高数B2分题型练习(答案)

1、1x2&29、e30、y10C4534、y 35、yxx15x2e 31、232、y GeCiX C2三、计算定积分高等数学B2分题型练习（参考答案）、单顶选择题1、(C)2、(D)3、(C)4、(C)5、(C)6、(D)7、(B)8、(B)9、(B)10、(C)11、(D)12、(A)13、(A)14、(D)15、(D)16、(A)17、(B)18、(B)19、(B)20、(C)21、(C)22、(C)23、(D)24、(C)25、(D)26、(A)27、(B)28、(A)29、(A)30、(D)31、(D)32、(B)33、(A)34、(B)35、(C)36、(A)、填空题111

2、,1、02、03、04、05、-6、-7、08、 2dx dy9、 dx dy22221arccos y10、011、012、22 (xdxydy)13、0dy 0f (x,y)dxx y0 0114、dy0丿2arcs inf(x,y)dxy15、11dx _0./xJ(x,y)dy16、1dx0xx2 f (x, y)dy1/317、-18、S 19、a020、1p 221、(,)22、 223、 1,1)633n2n 124、( 2,4)25、( 1)nnx , x(1,1)x26、27、(nx1),x (,)n 0n 0 n!n 0(2n1)!C2e3x 33、y x3 C,x C21

3、、 求定积分2 2 ecosx si nxdx02 cosx2 cosxcosx 2解： 2e sin xdx 2e d cosx e|(2 e 10 0 102、 求定积分xcosxdx0解:xcosxdx00x,20 4 xxd (s inx)xsin x |00 sin xdxCOSX|o24、求定积分2x In xdx14 x2dx2 2x0 4 x2dx2解:xln xdx12ln11 arcta n|° ln(42 2x2)l22x2ln x 1212xxd()22 xdx1 2In 222ln 2 |242ln 2 -45、求定积分0 dx0 dx 解: dx2x6、求

4、定积分2x 21 J1 x2 d jdx"2"x2解：令7求定积分01解：令01x.18、求定积分解:和 arctan(x 1)|21 (x 1)1sint，贝V dx costdt，且当 x 时, V2*xT x5 cost ,22 costdt4 sin t2 (csc t 1)dt4022 cot2 tdt4cott t) |24x 1 时，t2Hxt2 1,=dxxdx2tdt,2t211 1 txsin xdxxsin xdx°xd(乜0 x21x 1 .dx110、求定积分4 x2dx09、求定积分1解：0x20,t1；x 3,t2,2tdtcosx)

5、】dx1dx0 x21221(t2 t)dtxcosx |00%2十1t2)|20 cosxdxln(x21)|0sin x|01 1arctanx|0In 2 24解：由定积分的几何意义可知，分的面积，即4 x2dx0积分值为区域D ( x, y) | x22y4落在第一象限的部解法二，令 x 2sint，则dx2costdt,且当x 0 时，t 0,当 x2时，t 2，则x2dx024cos2tdt 202(1cos2t)dt2(t -si n2t)|?211、求定积分1 x2、1dx2x解：令tant，则dx2sec tdt，且当x 1 时，t12、求定积分解：令x1 -x.e dx03

6、dxX2厂X21 x.e dx02t , dx 2tdt,1 t2tetdt 203 seS tdt4 tan21 sectx 0,t0;x：tdet2tet|0谆dt4 sin211,t1,1 t2 etdt02e1sint2et|0t323四、计算偏导数、全微分1、设zuv,其中ux y,vxy,解:z (x y)xy2xyy2,上2小x 2xy2、设x2y sin xcosy，求dz解:因为 x所以dz2xycos x cos y,x2sin xsin yy2cosxcos y)dx (x sin xsin y)dyz2 uln v, ux ,vy3x2y，求-xz。yzzuzv12u

