六年级圆柱与圆锥刘军辉

1、n组疆北京大学精锐教育 孜育的造福北大印英用立 融格合作伙伴精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 学员姓名：年 级：课时数：辅导科目：学科教师：授课 旧T（圆柱与圆锥初步）C （拔高）T （拓展）授课日 期时段教学内容一、同步知识梳理知识点1:圆柱与圆锥的区别1N同步G无一 八鼾以工夕立体图形表面积体积圆柱 - r-h金瑜柱 侧面积2个底面积2 7fh242V圆柱lh/ 圆锥 -际锥侧面积底面积 d2 Tf 2 360注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段 长12V圆锥体-4h3知识点2:圆柱体积公式的推导：把圆柱平均分成若干偶数等份，能拼成一个近似的长方形。等分的份数越多，拼成的图形就越接近长

2、方形。（如卜图）I精锐1对1哈金北£，美创立北京大学放育学院触超合作伙伴n IS MART 精锐教育吟礴北大理英用立3I精锐1对1哈佛北大片苹和立长方体的体积=底面积x高圆柱的体积=底面积x高V= Sh、同步题型分析题型1:已知圆柱的底面积和高，求圆柱的体积。例1、一根圆柱形钢材，底面积是 40平方分米，高是2.1平方米，它的体积是多少?【分析与解】 已知底面积与高，求圆柱的体积，只需要根据公式直接圆柱的体积。要注意单位不相 同要进行单位换算，体积单位是立方。40平方分米=0.4平方米 V=Sh=0.4 X2.1=0.48 （立方米）答：它的体积是0.48立方米。题型2:已知圆柱的底

3、面半径和高，求圆柱的体积。例2、一个圆柱形罐头盒的底面半径是 5cm,高是18cm,它的体积是多少?【分析与解】 已知圆柱的半径和高，求圆柱的体积，要先求出圆柱的底面积，再求出圆柱的体积。V=Sh=3.14 X5X5X18=1413（立方厘米）答：它的体积是1413 （立方厘米） 题型3:已知圆柱的底面直径和高，求圆柱的体积。n瓢翦北京大学精锐教育软育学院哈福韭大理莞用立 战超合作伙伴例3、求下面圆柱的体积.""（单位：厘米）【分析与解】 已知圆柱的直径和高，求圆柱的体积，要先求出圆柱的底面积，再求出圆柱的体积。通过看图可得知圆柱的底面直径是10厘米，半径就是5平方厘米，圆

4、柱的高是 2厘米。V=Sh=3.14 X （10+2） X （10+2） X2=157 （立方厘米）答：它的体积是157 （立方厘米）题型4：已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的体积。例4、把一个圆柱的侧面展开后，得到一个正方形。已知圆柱的高是12.56分米，圆柱的体积是多少？（结果保留两位小数）【分析与解】圆柱的侧面展开图是 一个正方形，表示这个圆的底面周长和高相等，都是12.56分米，先计算出圆柱的底面积，再用底面积乘高计算出圆柱的体积。V=Sh=3.14 X （12.56 +3.14 +2） X （ 12.56 +3.14 +2） X12.56=3.14 X2X2X12.56=157.75

5、（立方分米）n黑翳北京大学精锐教育孜育费造福北大瑞英创立就超合作伙伴答：圆柱的体积是 157.75立方分米。题型5：正方体与圆柱的转化。例5、一个正方体棱长是4分米，把它削成一个最大的圆柱，削去的体积是多少？【分析与解】 把正方体削成最大的圆柱，求削去的体积是多少。先算出圆柱的体积，再用正方体的体积减去圆柱的体积就是削去的体积。把正方体削成最大的圆柱，那么这个圆柱的底面直径和高都是与正方体的棱长相等，都是4分米，找对圆柱的底面直径和高是解决这道题的关键。4X4X4-3.14 X （4+2） X （4+2） X4=64 50.24=13.76 （立方分米）答：削去的体积是13.76立方分米。题型

