例说数学思维品质的培养

1、例说数学思维品质的培养-浅谈函数定义域的教学数学组 徐 同高中数学课程标准的基本理念中指出，高中数学应使学生获得更高的数学素养，注重提高学生的数学思维能力。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用，这也是数学教育的基本目标之一，而思维能力的差异主要源于思维品质的优劣。思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现，它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。所以我认为在日常教学过程中应该充分挖掘新教材，对于具体的数学问题，既要掌握基础知识达到知识技能目标的要求，也要有意识地充分培养锻炼学生形成良好的思维品质，从而提高学生的思维能力，逐步养成严谨的科学态度，实

2、现情感态度与价值观的教学目标。为此，我在教学中充分利用高一数学新教材中关于函数定义域的教学内容，探索培养学生形成良好的数学思维品质的途径。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大本质要素之一，函数的定义域(或自变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。一、定义域对于函数解析式的影响例1.有一根长为100cm的细铁丝，现要折成一个矩形线圈（没有铁丝重合部分），求线圈的面积S与矩形长x的函数解析式。解：设矩形线圈的长为x cm，则宽为(50x) cm，由题意得：，故函数关系式为：如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠

3、完整，缺少自变量的取值范围。也就是说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：即：函数关系式为： （）这个例子说明，在应用函数的方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就说明学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生在解题过程中体现出较好的思维严密性。二、定义域对函数最值的影响函数的最值是指函数在给定的定义域上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：例2：求函数在2，5上的最值解： ， 当时，.初看结论，本题

4、似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照在实数集上求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化，这说明学生思维缺乏灵活性。其实以上错误结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域上，它的最值应受其定义域影响，可分如下情况讨论：当时,在上为单调递增函数,故； 当时，在上为单调递减函数,故； 当时，在上最值情况是：，即最大值是中最大的一个值。故本题还要继续做下去： ， ， 函数在2，5上的最小值是5，最大值是11 此例说明，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以考虑，便体现出学生思维的灵活性。三、定义域对值域的影响函数的值域是该函数全体函数值的集合

5、，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数值域受到定义域的制约。如：例3：求函数的值域错解：令故所求的函数值域是剖析：经换元后，应有，而函数在0,+)上是增函数，所以当t=0时，故所求的函数值域是1, +）以上例子说明，函数定义域是何等的重要，若能注意自变量隐含的取值范围，缜密地检查解题过程，考虑到换元之后要限定引入变量t的取值范围，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解答题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，便体现出良好的思维批判性。四、定义域对函数单调性的影响函数单调性是指函数在给定的定义域上函数自变量增加时，函数值随之增减的情

6、况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域上进行，求函数的单调区间必须在函数定义域内讨论。例4：指出函数的单调区间解：先求定义域： ， 函数定义域为令，知在上时，u为减函数；在时，u为增函数。又，函数在上是减函数，在上是增函数。即函数的单调递增区间，单调递减区间是。如果在解题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，错误的得到单调递增区间为，单调递减区间为就说明学生对函数单调性的概念一知半解，在解题时机械地对题型、套公式，而没有领会问题的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。五、函数的奇偶性与定义域由函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性应先考虑该函数的定义域是否关于坐标原点成中心对称，如果定义

7、域关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性。否则再根据奇偶性定义进一步加以判断。例5：判断函数的奇偶性解： ， 函数定义域 1,3关于坐标原点不对称. 函数是非奇非偶函数如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性就会得出如下错误结论： ， 函数是奇函数错误剖析：因为以上解法没有判断该函数的定义域是否关于原点成中心对称，机械套用函数奇偶性定义造成的，这是学生极易忽视的步骤，也是造成错误结论的原因。综上所述，在求解函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，观察函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生的思维能力，