导数法证明正整数不等式

1、导数法证实正整数不等式利用构造函数的,通过研究函数的单调性和极值最值等得到实数在某个区间上的不等 式,通过对实数赋值使之与正整数产生联系,进而证实正整数的不等式是不等式证实中的一个重要方面.这类问题有如下几个根本类型.1.单变量的正整数不等式.【典例1】设函数f(x)=x即当b 时,函数f(x)在定义域1,上单调递增. (II )分以下几种情形讨论：+b ln( x+1),其中bw.(I )当b>2时,判断函数f(x)在定义域上的单调性；2(n)求函数f( x)的极值点；(m)证实对任意的正整数n,不等式(I)函数 f (x)x2 bln(x,11ln( ( 1)空1)的定义域为1.、-

2、3 )都成乂 . n1,.f'(x)2x2x2 2x bx 1令 g(x)2x2 2x那么g(x)在1,上递减,g (x)ming(,1当b 1时,22g(x) 2xg( x)min2x b1, c一b 0, 2, 0在 1,上恒成立.f (x)0,(1)由(I)知当b1-,3时函数f(x)无极值点.(2)f'(x)1.22(x -)2 ,xx 11,时,(x)0,(3)x1此时1 2,1时,20时,1,时,函数1一时,2x1f (x)在f (x)f (x)在解 f (x)421,0,1,上无极值点.0得两个不同解为1'12b/21,x21,12b2 ' x2.

3、12b 彳丁 1,1.'12b2上有唯一的极小值点x21 .12b2.1 一,b 一时,x1,x21,2f (x)在 1,Xi , X2,者B 大于 0 , f (x)在(Xi,X2)上小于 0 ,X2此时f (x)有一个极大值点X11.1 2b2和一个极小值点X2综上可知,b 0时,f(X)在 1,上有唯一的极小值点 x21 .1 2b 21 1 2b2,一 1 -0 b 一时,f(x)有一个极大值点x1 21 .1 2b2 ,1b 一时,函数f (x)在 1,上无极值点.2(III )只要证实了对 x (0,1,实数的不等式1 .1 2b2和一个极小值点23 一 ln(1 x) x

4、 x即可,构造函数一23f(x) ln(x 1) x x,而且f(0) 0 ,因此我们只要证实这个函数在区间(0,1单调递增即可证实需要的不等式.当 b1 时,f(x)x2n(n 1)ln(x 1).令 h(x)x3f (x)x3x2 ln( x1),那么h1(x)3,(X步在0, 上恒正,x 1h(x)在0,上单调递增,当x 0,时,恒有h(x) h(0) 0.即当 x 0, 时,有 x3 x2 ln(x 1) 0, ln(x 1) x2 x3,1111对任意正整数n,取x 1得ln('1)2 T n n n n【点评】使用导数方法证实正整数的不等式,首先要根据不等式的特点构造在一个

5、实数区间上的函数,这个区间要包含所要证实的不等式中离散的变量的所有取值.2【典例2】对任意正整数证实不等式0.1n n(n 1) 2 n n【分析】这个不等式中的一个根本量是n(n 1),为了更加简化问题,我们把不等式进1 n(n 1)f(x) ln X2 x一步变形为ln n(n 1)20 ,这样我们可以构造函数2 .1n(n 1),2我们只要证实函数即 f(x) 2ln x ,而且 Jn(n 1 1 , f(1) 0 ,x,2._1 x2 .,一一 f(x) 2ln x 在(1,)内单调递减即可到达解决问题的目的.x【证实】构造函数f(x)2ln x 必,x 1,),21那么 f '

6、;(x) 2 -12 1X X调递减,所以f(x) f (1)一 .22x 1 x2x0,所以lnx2(x 1)22X1 X20 ,故函数f (x)在区间1,)内单人 n(n 1),入0,令x V 2即证实了所要的不等式.【点评】此题中的不等式含有一个根本量,便于构造函数,构造函数时要尽可能使得函数简单、通过换元的方法就简化了这个不等式,这样函数的导数容易求出.此题中证实的不1-)在1, x尸 2 1 x1等式 lnx 0 ln x (xx22.叠加法证实正整数的一元不等式21.(本小题总分值14分)函数f (x)axbc(a 0)的图象在点(1, f(1)处的 x切线方程为y x 1.(I

