有理数章节复习(中等+难)

1、学科教师辅导讲义年 级：辅导科目：数学课时数：3课 题有理数知识点巩固与复习复习整理有理数有关概念和有理数运算法则，运算律等有关知识； 培养学生综合运用知识解决问题的能力；渗透数形结合的思想。教学内容知识点回顾一、有理数的意义1、正数和负数知识点1负数的引入用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。知识点2正数和负数的概念(1)正数比0大。(2)负数比0小。(3)零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。注意：(1)为了强调，正数前面有时也可以加上“ + ” (读作正)

2、号，例如：3、也可以写作+ 3。(2)对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“ 十 ”号的数是正数，带“”号的数是负数。例如：a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数，若 a表示的是正数，则a是负数；若a表示的是0,则一a仍是0;当a表示负数时，一a就不是负数了(此时一a是正数)。知识点3有理数的有关概念(1) 有理数：整数和分数统称为有理数。注：(1)整数也可以看作是分母为 1的数，这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。(2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。(3) “0”即不是正数，也不是负数，但“0

3、”是整数。(2) 整数包括正整数、零、负整数 。例如：1、2、3、0、 1、2、3等等。(3) 分数包括正分数和负分数 ，例如：1、3-> 06 -33、一0.6等等。2424知识点4有理数的分类(1) 按整数、分数的关系分类:正整数 整数零有理数负整数八用正分数 刀数负分数(2) 按正数、负数与0的关系分类：正有理数正. 正分数有理数零行上由初负整数 负有理数 负分数注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数(也叫做自然数)，负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则 a>0表明a是正数；a<0表明a是负数；a 0表明a是非负数；a 0

4、表明a是非正数。2、数轴知识点1数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度 的直线叫做数轴数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素一一原点、正方向、单位 长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的(通常 取向右为正方向)。6543 210123456知识点2数轴的画法(1)画一条直线(一般画成水平的直线)。(2)在直线上选取一点为原点，并用这点表示零(在原点下面标上“0”)。(3)确定正方向(一般规定向右为正)，用箭头表示出来。(4)选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示

5、为1, 2, 3；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1, 2, - 3注：(1)原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；(2)确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2, 4, 6,；从原点向左，依次表示为一2, 4, 6,；知识点3数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。知识点4利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 。正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数。3、相反数知识点1相反

6、数的概念(1)相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。(2)相反数的代数定义：只有符号不同的两个数(除了符号不同以外完全相同)，我们说其中一个是另一个的相反 数，0的相反数是0。知识点2相反数的表示方法一般地，数a的相反数是a。这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者 0。知识点3多重符号的化简(1)在一个数的前面添上一个“ + ”号，仍然与原数相同，如+5=5, + ( 5) =- 5。(2)在一个数的前面添上一个“”号，就成为原数的相反数。如(3)就是3的相反数， 4、绝对值知识点1绝对值的概念(1)绝对值的几何定义：一个数 a的绝对值

7、就是数轴上表示数 a的点与原点的距离，数 a的绝对值记作“|a|0的绝对值是0。即(2)绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数;a,(a0)一 a。(a0)a,(a0)卜0,(a0)或 |a-a。(a0)知识点2两个负数大小的比较比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝对值的大小；三、根据“两个 负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。知识点3有理数大小的比较法则正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。二、有理数的运算1、有理数的加法知识点1有理数的加法把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有

8、理数的加法。相加的两个有理数有以下几种情况：(1)两数都是正数；(2)两数都是负数；(3)两数异号，即一个是正数,个是负数；(4) 一个是正数，一个是 0; (5) 一个是负数，一个是 0; (6)两个都是0。知识点2有理数加法法则(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。(3) 一个数同0相加，仍得这个数。知识点3有理数加法的运算定律(1)加法交换律：abba。(2)加法结合律：(a b) c a (b c)。2、有理数的减法知识点1有理数减法的意义有理数减法的

9、意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算， 叫做减法。减法是加法的逆运算。知识点2有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a b a ( b)3、有理数的加减混合运算知识点1有理数加减法统一成加法的意义对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。知识点2有理数加减混合运算的方法(1)运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。(2)运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。4

10、、有理数的乘法知识点1有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。知识点2有理数乘法法则的推广(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时， 积为正。(2)几个数相乘，只要有一个因数为0,积就为0。知识点3有理数乘法的运算定律(1)乘法交换律：ab ba。(2)乘法结合律：(ab)c a(bc)。(3)分配律：a(b c) ab ac。5、有理数的除法知识点1倒数的概念乘积是1的两个数互为倒数。，一 1.1由于a ? 1 (a 0),所以当a是不为0的有理数时，a的倒数是一。aa若a、b互为倒数，

