AiBDi.又易知 AiBDi为正三角形，AiBDi = 60°.即BAi与ACi成60 °的角.解题要点 求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上 (线面的端点或中点)利用三角形求解.当堂练习i.下列四个结论：(i)两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行.(2)两条直线没有公共点，则这两条

9、直线平行.(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.(4) 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.其中正确的个数为.答案 0解析 (i),两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能；X(2),两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面；又(3),两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能；又(4), 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内.2 .以下命题正确的是 .两个平面可以只有一个交点一条直线与一个平面最多有一个公共点两个平面有一个公共点，它们可能相交两个平面有三个公共点，它们一定重合答

10、案解析 对于，两个平面有一个交点就有过这个点的公共直线，故错.对于，直线在平面内时，可以有无数个公共点.对于，当三个公共点在同一直线上时，两平面相交，故错.3 .正方体ABCD AiBiCiDi中，E, F分别是线段 CiD, BC的中点，则直线 AiB与直线EF的位置关系是 答案 相交解析 直线AiB与直线外一点 E确定的平面为 AiBCDi, EF?平面AiBCDi,且两直线不平 行，故两直线相交4 若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是 答案平行、异面或相交解析当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现.5 三个平面两两相交，则交线条数为 答案i

11、或3课后作业一、 填空题i.四个命题：(1) 空间三条直线两两平行，则三条直线可确定三个平面；(2) 空间三点可确定一个平面；(3) 空间一点和一条直线可确定一个平面；(4)A 与 B 两点到直线 l 距离相等，则直线 l 和 AB 确定一个平面其中正确命题的个数为 答案 0 个解析(i)若三条直线在同一个平面内，则确定一个平面，故错误；(2)若三个点在同一条直线上则不能确定一个平面，故错误；(4) 空间上一点若在直线上，则不能确定一个平面，故错误；(4)若过 A、 B 两点的直线与直线 l 异面正方体的棱与底面的对角线异面A、 B 两点为两顶点 ) ，不能确定一个平面2.给定四个命题：(i)

12、一平面的面积可以等于i00cm3； (2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)铺得很平的一张白纸是一个平面； (4)20 个平面重合在一起比一个平面厚20 倍， 其中正确的有答案0解析根据平面的概念知，四个命题都不正确3对于空间中的两条直线，“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的条件 答案 充分不必要 解析.两条直线为异面直线 ？这两条直线没有公共点，反之，当两条直线没有公共点时，未必是异面直线，“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分不必要条件4 .已知异面直线 a, b分别在平面 ” 3内，且3= c,那么直线c 一定.（填序号） 与 a， b 都相交只能与a，

13、 b 中的一条相交至少与a， b 中的一条相交与 a， b 都平行答案 解析 若c与a, b都不相交，则c与a, b都平行，则a/b与a, b异面相矛盾.5 .若11, 12, 13是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 .（填序号）1 1, 12, 12 ± 13? 11 / 13 1 1_L 12, 12 / 13? 11 _L 13 1l/12/13? 11, 12, 13 共面卜，12, 13共点？ 11, 12, 13共面答案 解析 当11_L12, 12_L 13时，11与1 3也可能相交或异面，故不正确；11 _L12, 12 / 13? 11 _L 13,故正确；当

14、1 1 / 12/ 13时，11 , 12, 13未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故不正确； 11, 12, 13共点时，11, 12, 13未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故不正确.6 .设P表示一个点，a, b表示两条直线，口，3表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是 （填序号）PC a, PC 0?a? “；anb=P, b?仅 a? 3；a/ b, a? a,PC b,PC o?b? a； an3= b, PC % PC 傥PC b.答案 解析 当an “= P时，PC a, PC%（1 a?% .错；an 3= P时，错；如图，all b, PC b, P?a.，

15、由直线a与点P确定唯一平面 a又a/b,由a与b确定唯一平面 &但3经过直线a与点P,3与”重合，b? ”故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确.7 .若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线 . 答案平行或异面解析 两平行平面内的直线可能平行，也可能异面，就是不可能相交.8 . 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中.（填序号）.AB/CDAB与CD相交ABXCDAB与CD所成的角为 60°答案解析 如图，把展开图中的各正方形按图 （a）所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、 上、下面还原，得到图（b）所示的直观图

16、，可见选项、不正确.，正确选项为.图 （b）中，DE/AB, /CDE为AB与CD所成的角， CDE为等边三角形，/ CDE = 60°.9如图，在正方体ABCD A1B1C1D1 中， M、 N 分别为棱C1D1、 C1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线BN与MBi是异面直线； 直线AM与DDi是异面直线.其中正确的结论为 （注：把你认为正确的结论的序号都填上）答案 解析 直线AM与CCi是异面直线，直线 AM与BN也是异面直线，故错误.10如图，在正方体ABCDA 1B1 C1D 1 中， M 、 N 分别是棱

17、CD、 CC1 的中点，则异面直线A1M与 DN 所成的角的大小是答案 900解析 如图所示，取 CN的中点K,连接MK ,则MK为ACDN的中位线，所以 MK / DN.所以/ AiMK为异面直线AiM与DN所成白角（或其补角）.连接A1C1, AM.设正方体棱长为4,则 AiK= N 4啦 2+32 = *741, MK = ；DN =142 + 22 =耶，AiM=寸42+ 42 + 22 = 6,故 AiM2+MK2= AiK2,即/AiMK = 90°.11.如图所示，ABCDAiBiCiDi 是长方体，AAi=a, ZBABi = Z BiAiCi = 30°,

18、则 AB 与 AiCi 所成的角为 , AAi与BiC所成的角为 .答案 30° 45°解析 ,AB/AiBi,B1A1C1是AB与A1C1所成的角，AB与AiCi所成的角为30°.- AAi II BBi,BBiC 是 AAi 与 BiC 所成的角,由已知条件可以得出 BBi = a, ABi=AiCi = 2a, AB=V3a, ，BiCi=BC=a.四边形 BBiCiC 是正方形，BBiC=45°.二、解答题12, 直三棱柱 ABCAiBiCi 中，若/ BAC=90°, AB=AC = AAi,求异面直线 BAi 与 ACi 所成的角.解析 分别取AB、AAi、AiCi的中点D、E、F,则BAi/ DE, ACi/