等比数列的前n项求和公式

1、目选课题：等比数列的前n项和教学设计1 .教学内容解析本节内容为现行人教 A版?必修5的第二章的核心内容,它在?普通高中数学课程标 准(2021年版)?中,被纳入 选择性必修课程的函数主题之中.数列作为一类特殊的函数,既是高中函数知识体系中的重要内容,又是用来刻画现实世界中一类具有递推规律的数学模型.在现行教材的编排中, 等比数列的前n项和处于等比数列的单元内容之中, 是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容,它在完善数列单元的知识结构体系,感受数列与函数的共性与差异,体会数学的整体性等方面都是不可或缺,在提升学生探究、应用和实践水平等方面,有着不可替代的作用和价值.课标要求：学生经历等比数列

2、前 n项和公式的探索过程, 掌握等比数列前n项和公式及 推导方法,并能进行简单应用.等比数列前n项和公式的知识内容之所以被列为掌握层次,主要是由于它与函数、 等差数列的内在联系,尤其是它在数学史上的历史印迹,以及探索过程中所蕴含的丰富的数学思想(如特殊到一般、类比、根本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等),所需要的数 学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养,都能充分发挥数学的育人功能.基于以上分析,本节课的 教学重点 为：等比数列前n项和公式的导出及其应用.2 .学生学情分析本节课的授课对象为宜昌市夷陵中学高一年级实验班,夷陵中学是湖北省重点中学、省级示范高中,学生有较好的数学学科根底.

3、从学生的思维特点看, 很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的发现、特点等方面进行类比,这是积极因素,可因势利导.然而,本 节公式的推导与等差数列前 n项和公式的推导有着本质的不同,对学生的思维水平提出很高 的要求.另外,对于 q = 1这一特殊情况,运用公式计算时学生往往容易无视.教学对象刚 进入高一不久,虽然逻辑思维能也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的水平,但由于年龄的原因,缺乏深刻的理性思考.基于以上分析,本节课的 教学难点为：等比数列前n项和公式的探究及其推导.3 .教学目标设置(1)学生通过课前自主查阅数学史料,课堂演绎历史短剧,了解等比数列前n项和公式的来龙去脉,感受前人

4、严谨的治学精神,体验数学的魅力和数学文化的熏陶.(2)学生通过研究性学习和小组合作探究的方式,掌握等比数列前n项和公式的不同推导方法,领悟公式的本质,并能运用公式解决简单问题.(3)学生在经历等比数列前 n项和公式的发生、开展、推导和证实的过程中,感悟特殊到一般、方程与函数、划归与转化等数学思想,形成根本活动经验,重点提升数学抽象、 逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养.4 .教学策略分析等比数列前n项和公式是高中数学的重要内容,普遍采用的推导方法是带有技巧性的错位相减法,求和公式及其推导方法都是教材和教师直接告知,并非自然产生.有鉴于此,本节课追寻历史足迹,借鉴历史规律,揭示知识之谐,展现

5、方法之美,引发情感之悦,营造不一样的课堂.让学习真正发生,首先在于教师有 让的意识,本节课为了做到教师在后、学生在前,教师先给充分的资料和空间让学生自学和互学,营造积极的探究气氛,在课堂上展开小组谈论和交流,碰撞出思想与智慧的火花.教学流程：5 .教学过程设计环节一：演史剧,发现等比数列提出问题学生表演国际象棋的传说棋盘丢麦粒问题并设计如下问题串：问题1：故事里每格棋盘上的麦粒依次构成一个什么数列？生1:首项为1,公比为2的等比数列问题2:铺满这64格棋盘需要的麦粒总数是多少？生1:可以看成是首项为1,公比为2的等比数列的前64项和即1+2+22卅|+263师：1 42 +22川I+263等于

6、多少,逐项相加吗？生2:项数多,不太现实,我觉得可以和等差数列求和一样,从特殊到一般,找规律师：如何找规律？请大家尝试一下.生3:我是这么想的,计算出 S, W, S2 =3, S3 =7, S4 =15, Sg =31 ,发现它们都是2n-1的 形式,因而我猜测&4 =264 -1 .【设计意图】通过学生表演国际象棋的传说激发学生的兴趣和探究欲望,通过一系列的问题将故事情节与相关知识点联系起来,从情景中看到数学问题.通过结论的探求让学生学会研究陌生问题,可采用特殊到一般的方法入手.情境性 问题串设计要表达情景性,一般来说要具备三个要素：1涉及未知领域,能启动学生思维；2具有真实性,让学生觉得

