2016中考数学复习第9讲三角形(二)试题

1、第九讲二角形（二）9. 1 直角三角形基础盘点1._有一个内角 _ 的三角形是直角三角形，直角三角形两锐角 .2在直角三角形中，30角对的直角边等于斜边的 _.3直角三角形斜边上的中线等于 _ .4.勾股定理：如果直角三角形两条直角边为 a 和b，斜边为 c,则，即，直角三角形_ 平方和等于_ .5._ 如果三角形三边 a、b、c 满足， 那么这个三角形是直角三角形.考点呈现考点 1 直角三角形两锐角互余例 1 （2015 常州）如图 1,BCLAE于点 C, CD/ AB / B= 40，则/ ECD 的度数是 （）A.70 B.60C.50D.40匚图 1解析：由题意知， ABC 是直角三

2、角形，且/ B= 40,所以/ A=90-40= 50,再根据“两直线平行，同位相等”可得/ ECD=ZA=50 .故选 C.评注：“直角三角形两锐角互余”揭示了直角三角形两锐角的关系，多与平行线的性质结合求角的度数.考点 2 含 30角的直角三角形的性质例 2 （2015 青岛）如图 2，在 ABC 中，/ C=9C，/ B=30, ADABC 的角平分 线，DELAB 垂足为 E, DE=1,贝 U BC 等于（）A. ；B.2C.3 D.；+2图 2解析：在 Rt BDE 中，根据“直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半”， 可求得 BD=2BE=2 再根据角平分线性质定理，求

3、得CD=ED=1 所以 BC=CD+BD=3 故选 C.评注：含 30角直角三角形的性质通常用于求三角形的边和角，也是证明线段倍分问 题的重要依据.2考点 3 直角三角形斜边上的中线例 3 （2015 宿迁）如图 3，在 Rt ABC 中，/ ACB=90，点 D, E, F 分别为 AB, AQ BC 的中点.若 CD=5 贝 U EF 的长为.解析：根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得AB=2BC=10 再根据三1角形中位线定理，可得 EF=AB=5，故 EF=5.2评注：若题目的条件中给出直角三角形斜边上的中线，通常利用直角三角形的性质求得斜边长，从而为问题的进一步解决提供

4、必要的条件.考点 4 勾股定理例 4 （2015 西宁）如图 4, Rt ABC 中，/ B=90 , AB=4, BC=3 AC 的垂直平分线DE 分别交 AB, AC 于 D, E 两点，贝 U CD 的长为_.图 4解析：先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD 故 AB=BD+AD=BD+C 设 CD=x 则 BD=4-x，在 Rt BCD 中，根据勾股定理可得CD2二BC2，BD2,即：=32+（ 4-x）2,解得 x=：25即 CD=.评注：在运用勾股定理解决一些问题时，常需要与方程相结合.运用方程思想，能使思路开阔，方法简便.考点 5 勾股定理的逆定理例 5 （2015 -桂林）

5、下 列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A.30,40,50B.7,12,13C.5,9,12（D）3,4,6解析：在 A 选项中，302+402=502，所以这三条线段能组成三角形，故选A.评注：在利用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形时，只要看较小两 边的平方和是否等于最长边的平方即可.误区点拨1 .受思维定式影响，认为 c 边一定是斜边3例 1 在厶 ABC 中，/ A,/ B,ZC的对边分别是 a,b,c，若a b a_b =c2，则有 （ ）A./A为直角 B./B为直角 C./C为直角 D.不是直角三角形错解：C剖析：错解受定式影响，认为/C为直角，事实上，已知条件可

6、转化为b2 c2= a2,所以/A为直角.故正确答案为 A.评注：勾股定理为了表述方便，通常设/C为直角，具体解题时，应根据题目中给出的条件确定直角.2 .忽视分类讨论致错例 2 直角三角形两边长分别是 3 和 4,则第三边长为（）A.5 B.7C. 、5D.5 或、7错解：A剖析：条件中并没有指出已知的两边是直角边，所以应利用分类讨论的思想：当3 和 4是直角边时，第三边长为5 ;当 3 和 4 中有一边为斜边时，第三边长为7，故应选 D.评注：在解涉及直角三角形边的问题，而题目中没有给出图形的情况下，要有分类讨论的意识，以免造成漏解.跟踪训练1.（2015 毕节）下列各组数据中的三个数作为

7、三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()A. .3,4 ,5B.1,、2,. 3C.6,7, 8D.2 ,3 , 42.(2015?宜 昌)如图，AB/ CD FE1DB垂足为E,/仁 50,则/2的度数是( )A. 60B.50C.40D.303.(2015 大连)如图，在ABC中,/C=90,AC=2,点D在BC上,/ADC2/B, AD=、5，贝 UBC的长为()A.3 1 B., 3+1 C., 5 1 D.5+1第 3 题图44.（2015?枣庄）如图， ABC 中，CDLAB于 D, E 是 AC 的中点.若 AD=6 DE=5 贝 U CD5.（2014 苏州）如图，四边形AB

