傅里叶级数课程及习题讲解

1、由于sinnx1 sin nxdx1 cosnx dx 0sin mx, sin nx.cosmx, cosnxsin mx, cosnxsin mx sin nxd xm n cosmx cos nxd x0 m n .sin mx cosnxd x 0；第15章傅里叶级数§ 15.1 里叶级数一 根本内容一、傅里叶级数f (x)anxn在哥级数讨论中n 1,可视为f(x)经函数系1, X, x2, L , xn, L线性表出而得.不妨称1,x,x2, 0 m nUn(x),Um(x)如果0 m n ,那么称函数系un(x):x a, b, n 12L为正交系.,xn,L )为基,

2、那么不同的基就有不同的级数.今用三角函数 系作为基,就得到 傅里叶级数.1三角函数系函数列 1,cosx, S'nx, cos2x, sin2x, L , cosnx, sinnx, L 称为三角函数系.其有下 面两个重要性质.(1)周期性每一个函数都是以2为周期的周期函数；(2)正交性 任意两个不同函数的积在 ,上的积分等于零,任意一个函数的平方在上的积分不等于零.对于一个在,可积的函数系un(x): x a,b,n 1,2,L,定义两个函数的内积u Un(x),Um(x).Un(x) Um( x)d x为' 'a ,1, 112dx 2所以三角函数系在上具有正交性,

3、故称为正交系.利用三角函数系构成的级数an cosnx bn sin nx称为三角级数,其中a0,a1,b1,L ,an,bn,L为常数2以2为周期的傅里叶级数定义1设函数f(x)在,上可积,3k1.1:f (x),coskx -f(x)C0Skxdx k 0,1,2,L ；bk1一f (x),sin kx1 f (x)sin kxd x k 1,2,L ,称为函数f (x)的傅里叶系数,而三角级数一an cosnx bn sin nx2 n 1称为f(x)的傅里叶级数,记作ao-an cosnx bn sin nxf (x)2 n 1.这里之所以不用等号,是由于函数f(x)按定义1所得系数而

4、获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于f(x).二、傅里叶级数收敛定理定理1假设以2为周期的函数f(x)在,上按段光滑,那么3oan cosnx bn sin nxf(x 0) f (x 0)其中an,bn为f(x)的傅里叶系数.定义2如果f (x) Ca,b,那么称f(x)在a, b上光滑.假设a,b),f (x 0), f (x 0)存在;x (a,b, f (x 0), f (x 0)存在,且至多存在有限个点的左、右极限不相等,那么称f(x)在a,b上按段光滑.几何解释如图.按段光滑函数图象是由有限条 光滑曲线段组成,它至多有有限个 第一类间断点与角点.推论如果f(x)是以2 为周期的连像向

5、数,且在一" 上按段光滑,那么 x R,f (x) 一an cosnx bnsin nx有2 n 1定义3设f(x)在(,上有定义,函数?(x)f(x)f(x 2k )x (,x (2k,2k, k 1, 2,L称f (x)为的周期延拓.习题解答1在指定区间内把以下函数展开为傅里叶级数(I) f(x) x, (i) x , (ii) 0x2其按段光滑,故可展开为傅里叶级数.由系数公式得1一、,1, ca0 f (x)d x xdx 0xcosnxdx nxd(sin nx)1 an当n 1时,bnxsinnxdxxsin nx|xd(cosnx)sin nxdx 01,1n 1 2x

6、cosnx|cosnxdx ( 1)nnn所以f(x) 2 ( n 1n 1 sinnxn , x (ii)、)为所求.f(x)=x, x (0,2 )作周期延拓的图象如下.其按段光滑,故可展开为傅里叶级数.由系数公式得1212a0 一 ° f (x)d x 一 0 xdx 2当n 1时,an12 1一 xcosnxdx0xd(sin nx)sin nxdxbn2° xd(cosnx)所以1xcosnx nf(x)2|0sin nxcosnxdx G n ,°,2为所求.f (x) =(i)<<x<为(2)由系数公式得(ii) ° &l

7、t; x< 2n.a°,1f(x)d x 一1时,x2cosnxdx n2x d(sin nx)bn所以12x nsin nx|2xsin nxdx22 nxd(cos nx)xcosnx|x2sin nxd x2 cosnx|xd(sin nx)-2-xsinnx| nf(x)cosnxdx (x2 d(cosnx)xcosnxdxsin nxdx °1n sin nxI) 2n , X (1)nAn ,为所求.n解:1其按段光滑,故可展开为傅里叶级数.由系数公式得f (x)d x当n 1时,x2 eosnxdx2 ,x d(sin nx)12 .,212c. .x