7、c:2u ln v3xuxvxyv2zzuzvx、uulnv (2)1 一yuyvyyv(2xy3、设(2)2y)解2x2 In(3x 2y) y2x2ln (3x y3x2y(3x 2y)xy xe2x2y2(3x 2y)4、设z解：因为2y5、设 z xe，求 dz。xyZxey2yln(1解:因为Zxe2y所以dz(e2yxy2 xyxye', zy x e y，2x )，求 dz。2,Zy 2xe2y 2yl n(11 x2xyi)dx (2xe2y 2yl n(11 x所以dz(exy xyexy)dx2 xyx e dy6、设zf(3x解:x2)，x2)dy2y)， f是可

8、微的函数，求23:。x y(3x 2y) 3,f (3x 2y) 22二 3二 2f (x2x y3f (3x 2y) 207、设zf (x, y)是由方程z2 4ez所确定的隐函数，求 一z解：设2F(x, y,z) xFxFz2x8设二元函数z4ez,则 FxX_2z 4ez 2ez z2x, Fy 2y, FzFyFzz。x y2z 4ezf (x, y)是由方程xexyeyzze2y2z 4ezy2ez z1所确定的隐函数，求一z,z。x y解：设 F(x, y,z) xex yey zez 1,则Fx ex xex,Fy(ey yey),Fz(ez zez)zFxxxe xex ex

9、 xezFyeyyeyxFz(ez zez)z ez ' zezyFzez ze9、设二元函数zf (x, y)是由方程z exyz0所确定的隐函数，求z zJ解：设 F(x, y,z) ezxyz,则 FFxyzzFz e xyyz,Fyxz, FzFyze xyxzze xy10、设二元函数z f (x, y)是由方程exyzz所确定的隐函数,解：设F (x, y, z)exyz x所以二xxyzFxyze 1xyz >Fz 1 xyeFxFzxyz , lxyzyze1,Fy xzexyz Axze 1xyzxyex1,Fzxyz /xye 111、设二元函数z f (x,

10、 y)是由方程ez222z zy yx xz所确定的隐函数，求，。x yx y解：设F(x,y,z)2y2yx2zxz e，则Fx2xy2z ,Fy2 x2y,Fz2xz ez所以zFx2xy2 zzFyx22yxFzz e2xz,yFzez2xz12、设二元函数zf (x, y)是由方程e xy2z e o所确定的隐函数，求，。x y解：设 F (x, y, z)Fx所以xxyze 2z e，xy lxy lye ,Fyxe , FzxyFxyeFz2 ezxyxez e五、计算二重积分1、求二重积分Dy2dxdy，其中:D为3xx29,x0,y解：利用极坐标,x2 y2 dxdyD320

11、3cos23cos r drd,3cos21 23-2 27 27cos3 0d9 0213COSd2一)32、计算二重积分沁 dxdy，其中区域D是曲线2x和直线yx所围成的闭区域。解：sindxdyD x1 xsi nx1 s inx0 Tdyldx0x y：2dx1osin x xsin xdx3、计算二重积分(-)2dxdy，其中区域d yD是直线x2, y x及曲线y -所围成的闭区域。x解：曲线y1与直线y x的交点为x(1,1), D1(x,y)| yxx,1 x2x 2()dxdy d y21(x X 22兀)dy)dx 1(x23(xx) dxJ 4(；x*x2)h24、求二

12、重积分xdxdy, 其中D是由直线y x和圆2(y 1)1所围成且在直线DF方的平面区域。解：直线与圆的交点为(0,0),(1,1),D(x, y)|yJ (y 1)2,01ydxdyD1 (y 1)21xdxdy -2101(y 1)2dy3y)5、求二重积分x2 ydxdy,其中D是由直线y(x1)1所围成的在第一象限的平面区域。解：D (x, y) |020【x2ydxdyD6、求二重积分(xD2x x2,0y2x x20 x ydydxy)dxdy，其中区域x 2122 . 2x x202x y bz1415(x x410D是由直线ydxx2(2x x2)dx解：D (x,y)|0 y