11、则 ab=1。知识点2有理数除法法则、除以一个数等于乘以这个数的倒数。即 a b、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0）。0除以任何一个不等于0的数，都得0。6、有理数的乘方知识点1有理数乘方的意义求n个相同因数的积的运算，叫乘方。a?a? a记作“ an”。乘方的结果叫做哥。在 an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方，(am)n amn。知识点2乘方运算的符号法则正数的任何次哥都是正数；负数的奇次哥是负数，负数的偶次哥是正数。知识点3科学计数法把一个大于10的数记成“ a 10n ”的形式，其中a是整数数位中只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。如 42000 00

12、0 = 4.2 X 107。7、有理数的混合运算知识点1有理数混合运算的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。计算小技巧方法技巧1:在只含有乘、除法的算式中，可以由“负”号的个数确定结果的符号。“负”号有奇数个时，结果为负；“负”号有偶数个时，结果为正。方法技巧2:分数、小数乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数化为假分数。当把乘除都化成乘积的形式时， 应先确定积和符号。含有多重括号，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外到内。 在进行混合运算时，要注意两点：一是运算顺序，二是运算符号。方法技巧3:灵活运用有理数的运算法则、运算律，适

13、当地添加或去括号改变运算顺序常可达到简化运算的效果。凑 整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。概念的系统化1、负数的概念：容易遗漏负数：若一个数的绝对值等于 5,则这个数是5。若一个数的倒数等于它的本身，则这个数是1。若一个数的平方等于 4,则这个数是2 。若一个的立方等于它的本身，则这个数是0或1 。2、数“0”的性质：因为0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界线。给出下面的问题: 相反数是它本身的数是。绝对值是它本身的数是。正整数次哥是它本身的数是。不为0的任何有理数的0次哥是。0与任何有理数相乘都得。3、运算律的应用：正确运用运算律可以使有理数计算

14、简便。把正、负数结合在一起；把互为相反数结合在一起；把同分母分数结合在一起；把能凑整、凑0的两个数结合在一起。4、最容易出错的两个重要性质：绝对值和平方，可以提出以下例题：有理数的绝对值总是什么数？有理数的平方总是什么数？(I )填空：(1)绝对值等于 4的数有个，它们是 (2)绝对值等于-3的数有个.(3)绝对值等于本身的数有 一个,它们是(5)绝对值不大于 2的整数是(6) - -3 =, + -0.27=, - +26 =, - (+24) =(7) -4的绝对值是 ,绝对值等于 4的数是.3.14-T=：(8) 若 x =2,贝U x=,若 -x =2,贝U x=.若 -x =3,贝U

15、 x =.(9)若(a-1) 2+ ( b+2) 2=0,则 a=, b =。(9) )若 | a-b |+| b-3 | =0,则。(11) | 3 -兀+ | 4 -兀|的计算结果是。(12)已知：| x | =3, | y | = 2,且 x y < 0,贝U x + y =。(13)实数在数轴上的对应点如图，' I 忖a0 b化简 a + | a + b | - | b - a | =。(14)如果 | x 3 | = 0，那么 x =。(II )选择题(1)则 I a I >0,那么 () A . a>0 B . a<0 C . aw0 D . a 为

16、任意数(2)若I a = b ，则a、b的关系是()A . a=b B . a=-b C . a+b=0 或 a-b=0 D . a=0 且 b=0(3)下列说法不正确的是()A .如果a的绝对值比它本身大，则a一定是负数B .如果两个数相等，那么它们的绝对值也必不相等C .两个负有理数，绝对值大的离原点远D .两个负有理数，大的离原点近(4)若 1 x +x=0,贝U x 一一定是()A .负数 B . 0 C .非正数 D .非负数(III )若实数a、b满足1 3a-1+ b-2=0,求a+b的值。练习一、填空题:1.最小的自然数是最大的负整数是一,最小的非负整数是2.把下列各数分别填入

17、相应的大括号内。1crc，3, 7.8,0.01，11，2002,15,0,-243正数集合负数集合整数集合分数集合3. 写出所有比 3大的负整数。4. 如果a的相反数是a,则a是。35. 3的倒数的相反数是。46 .数轴上与原点相距 4.3个长度单位的点有 ,它们表示的数是 。7 . 若a表示大于0而小于1的数，比较大小有：a , a a2a8 .化简符号：(1) ( 2) ; (2) ( 6) 。9 .95的相反数的绝对值是 。10 .如果a的相反数是最大的负整数，b的绝对值是最小的正整数，则a b 11 .绝对值小于6的所有负整数的和是 ，所有正整数的和是 。12 .数轴上点 M表示2,