6、6：圆柱的拼剪。例6: 一根圆柱形木材长2米，把它截成相等的4段后，表面积增加了 18.84平方厘米。 原来圆柱的体积是多少立方厘米？【分析与解】 要求圆柱的体积必须知道圆柱的底面积和高，题目中只告诉我们圆柱的高是2米，没有告诉底面积是多少。根据“截成相等的4段表面积了 18.84平方厘米”截成4段会增加6个面，这6个相同的面的总面积就是 18.84平方厘米，可以求出每个面的面积，每个面的面积就是这根圆柱的底面积，从而可以求出原圆柱的体积。（18.84 田）X2=6.28 （立方分米）答：原来圆柱的体积是 6.28立方分米。题型7:圆锥的相关运用。例7、一个圆锥的底面半径是3厘米，体积是75.

7、36立方厘米，高是多少厘米？n黑翳北京大学 精锐教育孜育的哈福北大印第用立就超合作伙伴分析与解：要求圆锥的高，根据圆锥体积计算的公式，可以先用体积乘3,求出和它等底等高的圆柱的体积，再除以底面积，即高 =体积x 3 +底面积，注意不能用圆锥的体积直接除以底面积。也可以根据圆锥体积计算的公式列方程解答。方法1 :底面积：3.14 X3 2 = 28.26 （平方厘米）高：75.36 X 3 + 28.26 = 8 （厘米）方法2 :设高是x厘米。1 一 X 3.14 X3 2 X X = 75.36 39.42 x = 75.36 先算左边的 -X3.14 X3 23x = 8答：高是8厘米。点

8、评：通过体积去求圆锥的高时要注意先用体积乘3,求出与这个圆锥等底等高的圆柱的体积，再除以底面积，求出高；也可以根据圆锥体积计算公式用方程解答。例8、把一个棱长为12厘米的正方体木块加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方厘米？削去的部分是多少立方厘米？分析与解：将正方体木块加工成一个最大的圆锥，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。正方体的体积：12 X 12 X12 = 1728 （立方厘米） 1,、一、圆锥的体积： 一 X3.14 X （12+2） 2 X 12 = 452.16 （立万厘米） 3削去部分的体积：1728 - 452.16 = 1275.84（立方厘米）答：圆锥的体积是4

9、52.16立方厘米，削去的部分是 1275.84立方厘米。三、课堂达标检测检测题1: 一个圆柱的底面直径是 6厘米，高是10厘米，体积是多少?n黑翳北京大学精锐教育 孜育费造福北大瑞英创立就超合作伙伴解： 3.14 X (6+2) X (6+2) X10=3.14 X160=502.4 (立方厘米)答：体积是502.4立方厘米。检测题2：把一个高是6分米的圆柱，沿着底面直径竖直切开，平均分成两半，表面积增加48平方分米。原来这个圆柱的体积是多少立方分米？【分析与解】 沿底面直径切开分成的是两个长是6分米的长方形，可以根据表面积增加48平方分米计算出每个面的面积是 48 +2=24平方分米，面积

10、是24平方分米的长方形高是 6分米可以计算出宽也就是圆柱的底面直么是4分米，那么半径就是 2分米，这样就可以计算出这个圆柱的体积。(1) 每个面的面积：48 +2=24 (平方分米)(2) 圆柱的半径：24抬及=2 (分米)(3) 圆柱的体积：3.14 X2X2 X6=75.36 (立方分米)答：原来这个圆柱的体积是75.36立方分米。检测题3: 一个圆锥形的沙堆，底面周长是 31.4m,高是7.2m,每立方米沙重1.5吨， 如果一辆载重6吨的汽车来运，几次可以运完？解：底面半径 r=31.4 +3.14+2=5 (m)沙堆的体积：V= 1 X 3.14 X 52 X 7.2=188.4 (m

11、3)3188.4 X 1.5+6=48 (次)答：。检测题4:将一段棱长是20厘米的正方体木材，加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的体5rI精锐1对1哈福范大片苹创立北京大学放育学院赳0&合作伙伴nlSMART 精锐教育 哈福北大瑞英创立积是多少立方厘米？合多少立方分米?解：3.14 X (20 +2) X (20 +2) X20 =3.14 X10X10X20 =6280 （立方厘米）6280立方厘米=6.28立方分米检测题5: 一个圆柱的高减少2厘米侧面积就减少50.24平方厘米，它的体积减少多 少立方厘米?【分析与解】 要求减少多少体积，应该知道减少圆柱部分的高和底面积是多少，题中只