13、 . 1 x2, 1x 1)10450和半圆x2y2 1(y0)所围成。x2 ydxdyD1 存1【0 (x1y) dy dx 1(xy1 2 1 x:?y)bdx六、判定级数的敛散性1、判绽级数解：因为对收敛。2、判定级数1 x.1 x212 n43的敛散性。n4 1sin|Un2.nsin| |-1n 12(1 x2)dx 扣 ax3)|111n4 1.nsin工的敛散性。1 n2 11 1-，而正项级数收敛，所以级数44nn 1 n2.nsin3 绝1 n413、判绽级数n 121n2 2丄，而正项级数n，因此原级数.nsin -3解：这是一个正项级数，且limnUn 1Unlimn(n

14、1)2知级数收敛。n1 2n4、已知级数nn爲收敛散性，求常数a的取值范围。解：设unnan3n，则 limn|Un 1 |lim n1(n1)3nn所以当级数n-绝对收敛,1 n3n n|a| n3 |a|3而当a 3时，级数为，是发散的，当a3时,此当级数5、判定级数解：因为n-7收敛时，常数a的取值范围为1 n33(1)n1nn 113"-的敛散性。唱1lim (n 1)3 1所以级数 (n 11)3n 11 n3 1 -厂绝对收敛。33nn3 16、判定级数sin nn 1n 1 n3解：|un| | sin n |1 I3nTl所以收敛,因此七、幕级数1冷收敛,n 1 n绝

15、对收敛。22n-2n1，所以由比值判别法1时，级数级数为n 3(n3 1)为常数)的敛散性，并指出是否绝对收敛。1n 1n3sin nn 1n3L，而正项级数3n收敛，因此原级数n見绝对发散。1 n311)n-，是收敛的。因n1,1 1百是一个公比为q的等比级数,.1 33sinin1 绝对收敛。n 1 n31求幕级数nxn 1的收敛域及和函数。n 1解：由于limnan 1anlimUn n1，所以所以，幕级数的收敛半径R 1，收敛区间为(1,1).1时，幕级数成为n也是发散的因此，收敛域为1)n 1 n，显然是发散的；当 x1时，幕级数成为1,1)。当 x ( 1,1)时，s(x)nxn

16、1(xn)( xn)(n 12n 1x2、求幕级数(1)n-n 1 2n 1的收敛域。解：此幕级数缺少偶次幕项，所以不能用定理2n 1x8中的公式求收敛半径.我们可根据定理7求收敛半径设Un(X)(1)n2n由于limnUn 1(X)lim 2n 1 n 2n 3xUn(x)?122|x|2所以，当幕级数发散2 1，.因此，收敛半径1时，幕级数绝对收敛；当R 1，收敛区间为 (1,1).当21，即x 1或x1时,x 1时，幕级数成为(1)n 1，显然是收敛的；当xn 12n 1所以收敛域为1,1.1时，幕级数成为1(1)n -，也是收敛的, n 1 2n 1x3、将函数f(x)展开成x的幕级数

17、。3 x1解：因为n /x ( 1x 1)1 xn 0所以f(x)xx1xV)3x31 x3n0 33nx0 3n 13)14、将函数f(X)展开成x的幕级数。4 x解：因为-1n tx ( 1x 1)1xn 0所以f(x)1 1110(4)4x41 14n4n4n14)15、将函数f(x)-展开成x的幕级数。9 x1解：因为一 =xn,( 1 x 1)1 x n 0所以f(x)19 x22nXf，( 3x3)0 9n 1nx6、求幕级数的和函数。n 1 n解：幕级数的收敛半径为n，则当1 n设 s(x)n x) n对上式两边从0到x积分，s(x)收敛域为1,1)时,nx()ns(x)nxn

