第二章.导数和微分答案解析

1、范文范例学习指导第二章导数与微分-导数(1) 导数的概念(见§2.1)I 内容要求(i )理解导数的概念及其几何意义,了解函数的可导性与连续性之间的关系.11 i) 了解导数作为函数变化率的实际意义,会用导数表达科学技术中一些量的变化率. n基此题型(i)用导数定义推证简单初等函数的导数公式4分)(Jx),=2 : x1(x ) - 1 x1. 用导数定义求证以下导数公式,并记忆以下公式(每题11(1)(C)' = 0(2)().4(3)xx(4) (cosx)'= sin x (5) (ax)' = axina(6)(ii)确定简单根本初等函数在某点处的切线

2、方程和法线方程2. (6分)求y=lnx在(1,0)点处的切线方程及法线方程.1 .斛：y = , y(1)=k=1,所以 x切线方程为y=x-1法线方程为y = -x 13. (6分)求y=、?xjx在(1,1)点处的切线方程.12 , 3 ,3解：y =x4 , y = x4 , y(1) = k = 一 443 ,八 ,31切线方程为y=(x1)+1,即y=x+一 444(iii)科技中一些量变化率的导数表示13 填空题(每题4分)(1)假设物体的温度T与时间t的函数关系为T =T(t),那么该物体的温度随时间的变化速度为 T (t)一 、 . . . . ,(2)假设某地区t时刻的人口

3、数为 N(t),那么该地区人口变化速度为Nm疑难题型(i)分段函数在分段点处的导数计算14 讨论以下函数在x=0处的连续性与可导性(1) (7 分)y =|sinx|word整理版范文范例学习指导解：在x = 0处连续但不可导.1cxsin , x = 0(2) (7 分)y =? X0, x =0解：llm y = f (0) =0 x0,1 cxsin0:xx.1=lim sin不存在, x ：0x所以f (x)在x = 0处连续但不可导2x ,6. (8分)：f(x) = «x,x . 0,求 f；(0),f(0),f'(0),f'(x).x :二 0f(0 x

4、) - f(0)-x-0解：f J0) = lim - 二 lim x.-xx.- x-1f (0 x) - f (0) x -0 八 ,小、才心齐f40) = lim -=lim,=0,二 f (0)不存在x 0 'xx)o . x2x,x >0二 f (x)=-1,x <0(ii)用导数定义解决的有关抽象函数的题型(自学)7. (7 分)设 f(0) =0, f '(0) =1,求四f (2x) - f (-3x)x解:f(2x)-f(-3x) f(2x) - f(0) - f(-3x)f(0)1 1 =limx x f (2x) - f (0)f(-3x) f

5、(0)=lim - + lim-x 0xx j0x= 2f(0) 3f (0) =58. (7分)对任取的x, y,总有f (x+y) = f (x) + f (y),且f (x)在x = 0处可导,求证：f (x)在(血,+8)上处处可导.解：: f(x + y) = f(x) + f(y),取 x = y = 0,f(0)=0f1(x)= lim f(x "f(x)= lim f(x) f( x)-f(x).x0xLx-0x: lim f(x)f(0);fx 10-x(0)即f (x)在(-8,2)上处处可导.word整理版范文范例学习指导(2) 初等函数求导(见 A 02, 2

6、§3); (B02)I 内容要求(i)记忆根本导数表,掌握四那么求导法那么及复合求导法那么,了解反函数求导法那么.自学求函数n阶导数(ii) 了解高阶导数的概念, 掌握初等函数一阶及二阶导数的求法, 的一般表达式.n基此题型(i)初等函数一阶及二阶导数的计算题型9.求以下函数的一阶导数(每题4分)(1)(2)x=3e cosxy = 3ex( cos -s i nx)(3)ln x, xx ln xx 2 x 2 - ln x2x、. x(4)arcsin x1 a r c c o. s,1 -xa r c s xn2、1.x2(5)(6)(8)arccosx2=2xx=e 2 co

7、s6xx 1=arctanx - 12(a r c cx) sarc sxn a r c c x s.1 - x2 ( a r c cxWji2.1 -x2'x2y =2xy =ln(x + Jx2 +a2),10.求以下函数在给定点处的函数值(arccosx)2ln2 2x = 2x2 1x ln 22 (cos 6x 12sin6x)(x 7) (x 1)2(x-1)21_x2 11x,一 x2 a2(每题 6分)(1 X22x a'_ x 2x-1y = 2 x ln 2 2 x,、一.1. d：(1) p = esin 十一cose ,求一2d.=sin cos丁 -1