12、告诉我们减少的高是2厘米，根据高减少 2厘米，侧面积就减少 50.24平方厘米，可以算出这个圆柱的底面周长是50.24 +2=25.12 厘米，再用底面周长求出底面积，就可以求出减少的体积是多少。(1)底面周长:50.24 +2=25.12 (厘米)(2)底面半径:25.12 +2+3.14=4 (厘米)(3)减少的体积：3.14 X4X4X2=100.48 （立方厘米）答：它的体积减少100.48立方厘米。检测题6：一个圆柱体，如果高减少1厘米，那么表面积就减少18.84平方厘米。这个圆柱体的底面积是多少平方厘米?7rI精锐1对1哈佛北大洋苒创立1SMART 精锐教育 哈福韭大埔英用立【答案

13、】底面周长：18.84 +1 = 18.84 （厘米），半径：18.84 +3.14 +2=3 （厘米）底面积：3X3X3.14 = 28.26 （平方厘米）9I精锐1对1哈福北大理苒创立、专题精讲例1：有一个高为6.28分米的圆柱形机件，它的侧面展开正好是一个正方形， 求 这个机件的体积？分析与解：圆柱侧面展开是个正方形，说明圆柱的底面周长和高相等。先通过底面周长求出底 面积，再求体积。3.14 X （6.28 +3.14 +2） 2 X 6.28 =19.7192 （立方分米）答：这个机件的体积是 19.7192立方分米。点评：圆柱侧面展开之后得到一个长方形，长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的

14、高。在这儿展开之后是个正方形，就说明这个圆柱的底面周长和高相等。例2:如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体.问这个物体的表面积是多少平方米？（兀取3.14）（省实试题）111.50.52【解析】从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为2 3.14 1.514.13（立万米），侧面积为2 3.14 （0.5 1 1.5） 1 18.84（立方米），所以该物体的表面积是14.13 18.84 32.97（立方米）.n鲤溜北京大学才T ：兑教育软育学院哈福韭去瑞英创立就超合作伙伴例3:把一个直圆柱体沿着它上底圆的直径从上到下劈成两半，这两部分的形状和大

15、小完全相同。劈开后中间就出现了一个矩形，这个矩形的长和宽的长度正好一样长。这 个直圆柱体的底面圆的周长与它的高的比是多少？分析与解：根据已知条件，劈开后所出现的是一个正方形，这个正方形的一条边是这个圆柱体的高，另一条边是底面圆的直径。这样问题就转化为：求圆的周长与直径的比的问题了。C _ 戒 _ 3,14 _ 刃 4 _ 1577 = T = = wo =3¥答：这个直圆柱的底面圆的周长与它的高的比是157:50。二、专题过关检测题1:如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起,则所得到的多面体的表面积是 千方厘米.【解析】（法1）四个正方体的表面积之和为：

16、重叠部分的面积为：12 3 （22 2方厘米），所以，所得到的多面体的表面积为：2_2_22(12223252)639612)(322212)(3222234 (平方厘米)，12) 3 9 14 14 40 (平234 40 194（平方厘米）.（法2）三视图法.从前后面观察到的面积为52 32 22 38平方厘米，从左右两个面观察到.222.、.的面积为5 3 34平方厘米，从上下能观察到的面积为525平方厘米.表面积为 38 34 252 194 （平方厘米）.检测题2: 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米.将它的底面平均分 成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的

17、长方体，表面积增加了多少平方厘米？(n 3.14)北京大学放育学院赳H6合作伙伴n善蝇嚏祭哈福北大理装用立 战合作伙伴11rI精锐1对1哈储北大洋苒创立【解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积.（法1）这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径.2可知，圆枉体的局为 50.24 3.14 24（厘米），所以增加的表面积为 2 4 2 16（平方厘米）;（法2）根据长方体的体积公式推导.增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方