7、亲切、自然；3基于学生已有的知识水平.这样的问题情境能激发学生学习新知识的好奇心和求知欲,引发学生自主探究,让学生在解决问题中顿悟,提升学习新知的水平环节二：试猜测,提炼等比求和公式师：假设将公比变为q ,项数变为n,你觉得1 +q+q2 + | + qn的结果是?生 4: qn _1生5:我觉得生4不对,很明显如果 q=3, n=2时,结果就不对.师：说明我们仅由q =2的猜测太过片面,为了使得结果具有更加说服性,请大家完成 以下表格？Xn =1 3 32ill 3n-n12345XnYn =1 4 - 42i114nln12345Yn师：根据大家所填的表格,你能够猜测出结论吗?2-生 6：

8、 1+q+q +L师：大家都同意上述结果吗？有没有需要注意的地方？生7:我觉得不能代表q=1时的求和公式,当q=1时,由于相同数的累加即为乘法,很 容易得出结果为n.师：假设将首项改为 & ,你能计算出Sn =a1 +a1q +a1q2十+2e的结果吗?生8：可以观察发现每项都有 a1提取公因式a1变为Sn =a11十q+q2+qn即可转 化为刚刚的问题.师：那么等比数列求和公式是什么？生9： ： q =1时数列的每一项都相等,Sn = a1+a+a+a = na1,当q#1时,Sn= a aqa1q2 0- aqn“2 . n4 a1q -1a11q q q =-q -1师：我们可以将这两种

9、情况写成什么样的形式?na1,q =1生10：分段函数,即Sn= a11 qn1 -q,q =1【设计意图】本环节的目的是为了让学生合理的猜出数等比数列的前n项和公式.通过对棋盘故事的深入探讨,从公比为2,到公比为3,4直至公比为q ,这样从具体到抽象,由特殊到一般符合教学的一般规律,让学生真正意义上参与到公式的猜测中去,感受知识的生成过程.环节三：巧变形,证实等比求和公式师：通过同学们的共同探索我们得到了等比数列前n项和公式.(板书公式)师：猜测是创新水平的一局部,同学们刚刚的猜测思维活泼,灵活有序,表现太精彩了,这个猜测你们觉得可靠吗？(齐答：不可靠)数学是一门严谨的学科,任何公式的猜测都

10、需要严格的推导和证实. 下面请同学们结合课前的预习,将自主探究的成果在小组内分享和交流,和组内成员一起来揭示这个公式的证实过程.(等待1-2分钟)生11:通过预习课本,我知道了错位相减法,这种方法是18世纪瑞士大数学家欧拉在?代数学根底?中采用的.具体做法如下 8n =a1 , a1q , a1q2+aqn/ - a1qnJ两边同乘以q得qSn =a1q+a1q2+a1q3+ +“4,+ a1qn往后错一位相减可得8n = a1(16 (q # 1)其他小组有没有需要补充的或者存在迷惑的？ 1 -q生12:我有点困惑,为什么想到两边同乘以q呢？生11：由于根据等比数列的定义,后一项为哪一项前一

11、项的q倍,乘以q后前一项就变成了后一项,那中间很多项相同了,这样就可以到达消项的目的,只剩下很少的几项, 就可以运用累加法. 1一 ,一,1生13:根据等比数列定义,既然刚刚能同乘以q,那么我觉得两边同乘以 -.q师：大家觉得行吗？还可以乘以什么生14:乘以-q也可以.师:很好,往前错位和往后错位本质都是一样的利用了等比数列的定义,来消掉了中间 的很多项,看来你们已经掌握了错位相减的本质,有没有其他不同的推导方法的？生15:我用的是掐头去尾法,这种方法是18世纪法国数学家拉克洛瓦给出来的具体做法如下：Sn-a1= aq. a1q2.aqn：Sn-an= a,aq.,a1qn发现 & Q =q(

