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文档简介

1、分析法典型例题1已知ab0,求证:abvab.证明:abvabv(ab)W abva 2ab+bvabvbvabvbvavbvav 0(已知条件).2.设x,yR+,且x+y=1,求证:111+1+9.xy1 1证明:1+1+9vx y111+ 1+9vx1xx+1x2x92+xx22xx2 22+xx9x9xv28x8x+20v(2x1)20此式明显成立.13.已知0vxvy,求证:证明:11yx+11y+1_+1y1x+1y2ynyyv1 1 yv= y+1y2 1 yv2y 0vy0 (已知条件)._a+bc+bc+a4.已知a,b,c是不全相等的正数,求证:lg +lg +lg lga

2、+lgb+lgc. a+b c+b c+a,证明:lg 2_+lg 2+lg 2lga+lgb+lgclg(abc)a+bc+bc+b22abca+bab,学ac,字bc(三式等号不能同时成立)=a,b,c为不全相等的正数(已知).2 2 25.已知实数a,b,c满足cba,a+b+c=1,a+b+c=1,求证:证明:a+b+c=1,又a1 2 3+b2+c2=1,14 c 0,即1a+b3.3341a+b3.31a+b3?1-3c0,解得 一3c1.3又cb0,即卩cc(a+b)+ab=cc(1c)+cc=3c2c0,2c3(舍去).32 2 2解:令x=y=1,得3wc3, c=3.F面给

3、出证明:x y2+w一 2xy(这个明显成立).6.是否存在常数c,使得不等式x2x+y+yx+2yxx+2y+y2x+y对任意正数x,y恒成立?2(x+ 2y)(2x+y) W3x(2x+y) + 3y(x+ 2y)v2xywx2+y2(这个明显成立).综上所述,c=2.37.已知a, b,cR+,且a+b+c=1,求证:,3a+2+ 3b+2+3c+2w 3 3.证明:r3a+2+/3b+2+ *3c+2w 3 3v -(3a+ 2 + 3b+ 2 + 3c+ 2)2w(3 3)23a+ 2+ 3b+ 2+ 3c+ 2+ 2 3a+ 2 3b+ 2+3b+ 2 3c+ 2+3a+ 2 3c

4、+2w27v2 3a+ 2 3b+ 2 + 3b+ 2 3c+ 2 + 3a+ 2 3c+ 2w 18.v2.j3a+ 2寸3b+ 2 +j3b+ 2 .J3c+ 2 + j3a+ 2 .j3c+ 2w 6(a+b+c) +12,且a+b+c= 1 v23a+ 2 3b+ 2w (3a+ 2) + (3b+ 2),且23a+ 2 3c+ 2w (3a+ 2) + (3c+ 2),且23b+ 2 3c+ 2w (3b+ 2) + (3c+ 2).va,b,c R+.&已知a0,b0,2ca+b,求证:cc2-abvavc+c2-ab.证明 :c- c2-abvavc+,c2-abv, f

5、cabvacv + jc abv =|a-c|v. c2-abv(a c)2v c2 abva2 2ac+ c2v c2 abv2aca2+abv2ca+b(已知).9.已知a, b,cR+,且ab+bc+ca=1,(1)求证:a+b+c, 3;2 + 2 2 2证明a+b+c,3v(a+b+c)3,且a,b,cRva+b+c+2(ab+bc+ac)32.22“2.2只.2222va+b+c1=ab+bc+cava+b2ab, b+c2bc,a+c2ac.2x3=x+2y计2X+y证明10.已知a,证明log求证:.3(.a+ .b+c).b+acac+1b;bc a+b+cyf3ab,abc

6、 abcabc汨b+ ca bc+b ac+c abw 1 =ab+bc+caab+acab+be一 一cb+aca bc=ab -acw2且bac=abbcw2且cba=cbacwb,c,d都大于1,且loga(bed)11 1 1+耐1logablogaC-1logablogaClogadablogaClogada,b,c,d都大于1,11.已知函数f(x)=tanx, x0,logablogaClogad27logab+logac+logad3loga(bcd) 39 3w3=27fX1+X221证明:2【f(xd+f(X2)f2X1+X2X1+X21(tanx1+tanX2)tan ?

7、sinX1sinX2+COSX1COSX2X1+X2sin2X1+X2COS2sinX1COSX2+sinX2COSX12sinX1+X2X1+X2 cos 2COSX2COSX22COSX1+X22sin(X1+X2)sin(X1+X2)COSX2COSX21+cos(X1+X2)1+cos(X1+X2)2COSX1COSX2,且X1,X20,1+COSX1COSX2sinX1SinX22cosX1COSX2cosx1cosx2+sinX1SinX2COS(X1X2)X1MX2.12.求证:对任意实数x,不等式訂常w1恒成立.证明Ssjnxw12+cosx| .3sinx|w|2+ cosx

8、|22|3sinx|w|2+ cosx|3sin2xw 4+ 4cosx+ cos2x24cosx+4cosx+10(2cosx+J20恒成立.已知三角形三边长为a,b,c,面积为S,求证:a2+b2+C4 3S.1 ” “a+b+c4j32ab、.;1cosC-12a bcosC-12a2b2一22 22 c. 2 24 . 410aD+2a c+2b c-3(a+b+c+2a b-2a c-2b c) 0 v4c.4小4小2.2小22.22只2a+2b+2c-2a b-2a c-2b c0v,2. 2 2八22、2,22、(a-b)+(b-c)+(a-c)0.16. 已知|a| v 1,|