7、)用a表不出b, c;(II )假设 f (x)In x在 1,上恒成立,求a的取值范围;(III )证实：1ln( n(n1)1).解：(I)f'(x),那么有f(1)f'(1)a b 1,0,解得a 1,1 2a.(II )由(I)知,f(x)ax1 2a.令 g(x)f(x)In xaxxa 1T x2a ln x, x1,那么 g(1)0, g'(x) a_ 2ax x (a 1)a(x2 xa 1.1 a、 1)(x ) a2 xg(1) Q即 f (x)lnx,故f(x) Inx在1,上不恒成立.1 a 1,那么g (x) 0, g(x)是减函数,所以g(x

8、) a11 a da 一时,1.2 a0,假设x 1,那么g'(x) 0,g(x)是增函数,所以g(x) g(1)即 f(x) In x,故当 x 1 时,f(x) In x.一,一一 1综上所述,所求a的取值范围为 一2(II )分析】这种不等式不等式靠构造单一的函数解决,必需通过构造函数得到不等式后,通过叠加的方法解决.1 一,解法一：由(II )知：当a 时,有f(x) ln x(x 1)2且当1 ,2,有 f(x)x 1 时,1(x2U,有 ln k3(x1) x1k1)ln x(x 1). xln x.rr11即 ln(k 1) ln k (2 k),k将上述n个不等式依次相

9、加得ln(n1) 2(2-) n整理得ln(n解法二：用数学归纳法证实(1)当n=1时,左边=1,右边k 11-(1-)(1k 12k1,2,3,n.,2(n 1)1)2(n 1)1,不等式成立.(2)假设n=k时,不等式成立,就是、ln(k 1)2(k 1)那么11 _±_k k 1ln(k 1)2(k 1)由(II)知：当1 ,2,有 f(x)1 万时,有 f (x) ln x(x11(x ) ln x(x 1).2x1).得:ln(kln(k1)122(k 1)1 kln(k这就是说,当根据(1)和2)2(kln(k 2)2) k 12(k 2)n=k+1时,不等式也成立.(2

10、),可知不等式对任何 n一* 一N都成立.【点评】通过叠加不等式是证实该类不等式的重要技巧, 般项进行放缩的方法,此题的技巧是极高的.2._ 2_2ln 2 ln 32_22232III2_ 2ln n 2n n 12_n22(n 1)(n N, n【分析】变通不等式 x ln(1 x)为lnx x 1对xln(k 1)2(k 1)2) ln(k 1).这里使用的是对不等式中的一2).0成立.那么ln n22-n,ln2222n2 1nln32(n 1)321(22132(n 1)11 (- n2ln nn(1n 1122).)(1(n 1)磊)51(2-(113"4) n1n(n

11、1)-2,)2n n 12(n 1),结论成立.评】1.利用函数的单调性证实下面不等式,并通过函数图象直观检验(1) sinx x, x (0, ) ; (2) x x2(3) ex1x, x0 ; (4) ln x x0 ；xe ,x 0.其中(3)、(4)是高考中在函数导数解做题、数列解做题中不等式的一个根源所在.不等式ex 1 x在x 1时等价于x ln(1 x).3.正整数的二元不等式 【典例4】证实：当1 【分析】要证：(1 1mm)nn 0时,(1 m)n (1 n)m.(1n)m 只需证 n ln(1 m) mln(1n),只需证:ln(1 m)mln(1 n)n设 g(x)ln

12、(1 x)-,(x 0), x(1 x)ln(1 x)在(0,那么g/(x)单调递减.x- ln(1 x)1 x2xx ln(1 x)2°x (1 x)x (1 x)ln(1 x) 0,即g(x)是减函数,而 g(m) g(n),故原不等式成立.4.非正整数的二元不等式m n1 .设m, n R,且m n ,求证：2显然要证实的不等式中含有一个根本的ln m ln n【分析】构造函数,使用函数的性质进行证实.量m,以这个量为自变量把不等式转化为只含有一个变量的不等式,再构造函数.由于交 n换m, n不影响不等式的结构,故可以设 m n.m 1原不等式等价于不等式n一mlnn1-,即