18、1s(0)1,1)幕级数的和函数 s(x)在收敛域(1)s(因此八、求一阶微分方程的通解或特解dy 2 y xX求微分方程dx 1(1解：这是一个线阶非代入通解公式，得2、求微分方程解：P(x)3、求微分方程1,1上连续,Iim s(x)x 1s(x)x)3的通解。齐次线性方程，因为2()dxx1 (xIn e(x(x 1)21)2(y yta nx tan x, Q(x)tan xdxe ( sin 2xe(x1 xIn (1所以有xln(1x)，即 s(x) ln(1 x)lim: 1x), xP(x)1)3e1)3(x 1)dxln(1x) In 21,1),Q(x) (xx>xd

19、x C)InC)(x 1)2dx C)1(x 1)4 C(x21)31)2sin 2x的通解。sin 2 x,由通解公式得tan xdxdx C)In cosxIn cosxe ( sin 2xe dxC)cosx( 2sin xdx C) cosx(2cosx C)x(x 2y)dy y2 的通解。dx，这是一个一阶齐次微分方程，设1xxduudx12udu1)iIn xx得 In u In(u 1)In C解：方程可化为3dx方程化为u x1u(u2，分离变量得 2udx(丄u1 2u _ du u(u 1)1 )du u 1用u 1代入并化简得xdxdux一dxdxxdx两边积分y(yx

20、) Cx解：方程可化为y1 -y x，因为P(x)代入通解公式,.Idxe x2 ,Q(x) x 2丄)x(x 1)3dxdxC)(xexdx C) x5、求微分方程 ydx x1 解：P(x) ,Q(x)x1dx y e x (1 (xexxsin x 斗满足初始条件xsin xC)y(2)0的特解。，由通解公式得xsin xxdxe xdx C) eln x (sin x mexxdx C)1 ( sin xdxxC)丄(cosxxC)由初始条件6、求微分方程y()21得C 0 所以特解为cosx解：P(x)dydx1,Q(x)1 x 丄dx e 1 x (1(1x)(1(1(1x)2的通

21、解。x)2ex)dxx)2，由通解公式得丄dx1 x dxC) (1C)eln(1x)(1x)2e ln(1 x)dx C)1x)(2(1x)2C)九、求二阶微分方程的特解1、求微分方程y 4y3y0在初始条件y lx 06, y |x 010下的特解。解：特征方程为r2 所以方程的通解为 yGG由初始条件得2、求微分方程y解：由特征方程yG6C14r4yr2 4rC1e6x30 ,解得特征根为GexC2e3x33xr1 1,r2Gex 3C2eC23C212y12C2e6，解得C1104,C22。特解为y 4ex 2e3x0在初始条件y |0，2xC202C283、求微分方程2y 2-.6y

22、 3y，解得x0 0,y lx 08下的特解。解得r,6,r22，所以方程的通解为由初始条件y |x 0 0, y |x 03，得C11，因此特解为yC2I6x2xe e解：由特征方程2r22-,6r 30在初始条件y lx 0 0, y lx 0尿 、，所以方程的通解为0，解得11下的特解。史Xy (C1x C2)e2C20L，解得C1.6 2C214、求微分方程y xsinx在初始条件解：方程两边积分一次得由初始条件GC2y|x 00,yy lx 00, y 1x0 1，得因此特解为y xe|x 03下的特解。y xsin xdx由 yx 0 3 得 C1再两边积分得y (由 y |x 0

23、 0 得，C25、求微分方程y 2y 3y解：特征方程为r2 2rxd(cosx)xcosxcosxdx xcosxsinx C13 ，所以yxcosx sinxxcosx3)dxsin x 3xsinx 2cosx 3xC2所以方程的通解为 yGC1由初始条件得6、求微分方程y 4y 5y 解：特征方程为r2 4r2，所以 yxsin x 2cos x0在初始条件y |x 030 ,解得特征根为Ge x C2e3xC22，解得C13C220在初始条件y|x050 ,解得特征根为3x 22, y |x 01,r22下的特解。ri1,C2i,y特解为y e3下的特解。|x 0r1 2 i,r22