18、点N表示一3.5,点A表示一1 ,在点 M和N中，距离点 A较远的是13 .用代数式表示“比 y的倒数小5的数”是 .14 .若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2,则 a b m2 dc a b c15 .数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数.16 .若 xv 0,则 x-(-x)|=17 .正数都 0,负数都 0,正数 一切负数.18 .若 |x 4| |2 y| 0,则 xy 19 .若同 3,bl 1,则 la b卜20 .某地夜间气温是4C ,到了第二天中午气温上升到3C ,则气温升高了.二、选择题:1.下列说法中正确的是(A.一个数不是正数就是负数B. 0 不是自然

19、数 C. 0 是整数D.整数又叫自然数2.下列图中是数轴的是(A.：-1 O 1B.C.1 O 1D.1 O3.如果一个数的绝对值是8,则这个数是A. 8 B.8 C. 8或8 D.以上结论都不对4.若XA.B. 负数C.正数 D.负数或零5.下列说法正确的是(A.2是相反数B.1 一 1 一一1和1是相反数C.23131313和13是相反数1515D.1，一 一，一的相反数是226. 2.18 是()(A)是负数不是分数(B)不是分数是有理数(C)是负数也是分数(D)是分数不是有理数7.下列说法正确的是(A)零是最小的整数(B)有这样的一种数，它既是正数也是负数(C)有这样的一种数，它既不是

20、正数也不是负数(D)有理数中有最小的数，没有最大的数8.在下列各数中，所属集合正确的是(-2, 0.23, 1,0,8, -0.1,3, 2.53(A)正整数集合:0,3,8(B)整数集合: 2,0,3,8(C)负数集合:3,0.1,2.5(D)负分数集合:9.下面的四个式子：|a|>a间a>0 间其中正确的有()个.(A)1(B) 2(C)(D) 410.下面三个数大小顺序关系正确的是(1(C)21(A)10311.在数轴上与表示11一(B)一233的点的距离等于4的点表示的数是(13(A) 7(B) - 1(C) 7 和一1(D) 412.若a、b互为相反数，则下列各数中,不互

21、为相反数的是(b3(A)正有理数(B)非正有理数(C)负有理数(D)非负有理数(A) a 与一b(B) a2与 b213 .如果有理数a满足回=a,则a是()14 .如果m为有理数且m>m那么m为()(A)0到1之间的数 (B) 1至IJ 0之间的数(C)所有负数(D)小于1的负数.解答题: .13 1.求出绝对值大于 2小于一的所有正整数的和。22.计算(可用简便方法计算)(1)(8)(12)0.6)(2.4)05)：)9.75(3)(3)222(4)111311123124244422 g 3 ( 12) 6 ( 3)2|24 ( 3)2| ( 5), i,10、，11、，5、/7

22、、(5)()(一)()()346123.已知Rx 1| 5y 4| 0计算(1) x的相反数与y的倒数的相反数的和(2) x的绝对值与y的绝对值的和4.已知 |a| =2,|b| =3 且 a>0,b>0 ,求 a+b 的值。，一一， ，一 15.探索与思考：先观察 121 =(11)(1 2212 2 32) (2111、_) ( T =33 41=1 -311 -=4n(n 1)的值.有理数课后作业:正数和负数1、下列说法正确的是（ A、零是正数不是负数 C、零既是正数也是负数）B、零既不是正数也不是负数D、不是正数的数一定是负数，不是负数的数-一定是 正数2、向东行进-30米

23、表示的意义是（）A、向东行进30米 B、向东行进-30米C、向西行进30米 D、向西行进-30米3、某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2） C,由此可知在C C范围内保存才合适。4、某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+10,-5, 0, +8,-3,又知道记为0的成绩表示90分，正数表示超过90分，则五名同学的平均成绩为多少分？有理数分类1、下列说法正确的是（）A、正数、0、负数统称为有理数B、分数和整数统称为有理数C、正有理数、负有理数统称为有理数D、以上都不对2、-a 一定是（）A、正数B、负数 C、正数或负数 D、正数或零或负数3、下列说法中，错误的有（）小 4 2是

24、负分数；1.5不是整数；非负有理数不包括 0;整数和分数统称为有理数； 0是最小的有理数；7-1是最小的负整数。A、1个B、2个C、3个D、4个 4、把下列各数分别填入相应的大括号内:1317.3.5, 3,1415, ,0,0.03, 3 ,10, 0.23,172自然数集合;整数集合;正分数集合;非正数集合;有理数集合;5、简答题：（1） -1和0之间还有负数吗？如有，请列举。（2） -3和-1之间有负整数吗？ -2和2之间有哪些整数?（3）有比-1大的负整数吗？有比 1小的正整数吗？（4）写出三个大于-105小于-100的有理数。1、数轴上与原点距离是5的点有个，表示的数是1.2.22、