18、体的体积.由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.14 2 6.28厘米，所以侧面长方形的面积为50.24 6.28 8平方厘米，所以增加的表面积为 8 2 16平方厘米.个最大的圆锥体， 求剩下检测题3: 一个棱长6分米的正方体，在它的底面向内挖去 的体积是原正方体体积的百分之几？【分析】直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等，剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积。解：正方体体积：6X6X6=216 （立方厘米） 1C、一，一 、一圆锥的体积：X3.14 X （6 +2） 2X6 = 56.52 （立万厘米）剩下体积占

19、正万体的百分之几： 3（216 - 56.52 ） +216 =0.738 =73.8 %nlSMART 精锐教育唯福北大第英用立答：剩下体积占正方体体积的73.8%。检测题4:如图，直角三角形如果以BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为那么如果以AB16支，以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12支 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？【解析】 设BC a, AC b ,那么以BC边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为2ab兀以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为a生，由此可得到两条等式:32a24 ,两条等式相除得到ba b 364,将这条比例式再代入原来的

20、方程中就能得到 3根据勾股定理，直角三角形的斜边AB的长度为5 ,那么斜边上的高为 2.4 .如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起,一，.、,一 . 一一 .， 一 2 42 万 5面半径为2.4,高的和为5,所以体积是5 9.6兀.3三、学法提炼1、专题特点：(1)、结合具体情境，让学生探索并掌握圆柱体积的计算方法，并能运用计算公式 正确计算圆柱体积或圆柱形容器的容积以及解决简单的实际问题。(2)、通过转化的思想，在实验的基础上使学生理解和掌握圆锥体积公式，能运用 公式正确地计算圆锥的体积以及解决简单的实际问题。(3)、通过圆柱、圆锥体积计算公式的推导、

21、运用的过程，培养学生的观察、操作 能力和初步的空间观念，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力，并体验数学问题 的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性， 获得成功的喜悦2、解题方法：多练习，多总结，注意相关变化前后的变与不变量，找到解题的思路与方 法。3、注意事项：1、做题注意单位换算在细节中的体现，在学习过程中注意圆柱体积的推导公式中变 量与不变量，然后根据条件解题！北京大学就育学院战驰合作伙伴IS MART 精锐教育 哈福北大瑞英用立能力能力培养综合题1: 一个酒瓶里面深30cm,底面内直径是10cm,瓶里酒深15cm.把酒瓶塞紧后使其瓶口 向下倒立这时酒深25cm.

22、酒瓶的容积是多少？(兀取3)T1513025当酒瓶倒过来时酒深 25cm,因为酒瓶深30cm,这样所剩空间为高5cm的圆柱，再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积.酒的体积:10 1015 % 375 兀22 1010瓶中剩余仝间的体积 (30 25)兀一 一22125 %,酒瓶容积：375兀125 兀 500 兀 1500(ml)综合题2、如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的度是锥高胃，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍?【解析】 观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变.nlSMART 精锐教育 哈福北大瑞英用立容器【解析】3-<2h, 3V

23、乙水VWv乙水1 z2、2r)33192卜M h8182.M h81282121/2、2 2h < h , V甲水一4 h % (-r) h38133331981<2h ，19,即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的819L倍.8学法升华、知识收获:1、浸水体积问题（水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上 升的高度）容积是圆柱或长方体，正方体。2、等体积转换问题：一圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的问题，注 意不要乘以1/3.一、方法总结：2、直接利用公式：分析清楚求的的是表面积，侧面积还是底面积以及体积半径变化导致底面周

24、长，侧面积，底面积，体积的变化。两个圆柱（或两个圆锥）半径，底面积，底面周长，侧面积，表面积，体积之比。3、圆柱与圆锥关系的转换：包括削成最大体积的问题（正方体，长方体与圆柱圆锥之间）4、横截面的问题课后作业检测题1： 一个直圆柱体，侧面展开是一个正方形，它的高是底面半径的多少倍?分析与解：圆柱的侧面展开图是正方形，说明它的高和底面周长相等，这样此题的问题就转化为:圆的周长是这个圆的半径的多少倍的问题了。C 2加仆一二二 271r r答：它的高是底面半径的 之州倍。13I精锐1对1哈福北大用苒创立n骁四翳北京大学精锐教育 放育"哈福韭去璃蓑用立战略合作伙伴检测题2:牙膏出口处直径为

