电大高等数学基础

1、一、单项选择题1-1下列各函数对中,A. f（x） （, x）2（C）中的两个函数相等.g(x) x b. f (x)x2g(x) Xc. f (x) ln x3,g(x) 3ln x d. f (x) x1 ， g(x)1-2.设函数f（x）的定义域为（f(x) f(x2 1x 1x）的图形关于（A.坐标原点b. x轴C. y轴d. y x设函数f（x）的定义域为（），则函数f（x） f（ x）的图形关于（C）对称.对称.A. y x B. x轴C. y轴D.坐标原点.函数yx x e e 的图形关于（A）对称.2（A）坐标原点（B）1- 3.下列函数中为奇函数是（x 轴(C) y 轴(D)

2、B) .2、A. y ln(1 x ) b. yxcosx C.xad. y ln(1 x)2下列函数中为奇函数是（A） .A. y x3 x b. y ex e xc. y下列函数中为偶函数的是（D） .ln( x 1) d. y xsin xAy （1 x）sinxBy2-1下列极限存计算不正确的是（x2xCyD) .xcosx Dy ln( 1x2)A. limxc. limx2-2当2xx2 2sin x1 b. lim ln(10x) 00 D. limxA.0时，变量（.1 nxsin 0x0是无穷小量.sin x 1. 1b. 一c. xsin -d. ln(x lx x x0时

3、，变量（C）是无穷小量.0时，变量（D）是无穷小量.下列变量中，是无穷小量的为（B）“.1八.）八Asin - x 0 Bln x 1 x 0 x2)“ 1 - sin x 八 xA bcexA1 Bxxsin xx1D 2xC2xDln(x1)1 Cex f(13-1设f (x)在点x=1处可导，则limh 0A. f (1)B. f (1)C.2f (1) D.2h)D. x f(1)设f (x)在xo可导,则limh 0f(xo 2h)h 2f (1)f (xo)(D).A f (xo) b2 f (xo) C f(xo)D 2 f (xo)f(Xo 2h) f(Xo)(D)f (Xo)

4、1 _ 1(A) Ae b. 2eC. eD. e24设f (x)在x0可导，则limh 0 2hA. 2f (Xo)B. f (Xo)C.2f (Xo)D.设 f（X）e,则 limf（1X）f（1）X 0X3-2.下列等式不成立的是（D）.X , X11 A. e dX de b sin XdX d (cosx) c.dX d . x d. In XdX d(-)2、xx11 dx下列等式中正确的是（ B） . A. d（-） arctan xdx b. d（_）一-221 XX XC. d（2X In 2） 2Xdx d. d （tan x） cot xdx4-1函数f（x） X2 4x

5、 1的单调增加区间是（D） .A.（, 2） b. （ 1,1）C.（2,）D.（ 2,）2函数y x 4x 5在区间（6,6）内满足（A） .A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升.函数y X2 X 6在区间（5, 5）内满足（A）A先单调下降再单调上升B单调下降C先单调上升再单调下降 D单调上升2-.函数y x 2x 6在区间（2, 5）内满足（D） .A.先单调下降再单调上升 B.单调下降C.先单调上升再单调下降 D.单调上升11125-1 若 f(x)的一个原函数是 一，则 f (x)(D) . A. In Xb. C.D.XX X X.若F (x)是

6、f (x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A)。XbA f (X)dx F (X) F (a)B F (x)dx f (b) f (a) aabC f (x) F(x) D f (x)dx F (b) F (a) a5-2 若 f(x) cosx,贝U f (x)dx (B).A. sin x c b. cosx cC. sin x c d. cosx c下列等式成立的是(D).A. f (x)dx f (x) b. df (x) f (x)C. d f (x)dx f (x) d. f (x)dx f (x) dxd 233、23113一 X f (x )dx(B) . A. f (x )

7、 B. X f (x ) C. 一 f (x) D. f (x )dx 33d2, 2 1. 12 xf (x )dx (D)Axf (x )b f (x)dx C f (x)Dxf (x )dx dx2215 -3 若 f(x)dx F(x) c,则 fx)dx(B) . XA.F(.x) cb. 2F( .X) cC.F(2、.x) cd. 1 F(.x) c X1补充：eXf(eX)dxF(ex) c,无穷积分收敛的是dx 1 x函数f(x) 10x 10 x的图形关于y轴对称。、填空题一-,.2一1函数f(X) 9 ln(1 x)的定义域是 (3, +8)函数y x 44 x的定义域是