8、 sin nx| 2xsin nxd xn0 n 022 nxd(eosnx)2xeosnx| o4 eosnxd x n ,sin nxdxx2 d(eos nx)1x n2eosnx | 0xeosnxdxxd(sin nx)2xsin nx |.2sin nxd x0所以f(x)eosnxsin nxx °,2 为所求.f(x)axbx(ab,a0,b 0)其按段光滑,故可展开为傅里叶飒.(作周期延拓的图象如下.1 f(x)d x 一01axd x 一0bxdx(b a)2函数f(x) , X由系数公式得1时,ax2 eosnxdx0 bxeosnxdx1n a b 1)- n

9、bnaxsin nxd xbxsin nxdxf(x) 所以(b a) 2(b a)i(2n(ab) ( 1)nn 11)2cos(2n1)x1 sin nxn为所求.2设f是以2为周期的可积函数,证实对任何实数c ,有1 c 21an f (x)cos nxdx f (x)cos nxdx,n 0,1,2,L c ,1 c 21bn c f (x)sin nxd x f (x)sin nxdx,n 1,2,L证：由于f(x), sin nx , cosnx都是以2为周期的可积函数,所以令11一c f (x)cosnxdx c 2 f (t 2 )cosn(t 2 )d(t 2 )1c+21c

10、+2f (t)cosntdtf (x)cosnxdx1 c 2anf (x)cosnxdx从而 c 一1 c 21an c f (x)cosnxdx c f (x)cosnxdx11c+2f (x)cosnxdxf (x)cosnxdx1 f (x)cos nxdx同理可得1 c 21f (x)sin nxdxbn c f (x)sin nxd x 一f(x)0 x3 把函数4展开成傅里叶级数,并由它推出1(2)36111113117111131171 y1>132.O23 x?0O作周期延拓的图象如下.解：函数f (x) , x (其按段光滑,故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得301

11、f(x)d x01dx dx40 41时,bn1f(x)故cosnxdx 4sin nxd x 41y1 sin(2n m2n 1cosnxdx 00 4 sin nxd x0 41)x,2k2k,0) U (0,)为所求.(2)121211115-1 L21,113117x(3)取招所以632111113-1 L 174设函数111317f(x)满足条件f(xf(x),问此函数在内的傅里叶级数具有什么特性.解：由于f(x)满足条件所以 f(x 2 ) f (xf (xf(x),f(x),即f(x)是以2为周期的函数.于是由系数公式得a.1 f(x)d x 一f(x)d x10 f(x)dx0

12、 f(x)dxf(t2 )dt1一 0 f(x)dx1,1,0 f(t)dt 0 f(x)dx °当n 1时,1° 一、.1 一、 ,an 一 f (x)cos nxdx 一.f (x)cos nxd x1o f (t )cos(nx、,1 一、 ,)d x 一 0 f (x)cosnxdx1 ( 1)n 1一、 ,0 f (x)cosnxdx2 一、,一 0 f (x)cosnxdxn 2k 1n 2k.1° 1bn - f (x)sin nxdx - o f (x)sin nxdx一 ° f (x)sln nxdx n 2k 1°n 2k内

13、的傅里叶级数的特性是故当f(x) f(x)时,函数f(x)在b2k°.5设函数f(x)满足条件：f(x ) f(x),问此函数在,内的傅里叶级数具有什么特性.解：由于f(x)满足条件f(x ) f(x),所以f(x 2 ) f(x ) f(x),即f(x)是以2为周期的函数.于是由系数公式得1,1° ,1,a°f (x)d x f (x)d x 一.f (x)d x11一0 f(t )dt 0 f (x)d x1,1,-° f (t 2 )dt 0 f(x)dx1 12o f (t )d t o f (x)d x o f (x)d x当n 1时,1

14、76;1an - f (x)cosnxdx - o f (x)cosnxd x1一 0 f (t)cos(nx n)d x1一 0 f (x)cosnxdx1 ( 1)n° f (x)cosnxd xf (x)cosnxdxn 2k2k 1bnf (x)sin nxdxf (x)sin nxdx故当f(xb2k10o f (x)sin nxdxf (x)时,函数6试证函数系他们合起来的却不是2k2k 1f(x)在内的傅里叶级数的特性是a2k 10 ,cosnx, n 0,1,2,L和sinnx n 1,2,L都是°,上的正交函数系,但0,上的正交函数系.证：就函数系11 c

15、osx, cos2x, L , cosnx, L,1,1 dx由于 n,.0,cosnx,cos nx)° cos2 nxdx° (cos2 nx1)d x 一2 ,1,cosnx. cosnxd x 0又''0;m, n, m n 时,cosmx,cosnx. o cosmxcosnxdx11-0 cos(m n)xdx -所以1, cosx, cos2x, L ,0 cos(m n)xdx就函数系sin x,sin 2x, Lcosnx, L 在0, ,sin nx, L 上是正交系.sin nx,sin nx2sin nxd x01-0 (1 cos2

