九年级数学垂径定理

1、九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版人教版【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系学习目标 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三” 。 （1）过圆心， （2）垂直于弦， （3）平分弦， （4）平分劣弧， （5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2） （4） （5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。 ”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧” 。 2. 深入理解垂径定理及推论

2、，为五点共线，即圆心 O，垂足 M，弦中点 M，劣弧中点 D，优弧中点C，五点共线。 （M 点是两点重合的一点，代表两层意义） C O A B M D 3. 应用以上定理主要是解直角三角形AOM，在 RtAOM 中，AO 为圆半径，OM 为弦 AB 的弦心距，AM 为弦 AB 的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该 RtAOM 时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4） （2）或（5）（2）可推（1） （3） （5）或（1） （3） （4） ，实际可用垂径定理及推论解决

3、弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等， （2）所对弧相等， （3）所对弦相等， （4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三” ，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ( )( )( )( )1234 O B M A B M A 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数度数与弧的度数度数等，而不是角等于弧。二. 重点、难点： 垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。【典型例题典型例题】 例 1.

4、已知：在O 中，弦 AB12cm，O 点到 AB 的距离等于 AB 的一半，求：AOB 的度数和圆的半径。 点悟：点悟：本例的关键在于正确理解什么是 O 点到 AB 的距离。 解：解：作 OEAB，垂足为 E，则 OE 的长为 O 点到 AB 的距离，如图所示： O A E B OEABcm1212126 () 由垂径定理知：AEBEcm 6 AOE、BOE 为等腰直角三角形 AOB90 由AOE 是等腰直角三角形 OAAE6 26， 即O 的半径为6 2cm 点拨：点拨：作出弦（AB）的弦心距（OE） ，构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。 例 2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦

5、AB，交小圆于 C、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a，b。 求证：ADBDab22 A C E D B O 证明：证明：作 OEAB，垂足为 E，连 OA、OC 则OAaOCb， 在中，Rt AOEAEOAOE222 在中，Rt COECEOCOE222 AECEOAOEOCOE222222 OAOCab2222即AECEAECEab22BDACEDCE,ADEDAECEAEBDACCEAE即22baBDAD 点拨：点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。 例 3. O 的直径为 12cm，弦 AB 垂直平分半径 OC，那么弦 AB 的长为（ ） A. B. 6c

6、mC. D. 3 3cm6 3cm12 3cm（2001 年辽宁） 解：解：圆的半径为 6cm，半径 OC 的一半为 3cm，故弦的长度为 2 632 3 216 32222()cm 故选 C。 例 4. 如图所示，以 O 为圆心，AOB120，弓形高 ND4cm，矩形 EFGH 的两顶点 E、F 在弦AB 上，H、G 在上，且 EF4HE，求 HE 的长。AB D H M G A B O E F N 解：解：连结 AD、OG AODAOB121212060 OAOD AOD 为等边三角形 ODAN NOND4cm ODOG8cm 设，则HExMGxMOxcm24， 在中，由得：Rt OMGM

7、GOMOG222 xx42822 解得：（舍去）xx121254 ， HE 的长为cm125 点拨：点拨：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常用方法。 例 5. 已知，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，且，则 DC 的长为（ ABcmOCcm85，） A. 3cmB. 2.5cmC. 2cmD. 1cm（2001 年北京东城区） 解：解：OD 54322 DCcm532 () 故选 C。 常见错误：将 DC 错算为 OD，即算出 OD 就不再计算 DC 了，从而错选 A。这种错误十分常见，一定要注意慎重的计算完全。 例 6. 在O 中，那么（ ）AB

8、AC2 A. B. ABACABAC 2 C. D. ABAC 2ABAC 2 解：解：如图所示，连结 BC。 C A B O ABAC2 ACBC ACBC 在ABC 中，ABACBC AB2AC 故选 D。 点拨：点拨：本题考察弦、弧、圆心角之间的关系，要正确理解三者之间的关系定理。 例 7. 已知O 的半径是 10cm，是 120，那么弦 AB 的弦心距是（ ）AB A. 5cmB. C. D. 5 3cm10 3cm523cm A B O C 解：解：如图所示，AOB120OAcm 10 AOCAOB1260 在 RtACO 中， COAOAOCcmcos()10125 故选 A。 点