24、 ie2x(C1 cosx C2 sin x)1由初始条件得，解得C12C1 C231所以方程的通解为 yG十、求平面图形的面积和旋转体的体积1、设平面区域D由曲线4与直线y(1)区域D的面积;(2)区域解：面积2S 2(4x2)dx1(4x x3旋转体的体积V04(y 4)dy2、设平面区域D由曲线3与直线x yx(1)区域D的面积;(2)区域x 3xe2x1,C2 1。特解为 y e (cosx sinx)0所围成，求D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积。3)|232)l23z 120(2 y 4y)|4 84所围成，求D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。3解：曲线y 与直线xx4的交点为(

25、1,3),(3,1)(1)区域D的面积为31(43x )dx (4xx(2)旋转体的体积31【(4x)23、设平面区域D由曲线x2y与直线y1,x9dx x0所围成,1 23-x 3ln x) |142(4 x)3 9|33x求3ln 3(1)区域D的面积;(2)区域D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积。解：所求面积为所求旋转体的体积为4、设平面区域D由曲线1 213 11n y dy -y |o -331 2 2Vy o(y ) dy -5与直线y x所围成，求x2(1)区域D的面积;(2)区域D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。1解：面积s 0(x)dx旋转体的体积V121311(2x 3x

26、)|0 6(x330(x2 x4)dx1x5)|0 -5155、设平面区域D由曲线(1)区域D的面积；1解：曲线y 与直线x1与直线yx(2)区域x及x 2所围所，求D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。x的交点为(1,1)(1)区域D的面积为21(x(2)旋转体的体积：x21 22Cx36、设平面区域D由曲线2x与直线y1) dx (】xx 212dx |x2x所围成，求In x) f3 In221 2 11x|1 E(1)区域D的面积;(2)区域D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。x25里5152解：面积s (2x0 旋转体的体积V21324)dx (x2x3)|2332244 30(4x

27、x )dy (§x多元函数极值应用题1、面积为48 (平方单位)的钢板，适当裁剪后，焊接成一个长方体形的无盖水箱(不计耗)，问尺寸如何设计，做成的水箱的容积最大解：设容器的长、宽、高分别为 x,y,z，则目标函数为V xyz (x, y, z 0)约束条件为xy2xz2yz48作拉格朗日函数L(x, y, z) xyz(xy2xz2yz48)Lxyzy2 z0Lyxzx2 z0由(7-12)可得方程组yLyxy2 x2 y0xy2xz2yz48将上述方程组中的第一个方程乘X ,第二个方程乘 y，第三个方程乘 z，再两两相减，得作拉格朗日函数L(x, y)8x2 12xy 3y2 (x

28、 y 230)可得方程组Lx 16x 12yLy 12x 6yx y 23000 。解得 x 90，驻点唯一，实际问题有最优解，所y 140以企业雇用技术工人、非技术工人分别为90, 140名时，能使产量达到最大。313、某企业生产某产品的产量 Q(x, y) 100xy刁，其中x为劳动力人数，y为设备台数，该企业投入5000万元生产该产品，设招聘一个劳动力需要15万元，购买一台设备需要 25万元,问该企业应招聘几个劳动力和购买几设备时，使得产量达到最大？解：由题意得约束条件为15x 25y 5000，即 3x 5y 1000作拉格朗日函数可得方程组31L(x, y) 100x"yz

29、1 1Lx 75x 4y43033Ly 25x4y 450。解得3x 5y 1000(3x 5y 1000)x 250，驻点唯一，实际问题有最优y 50解，所以企业招聘 250个劳动力，购买50台设备时，能使产量达到最高。4、某工厂生产甲、乙两种产品，当主量分别为x (千件)和y (千件)时，销售收入为2 2R(x, y) 15 12x 32y 8xy 2x 10y (万兀)如果工厂每月只能生产 2千件产品，问两种产品各生产多少件时，这个月的销售收入最大。解 总产量为2千件时的最佳的生产方案就是在x y 2的条件下，求R(x, y)的最大值问题。设拉格朗日函数为2 2L(x, y) 15 12

