小学六年级奥数第29讲抽屉原理(一)(含答案分析)

1、第 29 讲 抽屉原理（一）一、知识要点如果给你 5 盒饼干，让你把它们放到 4 个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4 封信投到 3 个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2 封信。如果把3 本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到 2 本练习册。这些简单 内的例子就是数学中的“抽屉原理” 。基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k （k1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有 一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把mX xXk （xk1）个元素放到x个抽 屉里，那么至少有一个抽屉里含有 m+1个或更多个元素。利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“

2、抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。本周我们先来学习第（ 1）条原理及其应用。二、精讲精练【例题 1】 某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？把一年中的天数看成是抽屉， 把学生人数看成是元素。 把 367 个元素放到 366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2 个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。平年一年有365 天，闰年一年有366 天。把天数看做抽屉，共366 个抽屉。把367 个人分别放入 366 个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一 天。练习

3、 1 ：1、某校有 370 名 1992 年出生的学生，其中至少有2 个学生的生日是同一天，为什么？2、某校有 30 名学生是 2 月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？3、 15 个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？【例题2】 某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7 种类型，把 7 种类型看成7 个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2 人，那么去的人数应大于抽屉数。所以至少要去7+1=8（个）学生

4、才能保证一定有两位同学买到相同的书。买书的类型有：买一本的：有语文、数学、外语3 种。买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3 种。买三本的：有语文、数学和外语1 种。3+3+1=7（种）把7 种类型看做7 个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同的书，至少要去 8 位学生。练习 2 ：1、 某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本的、 二本的、 三本或四本的。 ， 问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书 （每种书最多买一本）？2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于

5、同一种？3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？10【例题 3】 一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3 副同色的？把四种不同的颜色看成是4 个抽屉，把手套看成是元素，要保证有1 副同色的，就是1个抽屉里至少有2 只手套，根据抽屉原理，最少要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后， 4个抽屉中还剩下 3 只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套又能保证有一副手套是同色的，以此类推。把四种颜色看成是4 个抽屉，要保证有3 副同色的，先考虑保证有一副

6、就要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后， 4 个抽屉中还剩下3 只手套。根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套又能保证有一副手套是同色的。以此类推，要保证有3 副同色的，共摸出的手套有5+2+2=9 （只）答：最少要摸出 9 只手套才能保证有3 副同色的。练习 3 ：1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有4 副同色的？2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问：最少要摸3 双同色的？3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各8 只。每次从布袋中拿出一只袜子，最少要拿出多少只才能保证其中至少有2 双不同袜子

7、？【例题 4】 任意 5 个不相同的自然数， 其中至少有两个数的差是4 的倍数， 这是为什么？一个自然数除以 4 的余数只能是0， 1， 2，3。如果有2 个自然数除以 4 的余数相同，那么这两个自然数的差就是4 的倍数。一个自然数除以 4 的余数可能是0， 1， 2，3，所以，把这4 种情况看做时个抽屉，把任意 5 个不相同的自然数看做5 个元素，再根据抽屉原理，必有一个抽屉中至少有2 个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是4 的倍数。所以，任意5 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4 的倍数。练习 4 ：1、任意 6 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是5 的倍数，这是为

8、什么？2、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8 的倍数？3、证明在任意的（n+1）个不相同的自然数中，必有两个数之差为 n的倍数【例题5】 能否在图 29-1 的 5 行 5 列方格表的每个空格中，分别填上1， 2， 3 这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线AD BC上的各个数的和互不相同？由图 29-1 可知：所有空格中只能填写 1 或 2 或 3。因此每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是1X5=5,最大是3X 5=15。从5到15共有11个互不相同的整数值，把这11 个值看承 11 个抽屉，把每行、每列及每条对角线上的各个数的和看承元素，只要考虑元素和抽屉的个

9、数就可得出结论是不可能的。因为每行、每列、每条对角线上的 5 个数的和最小是5，最大是15，从5 到 15 共有 11 个互不相同的整数值。而5 行、 5 列及两条对角线上的各个数的和共有12 个，所以，这12 条线上的各个数的和至少有两个是相同的。练习 5 ：1、能否在 6 行 6 列方格表的每个空格中，分别填上 1， 2， 3 这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？2、证明在8X8的方格表的每个空格中，分别填上3, 4, 5这三个数中的任一个，在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。3、在3X9的方格图中（如图29-2所示），将每一个小

10、方格涂上红色或者蓝色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？第 29 周抽屉原理（一）一、知识要点如果给你 5 盒饼干，让你把它们放到 4 个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4 封信投到 3 个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2 封信。如果把3 本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到 2 本练习册。这些简单 内的例子就是数学中的“抽屉原理” 。基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k （k1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有 一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把mX xXk （xk1）个元素放到x个抽 屉里，那么至少

11、有一个抽屉里含有 m+1个或更多个元素。利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解 答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。本周我们先来学习第（ 1）条原理及其应用。二、精讲精练【例题 1】 某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？把一年中的天数看成是抽屉， 把学生人数看成是元素。 把 367 个元素放到 366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2 个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。平年一年有365 天，闰年一年有366 天。把天数看做抽屉，共366 个抽屉。把367 个人分别放入 366