8、 sin1-二 cos- -sin -22word整理版范文范例学习指导d：cH2 二 2. 2二-=(2 二)r 二848 y =i'x + v反,求 y'(1).1 _解:2、x 2 x 1,小 3. 2, 二, y (1)=2、x x 4 x. x x8,、11.二(3) y =+,求 y ().1 | sin x | 1 - | sin x |3一二、112斛：丁 x w (0, ), y =+= 2sec x21 sinx 1 -sin x2,'2 ：y =4secxtarx, y (一) = 4sec tan =16.3333(4)y = ln(secx +

9、tan x),求解:I2、(secx tan x sec x) = secx secx tanx,/ 、2 3y () =s ec-=66311.求以下函数的二阶导数每题 7分(1) y = +ln x y'=x二+x,y" = 2x- x2 x'2"2(2) y = tanx y =secx, y =2sec xtan x(3) y2x e2x 2x2xe 一 ey =2x2x 2_e (4x - 4x 2)y =3x(4) y = ln(x2a2)2x "2( a - x之)y 二 -22, y =222x a(x a )-2x2 2 八2(x

10、 -1)(6) y =ln(x + Jx2 -a2),1y =) 二,J I 22x - a-x3/ 22、万(x -a )word整理版范文范例学习指导m提升题型i有关抽象函数的求导问题7分设函数fx和gx可导,且f 2x + g2x #0,试求：ddx1f2(x) g2(x)解:-d-f 2(x) g2(x).=dx''f f g g,f2 g22213. ( 7分)设 f (x)二阶可导,设 y = f (sin x) + f (cos x),求 y (x), y (x).'/-2' /2'.2'.2、_解:y (x) =sin2xf (s

11、in x) sin 2xf (cos x) =sin 2x f (sin x) f (cos x)一 一 一 '一 2 一 一 '_21. 2 _ I .2. 一 2 一.y (x) =2cos2xLf (sin x) - f (cos x)J sin 2xlf (sin x) f (cos x)J,dx 1已14. 7分试从-=一导出:dy yd2xdy2(y)解:d 2x dy2(1)=()=dy dydy y 1 y' 2 .,'、 3(y ) y (y )dxii有关n阶导数的计算题型自学15 .求以下函数n阶导数的一般表达式每题 7分1(1) y=x

12、a(n)nn 1y (-1) n!(x a)(2 )1y - x2 -2x-3y(n) = 1(-1)nn!收-3)"n 1) - (x 1) 4n 1)】4y(x)T£-； y&T-jFxr,】y(x)4(-1)(-2)(x-3)-(-1)(-2)(x 1)-1 y-仅到9枚-旷-14(3) y=ln(1 x) y=(-1)n4(n-1)!(1 x)511n -(4)y =sin x=3(1-cos2x) y =-2 cos(2x -)(5) y = xexy(n)=(x n)ex二隐函数、参数方程所确定函数的求导问题及相关变化率问题 A 见 §2.4

13、; B 见 23I 内容要求word整理版范文范例学习指导(i)掌握隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数,并学会计算简单的二阶导数.(ii)学会对数求导法.* (iii)学会解决一些简单实际问题中的相关变化率问题.n基此题型(i)涉及隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数问题16 .求由以下方程所确定的隐函数y = y(x)的导数dy :dx33.一(7 分)x + y - 3axy = 0解:223x 3y y3ay - 3x2ay - x2-3a( y xy ) = 0 , y =一2二一23y2 -3ax y2 - ax(2)(7 分)y = 1y一 xe解:yy = 1e-ey1 xey

14、eyy -217.2(7分)求曲线X33在点(上 a,避 a)处的切线方程及法线方程. 44解:、一 r 2方程求导得：2x32切线方程为y = -x a,2法线方程为 y=x18.(7分)设 y = (-x-)x,求 dy1 x dx解:xIn y = xln, y = y In x - ln(x 1)1 x IL=(一1 x 1x )xx一IL x 1 1 x19.求以下参数方程所确定的函数的导数电.dx(1) (7 分)x =6(1 - sin)y = a cos日解:dy dldx= cosH-8sin 日,=1sin 日一8 cos 日ddy _ cos-【sin -dx 1 -si