25、5毫米，小红每次刷牙都挤出 1厘米长的牙膏。这支牙膏 可用36次。该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为 6毫米，小红还是按习惯 每次挤出1厘米长的牙膏。这样，这一支牙膏只能用多少次？分析与解：牙膏体积：1厘米=10毫米3.14 X （5+2） 2 X 10 X 36 = 7065 （立方毫米）7065 + 3.14 X （6+2） 2 X 10 = 25（次）答：这样，这一支牙膏只能用25次。检测题3:把一个高为7.2厘米的圆锥体切成形状大小完全相同的两块后，表面积增加86.4平方厘米，求这个圆锥体的体积？分析与解：864 - 2 = 432 （平方厘米）4$2 M 2 -7.2= 12

26、 （厘米）12+2 = E （厘米）1x3.14 x7 2 二 2712963（立方厘米）检测题4:把一个高10厘米的直圆柱体沿底面直径切成两个半圆柱，它的表面积增加240平方厘米，这个直圆柱体的体积是多少立方厘米？分析与解答：要求圆柱的体积除了知道高是10厘米外，还要知道圆柱体的底面半径或直径。把一个圆柱切成两个半圆柱，会增加两个面，这是两个长方形，它的长和宽分别是圆柱的底面直径和高。表面积增加的 240平方厘米是两个长方形的面积，除以 2就是一个长方形的面积，用一个长方形的面积除以高就是圆柱的底面直径。已知圆柱的底面直径和高就能求出圆柱体的体积。24。十2二120 （平方厘米）120-10

27、 = 12 （厘米）12十2 二 8 （厘米）3.14 乂 6隈 10 = 1130.4 （立方厘米）答：这个圆柱体的体积是 1130.4立方厘米。检测题5: 一个高为12厘米的圆锥体，沿底面直径分成大小、形状完全相同的两部分，表面积增加192平方厘米，求这个圆锥体的体积是多少立方厘米？分析与解答:I精锐1对1啥佛北大精类创立北京大学枚育学院战超合作伙伴1SMART 精锐教育 哈福北大第英创立15I精锐1对1哈储北大片苒创立切开后，表面积比原来增加了两个三角形（完全相同），三角形的底为底面直径，高就是圆锥体的高。要想求圆锥的体积就要先求出圆锥的底面半径。192+2二96 （平方厘米）96 *

28、2 + 12 = 16 （厘米）16-2 = 8 （厘米）-x3.14x8a x 12 = 803.843（立方厘米）答：这个圆锥体的体积是 803.84立方厘米。检测题6: 一个圆柱体高增加2cm!表面积就增加50.24 cm'求这个圆柱体体积增加多 少立方厘米？思路指导：圆柱体高增加2cm ,表面积增加50.24,增加的表面积50.24二恒二就是增加那部分圆柱的侧面积，通过侧面积 50.24和高2cm ,就可以求出圆柱的底面周长，最后通过圆柱的底面周长 和增加部分的高度就可以求出增加部分的体积。底面周长：2 + 2 25如何底面半径：25.12+3.14+2=4 （cm）底面积:增加体积:3.Mx42 = 50. （由）50 24 x 2 = 100 /1 g（cm答：这个圆柱体积增加100.48立方厘米检测题7： 一个圆柱体和一个圆锥体的体积和高分别相等，已知圆柱的底面周长是 1.256分米，圆锥的底面积是多少平方厘米？思路指导：通过“圆柱与圆锥体积和高分别相等”可以求出圆柱与圆锥底面积的关系。n魏疆北京大学精锐教育孜育学院哈福北大印英创立就超合作伙伴电其卜状=父衰xh埴c1厂Stjr = S>*s. 30£圆柱底面积等于圆锥底面积的 不,反过