12、个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。练习 1 ：1、某校有 370 名 1992 年出生的学生，其中至少有2 个学生的生日是同一天，为什么？2、某校有30 名学生是 2 月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？3、 15 个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？【例题2】 某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7 种类型，把 7 种类型看成7 个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个

13、抽屉里有2 人，那么去的人数应大于抽屉数。所以至少要去7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。买书的类型有：买一本的：有语文、数学、外语3 种。买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3 种。买三本的：有语文、数学和外语1 种。3+3+1=7（种）把7 种类型看做7 个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同的书，至少要去 8 位学生。练习 2 ：1、 某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本的、 二本的、 三本或四本的。 ， 问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书 （每种书最多买一本）？2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。

14、每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？【例题3】 一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3 副同色的？把四种不同的颜色看成是4 个抽屉，把手套看成是元素，要保证有1 副同色的，就是1个抽屉里至少有2 只手套，根据抽屉原理，最少要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后， 4个抽屉中还剩下 3 只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套又能保证有一副手套是同色的，以此类推

15、。把四种颜色看成是4 个抽屉，要保证有3 副同色的，先考虑保证有一副就要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后， 4 个抽屉中还剩下3 只手套。根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套又能保证有一副手套是同色的。以此类推，要保证有3 副同色的，共摸出的手套有5+2+2=9 （只）答：最少要摸出 9 只手套才能保证有3 副同色的。练习 3 ：1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有4 副同色的？2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有3 双同色的？3、一个布袋里有红、黄、

16、蓝色袜子各8 只。每次从布袋中拿出一只袜子，最少要拿出多少只才能保证其中至少有2 双不同袜子？【例题4】 任意 5 个不相同的自然数， 其中至少有两个数的差是4 的倍数， 这是为什么？一个自然数除以 4 的余数只能是0， 1， 2， 3。如果有2 个自然数除以 4 的余数相同，那么这两个自然数的差就是4 的倍数。一个自然数除以 4 的余数可能是0， 1， 2， 3，所以，把这4 种情况看做时个抽屉，把任意 5 个不相同的自然数看做5 个元素，再根据抽屉原理，必有一个抽屉中至少有2 个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是4 的倍数。所以，任意5 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4

17、 的倍数。练习 4 ：1、任意 6 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是5 的倍数，这是为什么？2、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8 的倍数？3、证明在任意的（n+1）个不相同的自然数中，必有两个数之差为n的倍数。【例题5】 能否在图 29-1 的 5 行 5 列方格表的每个空格中，分别填上1， 2， 3 这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线AD BC上的各个数的和互不相同？由图 29-1 可知：所有空格中只能填写 1 或 2 或 3。因此每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是1X5=5,最大是3X 5=15。从5到15共有11个互不相同的整数值，把这11

18、个值看承 11 个抽屉，把每行、每列及每条对角线上的各个数的和看承元素，只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。因为每行、每列、每条对角线上的 5 个数的和最小是5，最大是15，从5 到 15 共有 11 个互不相同的整数值。而5 行、 5 列及两条对角线上的各个数的和共有12 个，所以，这12 条线上的各个数的和至少有两个是相同的。练习 5 ：1、能否在 6 行 6 列方格表的每个空格中，分别填上 1， 2， 3 这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？2、证明在8X8的方格表的每个空格中，分别填上3, 4, 5这三个数中的任一个，在每行、每列及对角

19、线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。3、在3X9的方格图中（如图29-2所示），将每一个小方格涂上红色或者蓝色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？答案：练11、 1992 年共有 366天，把它看成是366个抽屉，把370个人放入 366个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有2 个学生的生日是同一天的。2、 2 月份最多有29 天，把它看作29 个抽屉，把30 名学生放入29 个抽屉，至少有一个抽屉里有两个人，因此这30 名学生中至少有两个学生的生日是在同一天。3、一年有 12 个月，把 12 个月看作 12 个抽屉，把15 个小朋友放入 12 个抽屉中，

20、至少有一个抽屉里有两个小朋友，因此至少有2 个小朋友是才同一个月出生。练21、 买书的类型中买一本的有4 种， 买二本的有6 种， 买三本的有4 种， 买 4 本的有一种，共有4+6+4+1= 15种情况。把种15种情况看出15个抽屉，要保证有两位同学买到相同的书， 至少要去 16 位学生。2、从三周图书种任意借2 本，只有 6 种情况。要保证有两个所借的图书属于同一种，至 少要 7 个学生。3、玻璃珠子的颜色有三种，要保证有2 个同色，最少应取出 4 只珠子。练31、思路同例3，最少要摸出11 只手套才能保证有4 付同色的。2、把三种颜色看作3 个抽屉，要保证有一双同色的就要摸出 4 只袜子，这时拿出 1 双同色的后， 3 个抽屉中还剩 2 只袜子。以后，只要再摸出 2 只袜子就可保证有一双同色的。因此，要保证有3双同色的，最少要摸4+2+2= 8只袜子。3、袋中有三种袜子时。每次从袋中拿出一只袜子，有可能拿出8 只都是同一颜色。在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子，最少要取3只。因此，最少要拿出