15、n -二 cos-(2) (7 分)x = ln(1 t2)y =t -arctantword整理版范文范例学习指导解:dy =11dt 一 一1 t22_t dx 2t =2 )21 t dt 1 tdy _ t2 _ tdx 一 2t 一 2x = et sin 2t20. 7分求曲线Je2t在点0,1处的切线方程及法线方程.y = e cost解:dy =2e2t coste2tsint,如=S Sin 2t + 2cos2t 】 dtdtdy 2 cost - sint八 ,., dy 2=,x=0, y=1, t=0 , k = = _ = 1dx sin2t 2 cos2tdx 2

16、切线方程为x - y 1 =0法线方程为 x y -1 -0m综合应用题型i有关变化率及*相关变化率的实际问题3221. 8分设质点的位移函数 S=t +1.5t t,t20 ,其中t和S的单位为s和m ,问：1何时质点到达5m/s的速度？2求t =3s时,质点运动的加速度.解：1 ds = 3t2 +3t 1=5= t =1 t = 2dt（2） ay =21 m/s222. 8分在一新陈代谢实验中葡萄糖的含量为m=5-0.02t2,其中t的单位为h,求1h后葡萄糖量的变化率.解：变 y =-0.04ttm = 0.04 dt23. 8分在温度不变的条件下,压缩气体的体积与压强之间的关系为p

17、V = C ,求体积关于压强的变化率.解；v = C : dv =Cp P dp*24. 8分设一球状雪球正在融化,其体积以1cm3/min的速率减小,问雪球直径为10cm时,直径的减小率为多少?word整理版范文范例学习指导1_ 3 '2 _ '解： V =e二Vt = D2Dt62/ 冗"2''1,J.、1 = 10 Dt D/0 n Dt D 工0 =(cm min)2 一 一50几*25. (8分)设12： 00时甲船位于乙船西100km处,甲船以35km/h的速度向南航行,而乙船以25kml/h的速度向北航行,求 16： 00时两船距离的增加

18、率.解：S = J1002 +60t2, S = 2x60txgQ|t = 55.4km/h.一 2, 1002 60t2 一*26 . 8分一架巡逻直升机在距地面 3km的高度以120km/h的常速沿着一条水平笔直的高速公路向前飞行,飞行员观察到迎面驶来一辆汽车,通过雷达测出直升机与汽车间的距离为5km,并且此距离以160 km/h的速率减少,试求出汽车行进的速度.解：S J(4 120t 4t)2 十9 , S'|t=0 - (4 120t -vt)(120v) |t二 160<(4-120t -vt)2 十 9r 4即 4 (120 v) =160= v =80(km/h)

19、5w提升题型(i)涉及隐函数和参数方程所确定函数的二阶导数题型27. (7 分)设 y =tan(x + y)确定了 y = y(x),求 y"(x).解:'2'、1y =sec (x + y)(1 + y ) , y = 2sin (x y)y (x) = 2c s C(x y)cotx( y) (1 y) - -2csc(x y) c o t(x y)28.7分设22x = ln(1 +t ) y = arctant,求 d2ydx2解:dy = 1 dx _ 2t dy22dt1 t2 dt 1 t2 dx 2t1d2y d ' 2t2密二最(y)=31

20、 t24t329.7分设,1 t2x = arctant 一 ,、2 t确te了 y = y(x),求 y (0).2y -ty2 +S =5word整理版范文范例学习指导2 t解：(1) xt1', 2'、 t' y - e1-jr,2yt -(y2tyyJ e =0= yt = 2 2ytdy ytdxXt(y2 -et)(1 t2)'3(y)y(0)= (x = 0,t =0,y = 2)2(1 - yt)22yt'''、2"、 t-(2yyt2yyt 2t(yt)2t y y) e =0yt(2-2ty)=4yyt +

21、2t(y )2yt tzg4yy' 2t(y')2 - et2(1 - yt)11 八1110 -, 代入公式得 y (0)=30. (7分)设y = y(x)由方程xef(y) =ey所确定,其中f二阶可导,且f'第1,求打 dx解:ln x + f(y) = y,1' ,、f (y).y = y x-I _ "' 2-'"f (y)(y ) f (y).y = y x解:x1 - f (y)-x" f"(yF x2 11-f (y)- f (y) - f(y)2(7分)dy _dt 一t,1- f (y