12、& an)化简可得 Sn =a1 anq =a1(1q)(q#1)1-q 1-q师：也很好,其他小组有没有需要补充的?学生16:我们小组成员也另外一种不同做法,提取因式法,这种方法的原理古埃及人和印度人早已掌握,但他们没有我们今天的代数符号,古埃及人未能获得求和公式.受古人原理的启发,我们的具体做法如下：2n 1n _2Sn 二 a aq a1q 4+a1q 二 a1 q(ai aq*+aq )-a - qSn 1再利用Sn =SnA +an相当于两个方程解两个未知数,可以得到Sn =aI +q(Sn -an)从而求出Sn =曳二型=a1(1-qn) 1-q1 -q师：这个推导过程,有没有细节

13、上的问题？生17：第一个公比不能等于 1,还有证实中用到了 Sn=Sn+an要强调n大于等于2.师：方法巧妙,补充也很正确,同学们以后在书写过程中一定要特别注意细节.还有没 有不同的想法的？生18:我们小组经过讨论用的是等比定理法具体做法如下：ao aa根据等比数列的定义也=曳=i =-an- = q (n22),再利用合比定理可以得到a a?an aa2+a3+a4 +an =q可得凡曳=q从而求出Sn =刍二胭=皿二9 (q,1) a a2 a3 an 工Sn - an1 - q 1 - q我们惊喜的发现,这种方法古希腊数学家欧几里得在?几何原本?中用过.师：很好,观察很仔细.同学们刚刚展

14、示了四种不同时期不同数学家的证实方法,请同学们相互之间再交流下,你们觉得这四种证法都用了哪些数学思想？生19：我觉得第1种方法用到了方程的思想,得到关于Sn与Sn的两个方程来求Sn生20：我觉得后三种方法都用了等比数列的定义.师：同学总结的都很好, 其实四种方法都用了等比数列的定义.在数学开展史上一些伟大的数学结论都来源一些经典的猜测和数学家呕心沥血,前仆后继的不断思考,探究和证 明.今天同学们的精彩表现展示了这一艰辛的历程,所有数学发现都为我们实际应用带来了巨大的方便.【设计意图】 本环节的目的是让学生收集资料证实公式,深入挖掘公式背后的隐性价值.让学生质疑,提炼本质,重视细节.其中错位相减

15、法这种消项的方法也是后面解决差比型数列求和的一种有效方法,而等比定理法也对合分比性质做了一个稳固,当然这其中还有 很多的证实方法,如裂项等；并从中感受对公式变形的根源性思想.环节四：适运用,解决等比求和问题师：之前我们一起猜了公式,并且也证实了公式,下面我们一起来运用公式,让我们把目光回到课堂开始提出的问题1,体验一下求和公式的便利.一 一1-264生 21： ai =1,q =2,n =64 带入公式可得 Sn = 264 1.1 -2师：64次方,同学们想知道这个值有多大吗？齐答想约为1.8M1019粒,约7000亿吨,用这么多粒小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道,按2021

16、年世界粮食总产量25.87亿吨来计算,是全世界粮食产量的 270多倍.显然国王兑现不了他的承诺.师：要求出和,从公式分析来看,你们觉得需要明确哪几个量生22:明确首项、公比和项数.师：这刚好也是等比数列的根本量.其实在中国古代就有能人智士思考过这样的一个问题.远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍,那么塔的顶层共 有多少盏灯？师：请同学们计算看看塔尖究竟有几盏灯呢？生23:这是一个数列求和的逆向问题,设塔尖有a1盏灯,由题意各层宝塔的红灯数依次构成以 国为首项,2为公比的等比数列.将q=

17、2, n=7带入等比数列求和公式可得a11 - 2 -=381解得a1 = 3 ,所以塔尖顶上有 3盏灯.1 -2师：解答标准,结果准确.和同学们在一起学习交流是愉快的,收获也很多,下面请同学们对本节课做个小结可以从知识也可以从思想方法都行.生24:本节课从知识上来讲我学习了等比数列的求和公式,运用公式时要注意公式的应用条件合理选择公式,还知道了公式的4种推导方法,还有公式可以正用和逆用.从研究方 法上来看,可以从特殊到一般.并且感受到数学问题源于生活,数学知识效劳于生活.师：同学们的表现让我很冲动,最后我有一段话送给大家.你从古埃及的文明中发端在古希腊欧几里得的智慧中开展穿越中世纪的欧洲闪耀