25、已知x是整数，并且-3vxv4,那么在数轴上表示 x的所有可能的数值有。3、在数轴上，点 A、B分别表示-5和2,则线段AB的长度是。4、数轴上的点A表示-3,将点A先向右移动7个单位长度，再向左移动5个单位长度，那么终点到原点的距离是相反数1、- (-3)的相反数是。2、已知数轴上 A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是6,点A在点B的左边，则点 A、B表示的数分别是。3、已知a与b互为相反数，b与c互为相反数，且 c=6，则a=。4、一个数a的相反数是非负数，那么这个数a与0的大小关系是a 0.5、数轴上A点表示-3, B、C两点表示的数互为相反数，且点 B到点A的距离是2,则点C表

26、示的数应该是。6、下列结论正确的有()任何数都不等于它的相反数；符号相反的数互为相反数；表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等；若有理数a,b互为相反数，那么 a+b=0;若有理数a,b互为相反数，则它们一定异号。A、2个 B、3个C、4个D、5个7、如果a=-a,那么表示a的点在数轴上的什么位置？绝对值1、化简：5| ； | ( 5)| ；( ：) 。2、比较下列各对数的大小：-(-1) - (+2) ;- ；( 0.3)1 ;| 2- (-2)。21733、若ai a ,则a与0的大小关系是a 0;若|a|a ,则a与0的大小关系是a 0。4、下列结论中，正确的有()符号相反且绝对值相

27、等的数互为相反数；一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；两个负数, 绝对值大的它本身反而小；正数大于一切负数；在数轴上，右边的数总大于左边的数。A、2个B、3个C、4个 D、5个5、在数轴上点 A在原点的左侧，点 A表示有理数a,求点A到原点的距离。6、求有理数a和 a的绝对值。1.3.1有理数加法1、( 1)绝对值小于4的所有整数的和是;(2)绝对值大于2且小于5的所有负整数的和是 2、若a 3, b| 2,则 |ab 。3、已知 ai 1, b 2, c 3,且 a> b>c,求 a+b + c 的值。4、若 1vav 3,求 1 a| 3 a|的值。5、10袋大米

28、，以每袋50千克为准：超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：+0.3 , 0, - 0.2 , - 0.3 , + 1.1 , - 0.7 , 0.2 , + 0.6 , + 0.7.10袋大米共超重或不足多少千克？总重量是多少千克？有理数的加减法1、下列各式可以写成 a-b+ c的是()A、a (+b)(+ c)B、a (+b)( c) C、a+ (b)+(c) D、a+ (b)(+c)2、计算：.131212(1) 0 - ( 3.25) 2- 7-(2) ( 3二)(2.4)(二)(4二)2423353111(3)7 4 (18一)682423、若卜 n| n m,

29、|m| 4, n 3,则 m n 4、若 x<0,则 |x ( x)|等于()B、0C、2xD、一 2x5、下列结论不正确的是()A、若 a>0, b<0,则 a- b>0B、若 a< 0, b>0,则 a-b<0C、若 a<0, bv 0,则 a (-b)>0D、若 av 0, b<0,且 b 间，则 ab>0.6、红星队在4场足球赛中的成绩是：第一场 3: 1胜，第二场2: 3负，第三场0: 0平，第四场2: 5负。红星队在 4场比赛中总的净胜球数是多少？有理数的乘法1、2的倒数的相反数是。32、已知两个有理数 a,b ,如

30、果ab<0,且a+bv0,那么()A、a>0, b>0 B 、a<0, b>0 C、a,b异号 D 、a,b异号，且负数的绝对值较大 3、计算：(1)7.8 ( 8.1) 0 I 19.6(2)0,25 ( 5) 4 ()125111、(3)(8) (- 1- /(4)22 15130.34( 13)0.3437 376、已知 X 2| y 3| 0,求 21x 5 y 4xy 的值。237、若a,b互为相反数,c,d互为倒数，m的绝对值是1,求(a b)cd 2009m的值。118有理数的除法1、计算：24I,ll)5 ( 1) ( 2) 7; (6)7542、

31、如果a b ( b0）的商是负数，那么（A、若a,b异号，则a b<0,a<0 bB、若a,b同号，则a b>0,a bC、aaaDa abbbb b4、若a0,求aa-的值。A、a,b异号 Ba, b同为正数 C 、a,b同为负数 D、a,b同号3、下列结论错误的是（）>0混合运算1、计算:1（1）（一6（42）；1(2) 一 105111().7352、计算:11131(1 4).1313(1) 1 (_ _ _) 24 ( 5)；2486 4a 113、已知a<0,且a 1 ,那么1的值是（）a 1A、等于1 B、小于零 C、等于 1 D、大于零4、已知3 y| x y| 0,求的值. xy5、若 a 0,b0, c