30、x 32y 8xy 2x 10y (x y 2)由问题本身可知最大值一定存在，所以当甲产品为0.5千件，乙产品为y 1.5千件时，销Lx 12 8y 4x0解方程组Ly 32 8x 20 y0 ,得唯一可能极值点(0.5 , 1.5)。x y 202R 2R 2R3，'3.3时，长方体的体积最售收入达到最高，最高销售收入为R(0.5,1.5)40万元而x, y, z应满足的条件为2 x2 2 2y z 4R作拉格朗日函数L(x, y, z)xyz(xyz4R2)Lxyz2 x0Lyxz2 y0,得唯一可能极值点R2R 2R解万程组 3，3)Lzxy2 z02 x2y2 z4R25、设有

31、一球面，方程为 x2 y2 z2 R2，求该球内接长方体的最大体积。 解 设长方体的边长分别为 x, y,z，则体积为 V xyz由问题本身可知最大值一定存在，所以当长宽高分别为大，最大体积为6、用钢板做一个容量为 料最省？解：设水箱的长、32立方米的长方体形无盖水箱，问长、宽、高各为多少时，所用的材约束条件为作拉格朗日函数宽、高分别为s xyxyzx, y, z，则目标函数为2xz 2yz 32(x,y,z 0)可得方程组L(x:,y, z)xy2xzy2zyz0x2zxz02x2yxy0xyz322yz (xyz 32)LxLyLzx，第二个方程乘 y，第三个方程乘z，再两两相减，得x y

32、y 2z代入第四个方程得唯一驻点x y 4,z 2，由问题本身可知最大值一定存在，因此当容器的长，宽均为 4米，高为2米时用料最省。十二、综合题将上述方程组中的第一个方程乘21、已知函数f(x)在0,1上连续且满足方程 f (x) 6x2x1o f (x)dx，求 f (x) o解：等式两边积分得10f(x)dx0因此f(x)f (x)dx 26x2 2x o2、设连续函数f (x)满足:f(x)解：等式两边积分得10 f(x)dxf(x)dx3、设连续函数f (x)满足:解：等式两边积分得4、右解:10f(x)dx -f (x)在0,0【f(X)6x2dx010 f (x)dx ,12xdx

33、0所以1o f (x)dx，由此得10f(x)dx 1,x x21xdx010 f(x)dx ,f(x)f(x)dx10 f(x)dx,101上连续，且f(0)f (x)dx，求f (x) o所以1dx o f (x)dx，由此得10 f(x)dx3-，因此f(x)4f(x)dx ，求f(x) o1 3 10xdx 0f(x)dx，由此得dxx1所以0 f (x)dx ，因此f (x)f (x)sin xdx o2, f( )1,计算f (x)sin xdx11 x2o f (x) f (x)sin xdx。f (x)sin xdxf (x)sin xdxsinxd(f (x)f (x)sin

34、 xdxsinxf (x) |00 cosxf (x)dx0 f(x)sinxdx0 cosxdf (x)0 f(x)sin =cos f (5、设函数f(x)连续，且满足f(x).,1x2 x3xdx cos xf (x) |0cosO f (0)f (x)sin xdxf(t)dt，求f(x)。解：等式两边积分得1f(x)dxdx1 3x3dx0f (t)dt,由此得f(x)dx6、设连续函数f(x)dx ,1f(x)dx03xf (x)满足：0tf(2x t)dt所以因此f (x)J x22x1arctan x2,f(1)21 f(x)dx。解：令 ux0tf (2x t)dtx2x(u 2x)f(u)duxuf (u)du2xxf(x)4xf (2x)x2 2xf(u)duf(u)duxf (x)-x人令x两边对x求导得2x即x由此得 2x2x 2xf(U)dUt则dt du，得2xf (x) 4xf (2 x)-arctan x2，2x-4，1 x2 11 ,