22、)F1f (y)7fT1 - f (y) _ f"(y)-1-f'(y)2x21- f'(y)X = fJ=tf'-f(t)2 ,且 f (t) #0,求 T dxdx十tf -f(t)=tf ,十f(t)d2y dx2二旦(y') =-1 dx f (t)微分(A见8.5);(B 见 0.4)I内容要求(i )理解微分的概念,了解微分的概念中所包含的局部化线性思想.(ii) 了解微分的四那么运算法那么和一阶微分形式不变性.word整理版范文范例学习指导(iii)自学微分在近似计算中的应用.n基此题型(i)求函数的微分题型32.求以下函数的微分1(1)

23、 (5分)y = <xsin-x1111 .dy = (sin - - . x 2 cos-)dx2、x x x x(2) (5 分)y=ecos(3_x)dy = -e/ Cos(3 - x) - sln(3 - x) dx(3) (5 分)y =口,.x 1dy = y dx =1 x21 x2dx(1 x2)333.在以下等式左端的括号中填入适当白函数,使等式成立(每空 3分)4 32 .(1) d(-x C) = 4x dx3 1.(3) d (ln( x 1) C) =dx x 134.填空(每空3分)(2)(4)cos x -d ( C) = sin xdxod(-jex C

24、): exdx(1)dlnx= - x d 1 x.12x ,(2) d2 = 2 d arctanx1 x 1 xm提升题型(i)涉及微分在近似计算中的应用题型(自学)35. (7分)计算球体体积时,要求精确度在2 %以内,问这时测量直径 D的相对误差不能超过多少？'4 3 136V V 口 oD斛：V = nr = nD ,那么=-6D =336V V D,Doo =6.67°o.36. (7分)单摆的振动周期 T =2兀,其中g =980cm/s2 , l为摆长(cm),设原摆长为20cm,为使周期T增大0.05s,摆长约需加长多少?word整理版范文范例学习指导l_J

25、T1T 一2二2=lt、.T ： 2.232(cm)第二章导数与微分计算测试题、选择题7X4分1 .函数y = fx在x0处连续是y=fx在x0处可导的A充分但非必要条件B必要但非充分条件C充分且必要条件D既不充也不必要条件2.1 f (x) =cos, x那么 f (-) 冗3.f(x 2)那么 f (x)=4.5.6.x_2 eex42C ex -2D ex 2sinxB COSxf (x) = arctan x,贝U lC -sinx f (1 x) - f D - COS xB -1x1C21D2x2, x -07.假设函数f (x) = «那么在x = 0处sinx, x

26、: 0A导数为0B导数为1C导数为2D导数不存在y - -2x 2二、填空题3X4分1,曲线y =ex3sin x+1在点0,2处的切线方程为2-2. x2 . d x 1 =d ln x1x23.设 f(x) = x2x,贝U f (x)x2x(2ln x 2)word整理版范文范例学习指导三、计算题4X 7 分)=ln(sec x + tan x),求 y 解:secx tanx2 .(secx tan x sec x) = secx,2.设=secx tan x=y(x)由 xy ln y +1 =0所确定,求 y(0).解:3.33 .x = a cos tdy解:(2)(3)(1)(

27、2)(3)y = asin3tt.x = 3edy,求见y = 2edxdxy22arctan- = ln x y xdy=-tant dx%= -2e: dt虫=3,dt ,1(-)2x求公dxdy - 2 孕一 二edx 3xy - y 1 2x 2yyyx=0,y=e, y + xy - yxy y _ x yyy2',2y (x - y) =x(1 y)x(1 y)y ；(x - y)4.设f(x)在(-°°,彳8)上可导,且F (x) = f (x2-1)+ f(1-x2),求 F '(1)-F'(-1)._ '_ '2 一 一-解：F (x) = f (x -1).2x -2xf(1 -x2)F(1) =2f (0) -2f (0) =0 ,F(-1) = -2f(0) 2f (0) =0F (1) - F (-1)=0word整理版范文范例学习指导四、(9分)设y = y(x)是由方程sin y +xey =1所确定的隐函数,求函数曲线y = y(x)在点M (1,0)处的切线方程及法线方程.1斛：y co