8、(2, 3) U (3, 4ln(x 2)1.函数f(x) ln(x 5)的定义域是(5, 2),2 xx 1. x 0若函数f (x),则f (0) 1.2x , x 012若函数f (x)(1 x)x， x0 ,在x 0处连续，则kx k, x0sin 2x - x 0.函数f(x) x在x 0处连续，则kk x 0函数y函数yx 1 , x0的间断点是x=0sin x, x0x22x 3 的间断点是 x=3。x 3函数y的间断点是x=03-1.曲线f(x) jx 1在(1,2)处的切线斜率是 V2曲线f(x)Jx 2在(2, 2)处的切线斜率是 14 .曲线f(x) ex 1在(0, 2

9、)处的切线斜率是1 3.曲线f(x) x 1在(1,2)处的切线斜率是3.一 ,、.,兀，、3-2曲线f (x) sin x在(一，1)处的切线方程是y=1.切线余率是02曲线y=sinx在点(0,0)处的切线方程为 y=x切线斜率是12、4.函数 y ln(1 x )的单调减少区间是(8 , 0).2函数f (x) ex的单调增加区间是(0, ”).2.函数y (x 1)1的单调减少区间是( j 1)乂2函数y e 的单调减少区间是225-1 d e x dx e x dx(tan x) dx tanx+C0、+8 )d22.sin x dx sin x dx若 f(x)dx3 55-23

10、(sin xsin3x c,则 f (x) ,1 x3-)dx 3.21 x29sin3xd edx 0 ln( x 1)dx 01dx 1下列积分计算正确的是1A(ex e1三、计算题(一)、计算极限(1)(2)类型1-11-21-31)dx 0b (ex1小题,11分)ex)dx 0C1x2dx10D1J x dx 0利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。利用连续函数性质：f(x0)有定义，则极限lim f(x)f(xo)x Xo1:利用重要极限 lim sin x 1 , lim sin kxk , limx 0 xx 0 xx 0sin 6x 初求lim角牛:x 0 si

11、n 5xlim x 0 sinsin 6x5xsin 6xlxm0 高x57tan kxk计算求妈求1如tan x 叼 解：3x吗解:xlxm0tanx3xtan3x1 lim3x 0xtan x 1类型2:因式分解并利用重要极限2-1 求 lim xx21x.解:1 sin(x 1)tan3x= lim .3 1x 0 3xsin(x a)x alim 1 , lim- 1x a (x a) x a sin(x a)xim1sin(x1 =lim (x 1)1) x 1 sin(x 一.(x1)1)化简计算。1 1)22-2 lxm1sin x 1解:lxm1sin(x 1)lxm12-3网

12、x2 4x 3解:4x 3类型3:3-1 xm43-2 limx3-3 xm2sinx 3)lim x 3 sin(x 3)M3sin(x 1) .(x 1)(xJ3)(x(x1)sin(x 3)因式分解并消去零因子，再计算极限2x2x2x3 23 x2x5x 42.x lim x 4x26x5x1)3xx2 4其他：lim x 012limx :2 x3 23 xx 122 .工解lim3x 2limsin xx241 2 x2sin x8=lim(x 4)(xlim3(x1)2)4 x 4(x 4)(x 1)x 3 x 2 limx 2 lim x 3 x 4(x 2)(x 1)(x 2)

13、( xsin x limx 0 , x 1 12)limM2sin2.x lim x x6x4x 5limx2 x2 x(0807 考题)计算 lim an 8x x 0 sin 4x.解:limtan8x2x2 6xlim -2x 3x 4xtan 8xlimx2x23x2x 0 sin 4x= x lim x 0 sin 4x(0801考题.)计算1防火.解lim叫 1lim叫 1x 0 2x x 0 2x 2 x 0 x 22x 2x 3 (x 1).( x 3)(0707 考题.)lim = lim 31 1(13)4x 凑微分类型1:-2-dxd (1)xx 1 sin(x 1) x

14、 1 sin(x 1)(二)求函数的导数和微分(1小题，11分)(1)利用导数的四则运算法则(u v) u v (uv) uv uv(2)利用导数基本公式和复合函数求导公式类型1: I加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。1-1 y (x . x 3)ex33解：y = x2 3 exx221-2 y cot x x ln x解：y (cot x) (x2 ln x)3 ex3 132 xx2e23x23 ex3 1 33x2 x223 ex2222csc x (x ) ln x x (ln x) csc x 2x ln x x1-3 设 y ex tan x