8、CD矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E,取BE的中点F，连接DF，DF=4设ABx，AD=y，贝 Ux2+（y4$的值为_ .6. （2015 -遵义）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1 ）,图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角 形拼接而成记图中正方形 ABCD 正方形 EFGH 正方形 MNKT 勺面积分别为 S, S2, 3若7.如图，在RtAABC中，/C=30,以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D,过D作DEL AC于点E.若DE=a，则ABC的周长用含a的代数式表示为8. （2015 湘潭

9、）如图，在 Rt ABC 中，/ C=90 , ACD 沿 AD 折叠，使得点 C 落在 斜边AB 上的点 E 处.已知 AC=6 BC=8 求线段 AD 的长度.正方形 EFGH 勺边长为2，贝 V S +S2+S3=图（1）图Q）第 6 题图第 7 题图第 5 题图5第 8 题图69.2 解直角三角形基础盘点1.在厶 ABC 中，/c=90o 三个内角对边分别为 a,b,c,则有sinA =;cosA =tanA =_.2. 特殊角的三角函数值.三角函数304560si notcos atan。3. 视线与水平线方向的夹角中，视线在水平线 _的角叫做仰角，视线在水平线 _的角叫做俯角.4.

10、 如图，把_ 与_ 的夹角叫做坡角 （如图中的/ G ）.坡面的_ 与_ 的比叫做坡度（也叫坡比），用字母表示为 i=_ =_ .考点呈现CD Rt ACD 中，cos/ACD=cos=CD，故错误的应选 C.AC评注：本题考查了锐角余弦的意义，难度不大，关键是弄清各个三角函数与直角三角形三边的关系.考点 2 特殊角三角函数值例 2 (2015?平凉)已知a,3均为锐角，且满足|sina-2|+. (ta -1)2= 0,则a + B=_.解析：因为条件中给出了两个非负数的和等于零，所以每一个非负数都等于零， 即|sina*|=0，且.（tan：-1）2=0,由此可得 sin:=1,tan：=

11、1， 故=30: =45，所以a + 3 =75.评注：本题考查了由特殊角的三角函数值，求角的度数，熟记特殊角的三角函数值，是D,)下列用线段比表示 cos a 的A.BDB.BCC.ADD.CDBCABACACX1BCACL BC于点C, CDL AB于值，错误的是解析：在 Rt ABC 中,BCcos := ;在 Rt DBC 中,ABcos、: =BD ；易得/ ACD=:，在BC占八、 、考点 1 锐角三角函数例 1 （2015?丽水）如图 1,点A为/ 边上的任意一点，作图 17解答本题的关键；同时本题也考查了“几个非负数之和为零，则每个非负数都等于零”这一性质.考点 3 解直角三角

12、形例 3 （2015?襄阳）如图 2, AD 是厶 ABC 的中线，tan, cosC= ,AC= .求：32BC 的长；sin / ADC 的值. BE=3AE=3 BC=BE+CE=4. / /人。人。是厶 ABC 的中线， CD= BC=2.2 DE=CD CE=1./ AE! CDADC=45 . sin /ADC=.2评注：在利用解直角三角形的知识解决斜三角形的问题时，通常需要作辅助线，构造直角三角形，从而将问题解决.考点 4 解直角三角形的应用例 4（2015?黔南州）如图 3 是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是 10 米，CBLDB 坡面 AC的倾斜角为 45.为了方便行人推车

13、过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面 DC的坡度为 i= ： 3 .若新坡角下需留 3 米宽的人行道，问离原坡角（A 点处）10 米的建筑 物是否需要拆除？（参考数据： 匚 1.414 , 二 1.732 ）分析：本题条件中给出了一些角的三角函数值，做可考虑作辅助线，构造直角三角形求解，过点 A 作AELBC 于点 E,即可将 ABC 分成两个直角三角形， 并将题目中的条件充分利用起来；根据 AD ABC 的中线，求出 BD 的长，得到 DE 的长，从而求得 值.sin / ADC 的解：如图 2，过点 A 作 AELBC 于点 E,皿.，/C=45.在 Rt ACE 中，CE=AC?cos