13、lnm n2(m 1) nm-n.,即 ln mn一 1 n设 h(x) lnx 2(x 1),可以证实这个函数在x 1(1,)上是单调增函数,又m 1 nm .一1 , n所以h(m) nh(1) 0,所以 ln m n2(m 1)nm 10成立,所以 m nln m ln nn2.函数f (x) (bx c)ln x在1,x 一处取得极值,且在 x 1处的切线的斜率为1. e(I)求b,c的值及f(x)的单调减区间;(n)设 p>0, q>0, g(x) f (x) x2,求证：5g(3p 2q)3g( p) 2g(q).5一-121.解：(I) f (x) bln x (bx

14、 c)-x.1、一 . .1 bf (-) 0, 1- bln - (- c) e 0,即 b b e c 0, c 0 3分ee ef (x) b In x b ,又 f (1) 1,.二 bln1 b 1 , b 1综上可知b 1,c 04 分f (x) xln x ,定义域为 x>0, f (x) In x 1,r1 1由f(x)0得Ovxv1,f(x)的单调减区间为(0,)ee(n)先证 5f (3p 2q) 3f (p) 2f (q) 5即证 5 3P $ 2q ln 3P $ 2q 3p ln p 2qln q7 分2t 5t一 ln33 2t即证：3pln 3P 2q 2q

15、ln5q5p3p 2q人 q一 . 3 2t令 h(t)ln" ZLln盘533 2t令t , , - p >0, q >0 ,.二 t >0,即证 ln -一 3 2t 22t那么 h(t) ln -t ln(5t) ln(3 2t)5335222t522t2213 2t h (t) ln(5t) ln(32t) - - ln3 2t 5 33 5t 33 3 2t 3 5t .一,3 2t 当 3 2t >5t,即 0v tv 1 时,ln>0,即 h(t)>05th(t)在(0, 1)上递增,h(t)vh(1)=0,一 .一一 一 .3 2t

16、 一 .当 3 2t5t,即 t>1 时,ln =<0,即 h (t) <05th(t)在(1, +8)上递减,h(t)vh(1) = 0, 当 3 2t = 5t,即 t = 1 时,h(t) = h(1) = 0综合知h(t) 0即ln 32 红ln - 533 2t即 5f(3p产)3f(p) 2f(q) 5又 5()2 (3p2 2q2)0555 (3)2 3p2 2q25综上可得 5g(3p 2q) 3g(p) 2g(q)522、(此题总分值12分)函数f(x)1 ln x(I )假设函数在区间(a,a -1)2(其中a 0)上存在极值,求实数 a的取值范围;(n)

17、如果当x 1时,不等式f(x)n(in)求证 ln kk 1ln(k 1)上恒成立,求实数x 1n 1*(n N )n 1k的取值范围;解：(I )由于f (x)当 0 x 1 时,f (x)1 ln xx0 ;当x1时,所以f(x)在(0, 1)上单调递增；在所以函数f (x)在x 1处取得极大值.由于函数f(x)在区间(a,a 1)(其中(1,)上单调递减,0)上存在极值,a所以aa 1.(n)不等式f (x),即为(x 1)(1lnx)k,记 g(x)(x 1)(1 In x)所以g (x)(x 1)(1 In x) x (x 1)(1 In x)ln x-2 x1令 h(x) x ln

18、 x,那么 h (x) 1 - xh(x) 0.h(x)在1,故 g(x)在1,)上单调递增,)上也单调递增,h(x)ming(x)mih(1) 1m g(1)(m)由(n)知:f(x) x-恒成立,即lnx10,2 , x 1从而g (x)所以k 2令 x n(n 1),那么lnn(n 1) 1 2 n(nln(3 4) 123-4,ln n(n 1) 1所以1)n(n 1)ln(12)叠加得:nlnk 1k ln(k 1) n12(1 滔)2, ln(23)3.(对数函数+一次函数型)(本小题总分值14分)设函数f (x)=ln xpx1(l)求函数f(x)的极值点;(n)当p>0时,假设对任意的x>