知识讲解复数基础

1、高考总复习：复数【考纲要求】1. 理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2. 了解复数的代数表示形式及其几何意义； 能将代数形式的复数在复平面上用点或向量 表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。3. 会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义 .【知识网络】【考点梳理】考点一、复数的有关概念1. 虚数单位 i:(1)它的平方等于 1，即i21；(2) i 与一 1 的关系：i 就是一 1 的一个平方根，即方程x21的一个根，方程x21的 另一个根是 i ；( 3)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；(4) i 的周期性

2、：i4n1，严1i,i4n 21，严3i(nN* ).2.概念形如 a bi (a,b R)的数叫复数，a叫复数的实部，b 叫复数的虚部。说明：这里a,b R容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。3. 复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系:4. 复数与实数、虚数、纯虚、0 的关系：对于复数 z a bi（a,b R），当且仅当 b 0 时，复数 z a bi a 是实数；当且仅当 b 0 时，复数 z a bi 叫做虚数；当且仅当 a 0 且 b 0 时，复数 z a bi bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时，复数 za bi0 就疋实数 0.

3、所以复数的分类如下：z a bi （a, b R）实数（b虚数（b0）；0） 当 a0 且 b 0 时为纯虚数5.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果a,b,c,d R，那么 a bi c di a c 且 b d .特别地：a bi 0 a b 0.应当理解：(1)一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.(2)复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就 可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。6.共轭

4、复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：复数 z a bi 和z a bi a bi(a,b R)互为共轭复数。考点二：复数的代数表示法及其四则运算1. 复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即 a bi (a,b R)，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的 代数形式。2. 四则运算(a bi) (c di) (a c) (b d )i；(a bi )(c di) (ac bd) (bc ad)i；考点三：复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴:点 Z 的横坐标是a，纵坐标是 b，复数 z a bi (a,b R立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫

5、高斯平面, 虚轴。实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是 z 0 0i 0 表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是对应关系,复数 z a bi一一对应复平面内的点Z(a,b)这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个 点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示 方法，即几何表示方法。2.复数的几何表示(1)坐标表示：在复平面内以点Z(a,b)表示复数 z a bi (a,b R)；(2)向量表示：以原点 0 为起点，点Z(a,

6、b)为终点的向量OZ表示复数 z a bi .向量OZ的长度叫做复数 z a bi 的模，记作|a bi |.即|z| |OZ| 一 a2b20.复数除法通常上下同乘分母的共轭复数:abi(abi)(cdi)acbdbead.cdi(cdi)(cdi)c2d2e2d2可用点Z(a,b)表示，这个建x轴叫做实轴，y 轴叫做要点诠释：(1) 向量OZ与点Z(a,b)以及复数 z a bi 有一一对应；(2) 两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。3. 复数加法的几何意义：uur uuur如果复数zi、Z2分别对应于向量 OR、OF2，那么以OPi、OP2为两边作平行四边形OPS

7、P2，uur对角线 OS 表示的向量OS就是Z,Z2的和所对应的向量。4. 复数减法的几何意义：两个复数的差ZiZ2与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。要点诠释：1. 复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；2. 求解计算时，要充分利用 i 的性质计算问题；3. 在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；4. 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。【典型例题】类型一：复数的有关概念【例 1】设复数z lg(m22m 2) (m23m 2)i，试求实数m取何值时，复数z分别满 足：(1)z是纯虚数；(2)z

8、对应的点位于复平面的第二象限。【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。【答案】2当ig(m 2m 2)m23m 20m 1 i 3或1 i 3 m 3时，复数z对应的点位于复平面的第二象限【总结升华】复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如:zabiR b 0z zz20(a,b R) ； z a bi 是纯虚数a 0 且 b 0z z 0( z 0)z20；举一反三:【变式 1】复数1-別为纯虚数，则实数 a 为().2 iA. 2 B .2 C .-1D.122【答案】A0即 m 3 时，

9、复数z是纯虚数;2当lg(m 2m 2)m23m 20【解析】(1ai)(2 i) 2 a 2a 12 i (2i)(2 i) 55由纯虚数的概念知：= 0,二a= 2.5【变式 2】求当实数m取何值时，复数z (m2m 2) (m23m2)i分别是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数。【解析】(1)当3m1 或 m 2 时，复数z为实数;(2)当3m1 且 m 2 时，复数z为虚数;(3)当2m2m0即 m3m 201 时，复数z为纯虚数.【变式 2】已知复数z满足|z|1且 z21,则复数仔 ()z 1A.必为纯虚数B.是虚数但不一定是纯虚数C.必为实数D.可能是实数也可能是虚数【答案】

10、法 1设 z a bi (a,bR)，有a2b21, a 0.则aO黑占 2R，故应选 C。已知集合 M=(a+3) + (b2-1 ) i, 8,集合 N= 3, (a2-1 ) +(b+2) 同时满足Mn NM MG NM，求整数 a,b【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果 是否符合条件。【解答】依题意得(a 3) (b21)i 3i .或8(a21)(b 2)i .或a 3 (b21)i a21 (b 2)i.由得 a=-3,b= 2,经检验，a=-3,b=-2 不合题意，舍去。二 a=-3， b=2由得 a= 3, b=-2.又 a=-3,b =-