9、b| v 1,求证:a+b1+ab证明a+b1+ab| a+ b| v |1 + ab|v| a+ b|2v |1 + ab|2v13.证明a2+b2+c24 3S4 32absinCva4+b4+c4+2a2b2+2a2c2+2b2c212a2b2(1-cos2C)a4+b4+c4-10aV+2a2c2+2b2c2-12a2b22 2 2a+b-c2aba2+b2-c220bz2. 2、222、2, 22、只(a-b)+(b-c)+(a-c)0.14. 已知ab0,求证:(a-b)8a(a-b)28b15.证明(a-b)8aa+b2-abv(ab)28b(a-b)2a+b- (a-b)28a

10、v 2v 8 (a-b)2 (血-的(a-b)28a28b已知a, b,c戌,求证:证明(a-b)24b444a+b+c ab ac bc一+ = +一.c b aabc444a+b+c ab ac bc一+二+一 0v2 2 2 2 2222 2 2a + 2ab+bv 1 + 2ab+a bvabab+1 0 v (1 a)(1 b) 0 v1a4 0且1 b20 (或1 a2v 0且1 b2v 0)v=|a|v 1, |b| v 1.17.已知p, q(0 ,+s ),且p3+q3=2,求证:p+qw 2.33333证明p+q 0v222(p+q)(ppq+q)pq(p+q)0(P+q)

11、( pq)0p,q(0,+).+ tan /+ tanBv 1 + tanAtanB+ tanA+ tanBv1&已知x (0 ,+s ),求证:,x+丄x+1+1w 2羽.证明x+1x心+士-1w2V3 vt ,t2 1 w 2 3,t+ . 3w 2+ t2 1 v(t+3)2w (2 + %ft2 1) $v=222f13tw4(t 1)v-t4v-t2v-t=x+2 (x(0,+).+ 2 2 219.已知a,b,cR,求证:log3(a+b+c)2log3(a+b+c)一1证明log3(a+b+c)2log3(a+b+c)一1vlog3(a+b+c)+12log3(a+b+c

12、)vlog33(a+b+c)log3(a+b+c)且a,b,cRv -3(a+b+c)(a+b+c)v -2 2 2 2 2 2 2 2 22a+2b+2c2ab+2bc+2acva2ab+b+a2ac+c+b2bc+c0v2 2 2(ab)+(bc)+(ac)0.21+tanA+1+tan21 11+tan f 1+tanBv5v51tan A tanB1+tanA+1+tanBv1+tanA+1+tanBv111+tan A 11+tanB11+tanA+1+tanBv1+tanA+1+tanB1 1 1 1i+an+i+anv1一1+an+1证明2 0.在锐角三角形ABC中,求证:tan

13、AtanB1+tanA+1+tanBv1+tanA+1+tan Bv tanAtanBvcotAv tanBvntan Av tanBva一-b+ca a+cb a+bc=2a2b+b+ca a+cb a+bc2a2b2cb+ca+1+a+cb+1+a+bc+19va+b+c a+b+c a+b+c+ 9 vb+ca a+cba+bc1a+b+c)b+a+耳9v(b+ca)+(a+cb)+(a+bc)+ar)+a+b9vb+ca)+(a+cb)+(a+bc)3(b+ca)-(a+cb)-(a+bc)10vabwv 4 (已证).4(2011年高考全国卷理科压轴题)2x(1)设函数f(x)=In

14、(1+x) 一2,证明:当x0时,f(x)0;从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取9191得的20个号码互不相同的概率为p,证明:pv vr.10e2x2(x+2)44已知a,AvBn锐角三角形ABC中,A+B .b,c为三角形的三边长,求证:1b+ca+a+cb+a+b31b+ca1a+cb1a+bc22.已知证明b+ca0,a+cb0,a+b-c004ab4(ab)217ab+40证明2bv (4ab 1)(ab 4) 0 v23.20次,设抽证明(1) T f(x)=In(1+x)x+2=ln(1+x)x+2=ln(1+x)2+x+22“、14(

15、x+2)4(1+X)门 /x、c、(X)=TX(x+2)6=(1+x)(x+2)2=(1+x)(x+2)20 ( X0),f(x)在(0,+)单调递增, f(x)f(0)=0.64. 2n(2)易知1009998 819998. 8110020100先证左端不等式pv91910919PV1099 98. 81V1001990 191999 98 97 81 V 90199 98 97. 81 V 90 99+98+971+81=90.19再证右端不等式10191v二:e199v10191v In2v9219|n10 v Ine-98 97. 81 v2x1由(1)知|n(1+x)x+2,令x=&(福建省2008年高考理科压轴题)已知函数f(x)=In(1+ x)x.( I )求f(x)的单调区间;(n )记f(x)在区间0,n(nN*)aaa3a1a3 a2n11-上的最小值为bn令an=ln(1+n)bn,求证:J+ I + + 2n-v 2an+11 a2a2a4a2a4 a2 n1一x解(I )由f(x)=ln (1+x)x得f(x)=1=,易知当x(1,0)时,f(x)0,f(x)I十I十单调递增;当x(0,十8 )时,f(X)0,f(x)单调递减.证明(n )由(I)知,f(x)在区间0,n(nN*)上

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