18、着古老的中华之光把一个个奇妙的数列故事演绎成符号公式的精灵数学宝库中的明珠为我们追求真理指引方向大胆猜测严谨求证科学运用文化在传承中发扬思维在碰撞中解放让我们在孜孜求索中勇敢摘取数学顶峰之巅的王冠【设计意图】本环节的目的是让学生稳固并运用等比数列求和公式.数学家波利亚说过数学教学是解题的教学,知识的呈现离不开问题,知识的稳固来自问题的解决；这一环节第一个问题和情景引入的问题遥相照应,使得整个教学过程流畅自然.6.课后作业与研究性学习研究性学习1在棋盘的第一个格子里放上 1颗麦粒,在第二个格子里放上格子序号的2倍的麦粒,在第三个格子里放上格子序号的4倍的麦粒,在第四个格子里放上格子序号的8倍的麦

19、粒,依次类推,直到第六十四个格子.试给出足够的麦粒来实现上述要求.习题2如图是瑞典数学家科赫在 1906年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始, 把每条边分成三等份, 然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到雪花曲线. A0图1图2图3设原正三角形如图 1的边长为1,把图1,图2,图 记为01, 02, 03,On,求数列Cn的前n项和.二、教学反思本课注重数列教学的整体性,以系统观为指导,在数列1 图43,图4,中图形的周长依次般观念的指引下,采取数列公式教学应有的 猜测“证实“应用的教学模式.除此之外,在新一轮课程改革中,

20、力图突出教学过程中学生的主体地位,渗透数学学科的核心素养,到达数学育人的根本任务,提出了一种创新性设想,采取了 研究性学习 这一教学模式.让学生在数学的历史长河中自由徜 徉与探索.整个教学情景线上 围绕等比数列求和的开展历史进行展开：以历史剧本为引,发现数学问题；以历史史实为例,提出等比数列求和问题； 以历史名人为翼,分析并解决等比数列求 和问题；教学流程上遵照三个根本的教学环节围绕猜公式“,证公式“,用公式进行展开,让学生在猜测中提炼, 在证实中延伸,在应用中升华；教学策略上 让学生课前收集材料,自主学习,课间展示成果,质疑互学,课下探索实例,师生交流,让学生真正意义上做课堂的 主人.可取之

21、处：教学设计上打破常规的教学模式,采取研究性学习模式,以生为本,让学生在数学史实中不断探索前进,而教师始终扮演引路人的角色,通过问题驱动,历史线索完本钱节课的教学目标, 突出了数学源于生活, 效劳于生活,探索出公式课教学的一种新型有 效的教学模式.让学生在以后的生活中,会用等比数列求和的眼光观察生活中数列问题如银行中的存款的复利,用数列的语言表达生活中的数列问题,用所学到的等比数列知识分析生活中出现的等比数列求和知识.改良之处：本节课在公式猜测,归纳,证实,运用等都做了力所能及的工作.但求和从 一定程度上是一种代数变形,求和的理论根底是等比数列的定义,求和的本质是消项, 让学生通过查史实忽略了

22、对公式推导的过程,尤其是其中涉及到的一些如错位相减这一常用求和技巧熟悉不到位.教学环节中应增设公式推导的根源性思考,如为什么要这么变形, 求和的本质是什么.当然万事万物都有两面性,教学是解决教与学的矛盾,而我们也只能尽力解决 一些主要矛盾,缺乏之处需要在接下来的教学过程中逐步完善.路漫漫其修远兮,吾将上下而求索.三、教学点评本节课设计为研究性学习课题,突破了概念公式新授课的常规做法,通过数学文化的主线串通,配以诗歌或故事的动态画面,巧妙设置猜、证、用三个环节,采用立体化的方式呈现本节课三位一体的探究式教学活动,环环相扣,层层递进,实现了预期的教学目标, 有效突破了本节课的重难点.数学文化和教学活动互为交融,相得益彰,多彩纷呈.一演绎经典,启发想象 猜公式引入的设计充分表达了数学的文化价值,采用学生课前演绎历史短剧的方式,再现奖赏国际象棋的创造者问题以下简称引例,注意以情节化和悬念式相结合的形式展现探究问题.大胆放手让学生自主对公式的猜测探索,培养学生的想象力,激发学生的求知欲,磨 练学生勇于探索、敢于创新思维品质,在探究活动中感受数学