11、2 不合题意，二 a=3,b=-2;综合得 a=-3，b=2 或 a=3,b=-2类型二:2Zzz |z|1厂zzZ2z z z(z z)z z1(z21) z z z复数相等R.z zR.【例 2】由得2 2a 3 a 1即ab21 b 2b2a 4此方程组无整数解。b 3 0c,(a,b,c,d R).d2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标 准的代数形式。注：对于复数 z，如果没有给出代数形式，可设 z= a+bi(a,b R)。举一反三：【变式】已知复数 zi满足(zi-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数 Z2的虚部为 2,且 zi是实数

12、，求 Z2.【解析】设 Z2=a+2i(a R),由已知复数 zi满足(zi-2)(1+i)=1-i,得 zi=2-i，又已知zi- Z2=(2-i) - (a+2i)=(2a+2 )+(4-a)i 是实数，则虚部 4-a=0，即 a=4，则复数乙=4+2i.类型三：复数的代数形式的四则运算【例 3】计算：(1 2i) (3 4i)【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。【解析】(1 2i) (3 4i) U(1 2i)(3 4i)38 24=-右3 4i (3 4i)(3 4i)3242255 5【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用i21进行运算。

13、举一反三:【总结升华】1、a+bi=c+di【变式 1】(2 2i)81 V3i【答案】：原式=(1 i)81J3.i225i【变式 2】复数卫 ()1 2i汽.2 i B. 1 2i C. 2 i D. 1 2i5i 5i(1 2i)10 5i2 i1 2i (1 2i)(1+2i)5解法二：验证法 验证每个选项与 1-2i 的积，正好等于【例4】已知 z1, z2为复数，(3 + i)z1为实数，Z2= 产,且|z2l=5迂求 z2.【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解z1= z2(2 + i) , (3 + i)z1= z2(2 + i)(3 + i) = z2(5 + 5i

14、) R,|z2l 二52|Z2(5+ 5i)| = 50, z2(5 + 5i) = 50,【总结升华】1、复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幕写成最简形式【解析】选 C 解法5i 的便是答案.(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)2=2i；i； L_ii； _bib ai;1 i 1 iii4n=i, i4n+1=i , i4n+2=-i , i4n+3=-i(n N).2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算， 此时含有虚数单位 i 的看作一类同类项, 不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把 i 的幕

15、写成最简单的形式，在运 算过程中，要熟透 i 的特点及熟练应用运算技巧。举一反三：11 7i1 2i(i为虚数单位)，则a b的值为所以a 5,b3 a b 8【答案】8A. 4 3i B. 4 3i C. 4 3i D. 4 3i【解析】选 D.邑尹4 3i.ii类型三：复数的几何意义【例 5】已知复数z (3m25m 2) (m 1)i( m R)，若z所对应的点在第四象限，求m【变式 1】设a，bbia bi【解析】因为11 7i1 2i(11 7i)(1 2i)55 3i【变式 2】设 i 为虚数单位，则复数3 4ii点，则点 C 对应的复数是().的取值范围.【思路点拨】 在复平面内

16、以点Z(a,b)表示复数 z a bi (a, b R),z所对应的点在第 四象限等价于Z的实部大于零而虚部小于零。【解析】Tz (3m25m 2) (m 1)i23m 5m 20站曰彳-，解得 m 1.(m 1)0 m的取值范围为m (1,).【总结升华】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一 个点，有唯一的一个复数和它对应。举一反三：【变式 1】若z m2(1 i) m(4 i) 6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是 ( )A.0,3B., 2C.2,0D.3,4【答案】：z (m24m) (m2m 6)i所对应的点在第二象限m24m 0且m2m 6 0

17、，0 m 4 且 m 3 或 m 2- m 3,4，故选 D【变式 2】在复平面内，复数 6+ 5i，- 2+ 3i 对应的点分别为 A，B,若 C 为线段 AB 的中A48i B 82i C 24i D 4i 【答案】 C【解析】复数 65i 对应的点为 A(6,5) ，复数 23i 对应的点为B( 2,3) 利用中点坐标公式得线段 AB 的中点 q2,4)，故点 C对应的复数为 24i.类型四：化复数问题为实数问题【例 6】已知 x,y 互为共轭复数，且(x y)23xyi 4 6i,求 x,y.【思路点拨】设 z a bi(a,b R)代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b 的两

18、个方程。【解析】设 x a bi(a,b R)，则y a bi,代入原等式得：(2a)23(a2b2)i 4 6i4a 43(a2b2)6解得：a 1a1a 1a1或或或，b 1b1b1b1x 1 i x 1 i二或y 1 i y 1 i或Xy1 ix 1 i或。1 iy 1 i【总结升华】复数定义：“形如 z abi (a,bR)的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法举一反三:【变式 1】已知复数 z 1 i，求实数a,b使az 2bz (a 2z)2【答案】：/ z1 i,az 2bz(a 2b)(a 2b)i/a,bR,a22b a 4a，解得a 2 亠 a 4 或a2b 4(a 2)b 1b 2【变式 2】 令 zC,求使方程|z| 2z 3 6i成立的复数z.【答案】： 令 zx yi(x,y R),则原方程化为：.,x2y22(x yi)