9、拨：点拨：本题考察弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系，要正确构造三角形，灵活运用。 例 8. 等腰ABC 的顶角 A120，腰 ABAC10，ABC 的外接圆半径等于（ ） A. 20B. 15C. 10D. 5 解：解：如图所示，连结 OA、OB A B C O D ABAC10 ABAC 由垂径定理的推论，得 OA 垂直平分 BC，垂足为 D 又BAC120 ABCACB30 BAO60 又OAOB AOB 是等边三角形 半径 OAOBAB10 故选 C。 点拨：点拨：垂径定理及其推论是很重要的性质，主要解题思路是构造特殊的三角形，然后应用定理解题。 例 9. 点 P 为半径是 5 的O 内

10、一点，且 OP3，在过点 P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有（ ） A. 2 条B. 3 条C. 4 条D. 5 条（2002 年山东） 解：解：选 C。 点拨：点拨：圆是中心对称图形，故与 P 点对称的点，关于中点对称有一个，关于轴对称有 2 个。因此，长度为整数弦一共有 4 条。 例 10. 如图所示，M、N 分别是O 的弦 AB、CD 的中点，ABCD。 求证：AMNCNM A C M N B D O 点悟：点悟：由弦 ABCD，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又 M、N 分别为AB、CD 的中点，如连结 OM、ON，则有 OMON，OMAB，ONCD，故易得结论。 证明

11、：证明：连结 OM、ON O 为圆心，M、N 分别为弦 AB、CD 的中点 OMAB，ONCD ABCD OMON OMNONM AMN90OMN CNM90ONM AMNCNM 点拨：点拨：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题。 例 11. 在与中，分别有 40的和，那么：O1O2MNM N11 （1）与相等吗？MNM N11 （2）与相等吗？MO N1M O N121 错解：（1）因为与都是 40的弧MNM N11 所以MNM N11 （2）与相等，所以MNM N11M O NM O N11121 常见错误：（1）误以为弧的度数相等弧亦相等，两弧相等必

12、须是在同圆或等圆的前提下，看它们是否“重合” ；（2）应该知道圆心角是角，它的大小是可以用度数来衡量的，度数相同的角就相等。可见它不受所对的弧相等与否来制约。 正解：正解：（1）不一定相等。 （2）相等。【模拟试题模拟试题】 （答题时间：30 分钟）一. 选择题。 1. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧 C. 在O 中，AB、CD 是弦，若，则 ABCDACBD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径 2. 已知 P 为O 内一点，且 OP3cm，如果O 的半径是 4cm，那么过 P 点的最短弦等

13、于（ ） A. 2cmB. 3cmC. cmD. cm72 7 3. 弓形弦长 24，弓形高为 8，则弓形所在圆的直径是（ ） A. 10B. 26C. 13D. 5 4. 在直径是 10cm 的O 中，为 60，则弦 AB 的弦心距是（ ）AB A. B. C. D. 10 3cm1523cm5 3cm523cm 5. AB、CD 分别为大小不同圆的弦，共 ABCD，那么的关系是（ ）ABCD、 A. B. ABCDABCD C. D. 不确定ABCD二. 填空题。 6. 已知 AB 为O 直径，AC 为弦，ODBC 交 AC 于 D，AC6cm，则 DC_。 7. 直角三角形外接圆的圆心在

14、_，它的半径为_一半。 8. 若一个圆经梯形 ABCD 四个顶点，则这个梯形是_梯形。 9. 弦 AB 把O 分 3：7，则AOB_。 10. 若O 半径是 4，P 在O 内，PO2，则过 P 点的最短的弦所对劣弧是_度。 11. O 中，弦 AB 垂直直径 CD 于点 P，半径 OA4cm，OP2cm，则AOB_，ADC_，度数为_，ADC 周长为_ cm。BD三. 解答题。 12. 如图，O 的两弦 AB，CD 互相垂直于 H，AH4，BH6，CH3，DH8，求O 半径。 C A H B O D 13. 已知：如图，C 为O 直径 AB 上一点，过 C 点作弦 DE，使 CDCO，若度数为 50，求AD的度数。BE D B O C A E 试题答案试题答案一. 选择题。 1. A2. D3. B4. D5. D二. 填空题。 6. 3cm 7. 斜边中点，斜边长 8. 等腰 9.