15、ln x ,求 y .解：y(ex tanx)(ln x)(ex) tan x ex (tan x)1 xx 21一 e tanx e sec x 一xx类型2:相减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导22212-1 y sinx lnx,求 y 解：y (sin x ) (ln x) 2xcosx x2-2 y cosex sinx，求 yx2x/x、2/2、x . x斛：y (cos e ) (sin x ) sin e .(e ) cosx .(x ) e sin e2-3 y ln5 x e 5x,求 y ,解：y (ln5 x) .(e 5x)ln4 x 5e 5xx类

16、型3:展积与复合函数混杳运算的求导，先装则导，后复杳录导一x2q/ x2 , x2x2y e cosx,求 y 。解：y (e ) cosx e (cosx) 2xe cosxc22xcosxX2 e sin x其他：y解：y0807.设 y0801.设 y0707.设 y0701.设 y2x(2x)cosx -，求 y。x(cosx)x2xln 2(cosx) .x cosx.(x)x2 ln 2xsin x cosxsin x2sin x2、e sin x ,求 y 解：y (e ) (sin x )x2x2x2x2xe ，求 y 解：y (x) e x(e ) esin x 2 、分rs

17、in x2、e x ,求 y 解：y e .(sin x) (x )sin x e cosx2x2xcosx22 x22x esin x cosxe2xxx x、ln x cose ，求 y 解：y (ln x) sin e .(e )x - x 一 e sinex(三)积分计算：(2小题，共22分)0707.计算0701计算.1 sin 2_x_ dx 1解: x1e-dx 解：x.1 sin 一x2-dx凑微分类型2:x1 dx x11sin d(-)1 exd(-)1ex-dx 2 d 尿 、x.计算coyxdx .解：0807.计算 sin.xdx 解:e x0801.计算 dx解:x

18、凑微分类型3:，1计算 dx解:xlnx1cos- cxcosvx dx 2 cosVdv5x 2sin Vx c ,xsnXxdx 2 sin xd2 cos.xe xdx 2 e xd x 2e x c x1dx x1 dx xlnxe 2 ln x.计算 2 1nx dx解:1 xe215 定积分计算题，分部积分法类型1：计算计算计算08070707d ln x,d In xIn x1dx x1du ud(a Inx)In | In x | cln x ,dxxe11 (2 ln x)d(2 ln x) (2xa lnxdx 1 lnxdxa 1 -xa 1 lnx 1 xadxa 1a

19、 1a 1exlnxdx 解:1xln xdxIn xdx21x2lnxln x ,2dx 斛: x1nxdx 解：:义I.xlnxdxe 2x In xdx1类型 2 xeaxdx122=21ln x , 一2 dxx3x 2ln xd % x1 In xd() xIn xd、x21ln xIn x)21lnx xa1 c 1 (a 1)21 2-x c41 -cx4、x c(2、x ln x4v x)elnxd12 1(x2 ln334 -9x2)2 1e29elnxdx11 1 3 .(3x ln139x)ax 1 ax 1 _ax -xd(e ) xe 2 e c a a1o xdex

20、 (xex ex)xsin axdx11 11. cc-xcosax a-cosaxdx a-x cosax asin ax c a10类型3:1 v(0801 考题)xe d x0四、应用题(1题，16分)类型1:圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为解：如图所示，圆柱体高 h与底半径r满足h2圆柱体的体积公式为 Vr 2hl，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大?22r l h 2 )h求导并令VMl2 3h2).3 .仔h l ,并由此解出 3即当底半径r 2_l ,高h3居时，圆柱体的体积最大.3类型2:已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。2-1 (0801考题)某制罐厂要生产

21、一种体积为V的有盖圆柱形容器,解：设容器的底半径为.r 2.h, h问容器的底半径与高各为多少时用料最省V2.r表面积为S2V2V2r,此时h7t由实际问题可知，当底半径r 3H与高h 2r时可使用料最省。、2一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小?解：本题的解法和结果与2-1完全相同。生产一种体积为 V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省解:设容器的底半径为r ,高为h ,则无盖圆柱形容器表面积为 sTtr2 2 Ttrh2-2解:S 2 ur由实际问题可知,2V-2r0,得 r1,h r,当底半径欲做一个底为正方形，容积为设底边的边长为x,高为表面积y2x 4xh2x目与高h r时可使用料最省。l冗32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？(h ,用材料为y ,由已知x2h32, hV2， x0707考题)得x34Vx2V 64 ,此时x4, h由实际问题可知， x 4是函数的极小值点，所以当 x4,V=2xh 2时用料最省。曲线y2L 2(x3-