14、C=1. AE=CE=1.在 Rt ABE中,tanB=：，即;图 28分析：先根据题目中给出的条件，求出AB 的长，在 Rt BCD 中，根据新的坡面坡度的意义，求出 DB 的长，由 AD=DB- AB,求出 AD 的长，由 AD+3 与 10 比较即可得到结果.解：需要拆除理由如下：/ CBL AB / CAB=45 ,ABC 为等腰直角三角形， AB=BC=10 米.310噺坡面 DC 的坡度为i f；3:3，即 ，解得 DB=1O3,3 DB AD=B- AB= （10 二-10）米 7.32 米./ 3+7.32=10.32 10,.需要拆除.评注：本题考查坡度坡角问题，掌握它们的概

15、念及之间的关系是解题的关键.例 5 （2015?昆明）如图 4,两幢建筑物AB和CD AB BD CDL BD AB=15m CD=20mAB和CD之间有一观景池，小南在A点测得池中 喷泉处E点的俯角为 42,在C点测得E点的俯角为 45（点B、E、D在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD（结果精确到0.1m ,参考数据：sin42 0.67 ,cos42 0.74 ,tan42 0.90）.分析：在 Rt ABE 中，根据正切可求得 BE,在 Rt DEC 中，根据等腰直角三角形的性质求得 ED,然后根据 BD=BE+ED 求解即可.解：由题意，得/ AEB=42 ,/ DEC=45 .

16、/ AB 丄 BD CDL BD在 RT ABE 中，/ ABE=90 ,AB=15 , / AEB=42 ./ AB1550/ tan / AEB= , BE= 15-0.90=.Cl I I I I ITTC45A/ 2ZI甲42卢图 49BEtan 42”3在 Rt DEC 中，/ CDE=90,/ DECMDCE=45 ,CD=20,10 ED=CD=20 二 BD=BE+ED= +20 36.7 .3答：两幢建筑物之间的距离 BD 约为 36.7 m .评注：本题主要考查了利用俯角解直角三角形.在利用解直角三角形的知识解决实际问题时，要借助俯角、仰角构造直角三角形.误区点拨1 题中无

17、图漏解致错例 1 （2015?牡丹江）在厶 ABC 中，AB=12.2 , AC=13 cos/ B=，贝 BC 边长为（）A.17B.8C.8或 17D.7 或 17错解：A剖析：由于题目中没有给出图形， 所以在解题时只画出图甲， 利用解直角三角形的知识 和勾股定理，可得 BD=12, CD=5 所以 BC=BD+CD=17 这便漏下了 ABC 为钝角三角形这一 情况，正解应分图 6 和图 7 两种情况，在图 7 中，BC=BD-CD=7 故应选 D.图 6图 72 混淆概念致错_例 2河堤横断面如图 8 所示，堤高 BC=6 米，迎水坡 AB 的坡比为 1：；，则 AB 的长为（）A.12

18、B.4二米C.5 二米 D.6 二米错解：D.剖析：坡比指的是斜坡的垂直高度比上水平宽度，即图中的 BC 与 AC 之比，即等于坡角的正切，本题错在将坡比误认为等于坡角的正弦.应先根据坡比的意义，求出坡角为30,进而求得 AB=12 米，应选 A.跟踪训练1. （2015?崇左）如图，在RtAABC中，/C= 90,AB=13,BC=12,则下列三角函 数表示正确的是（）11cosA=12C.tanA=122.（2015?庆阳）在厶 ABC 中，若角 A, B 满足 |cosA -二|+ （1 - tanB ）2=0,则/C的2大小是（）A. 45B. 60C. 75D. 1053.（2015

19、?日照）如图，在直角厶 BAD 中，延长斜边 BD 到点 C,使 DC= BD,连接 AC,2若 tanB=:贝 U tan / CAD 的值为()3A.二 B. 一 C. - D. -35354.(2015?广州)如图，ABC中,DE是BC的垂直平分线, 若BE=9,BC=12,则 cosC=.5._（ 2015 大连）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为 32, 底部C的俯角为 45,观测点与楼的水平距离AD为 31m 则楼BC的高度约为 _m（结果取整数）.（参考数据：sin32 0.5 , cos32 0.8 , tan32 0.6 ）6.（2015?娄底）“为了安全

20、，请勿超速”.如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN 限速 60 千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点 C,从观测点 C测得一小车从点 A 到达点 B 行驶了 5 秒钟，已知/ CAN=45，/ CBN=60 , BC=200 米，此 车超速了吗？请说明理由.（参考数据：匚 1.41 ,二 1.73 ）7.（2015?广元）某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为 1.6 米，现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与 FG 垂直且长度均为0.8 米的不锈钢架杆 AD 和 B（杆子的低端分别为 DC）,且/ DAB=66.5 （cos66.5 0.4 ）.（1）求点 D 与点 C 的高度差 DH（2） 求所用不锈钢材料的总长度 I （即 AD+AB+B 啲长）.第 7 题图DE交AC于点E,连接BEBC第 5 题图13理由：如图