16、nx)d x n时,sin mx,sin nxsin mxsin nxd x01-0 cos(m实因:1,sinx ° sin xdx 1 07求以下函数的傅里叶级数展开式f(x) f (x) 解：x,0x作周期延拓的图象如下.x4其按段光滑,故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得302y y32a.f (x)d xxdx21时,1 20xcosnxd x2xd(sin nx)x2n2sin nx|o12n2sin nxdx 00bnx-d(cosnx)x0sin nxd x2所以(2)解:2nf(x)x一 cosnx|f(x)sinnx2ncosnxdx°,2为所求.n,f

17、(x)故可展开为傅里叶级数.1 cosx,其按段光滑,f(x).1 cosx2sin2x2sin-2由于所以由系数公式得f(x)d x1 a0sin xdx2sin -d x02当n 1时,an,2.x .sin-cosnxdx222.x .sin cosnx dx 22. xsin -cosnxd x024/2(4n2 1)xsin -sin nxdx2,2 x sin-sin nxdx 02f (x) 所以2 2 4.2_14n2-cosnx 1f(x)故时,2 2f( 0)24.2f (x) ax2bx解:(i)由系数公式得f(0)f(),a.f (x)d/ 2(axbx1时,/ 2(a

18、xbx2(axbn(ii)aO4a-2n2(ax(ax22f (x) ax1n 1 4n2c, (i) 0c)d x一 cosnx 18 2a3c)cos nxd x2bx c)sin nx| obxbxbx由系数公式得1,f(x)d x当n 1时,(ii)2b2c(2axc)sin nxdx2c)cos nx 104 2a31(ax2b)sin nxdx20 (2ax4acosnxn 1 nbx c)d xb)cos nxdx4 a 2b .sin nx, x (0,2 n2-2c)为所求.an1/2一 (ax bx c)cos nx d x (ax2 bx nc)sin nx|(2ax b

19、)sin nxdx(1)4a2门,bn/ 2(axbxc)sin nxd x(ax2bxc)cos nx |(2ax b)cos nxdx(1)nf(x)(4)解：a0an所以bn1 2b2axbx2 2a3(1)n4an 2b.,2 cosnx ( 1) sin nx, x ()为所求.f (x) ch x, 由系数公式得1,f(x)d x1时,- ch xcosnxdxch xsin nx|1sh xd(cosnx) nshxcosnx|(1)n 2sh万nch xdx -shsh xsin nxdxan1)n2sh(n2 1)chxsin nxdxchxcosnx|ch xcosnxd

20、xchxd(cosnx)shxcosnxdxshxd(sin nx)shxsin nx|-1nchxsinnxdxshxsin nx|chxsinnxdx所以bn0,f(x)故chx2sh1)n -2 cos nxn 1,)为所求.解：f (x) sh x,由系数公式得a0f(x)d xsh xdx 0所以1an 1时,shxcosnxdx 0bnshxsin nxdx shxd(cosnx)1shxcosnxchxcosnxd x1)n1)n1)nf(x)故2sh nZsh n2sh nshx8求函数chxd(sin nx)3 ch xsinnx| n1 bn n1 2nshxf(x)足 f

21、(x)解：由shxsin nxdx(n21)2nsh2sin nx(n2 1),)为所求.一(3x2 6x212ax2 bx c /2)的傅里叶级数展开式并应用它推出4acosnx n4 a 2b . sin nx, nx (0,212f(x) -(3x6 x121-cosnxn 1 n2y(0,2 )1 cosnx n 1 n而 f(0 0) f(20)故由收敛定理得f (0 0) f (20)21-cos01 n设f(x)为上光滑函数,f()f().且为,bn为f(x)的傅里叶系数,an ,bn为 f(x)f (x)傅里叶系0,an nbn, bnna (n 1,2,L ).证：由于f(x

22、)为 由系数公式得1上光滑函数,所以(x)为上的连续函数,故可积.aof (x)d x1-f( ) f()当n 1时,1 bn1an .f (x)cos nxdx1 一、,一 f(x)cos nx|f (x)sin nxdx1 , f (x)sinnx|故结论成立.aof(x)sin nxdxf(x)cos nxd xnbnnan10 证实：sup n3an , n3bn n(an cosnx bn sin nx)中的系数an,bn满足关系M为常数,那么上述三角级数收敛,且其和函数具有连续的导函数.U0(x)证：设aoUn(x) an cosnx bn sin nx , n 1,2,L .0,

23、 Un(x)在R上连续,且U0(x)0Un(x)R Un(x)nan sin nx nbn cosnx 亦在 R上连续. n ansin nx n bn cosnxn an n bn2M-2 n .2M2n收敛,所以Un(X)nbn cos nx nan sin nx在R上一致收敛.s(x)故设(an cosnx1bn sin nx),那么s (x)( nan cosnx nbn sin nx)un (x)n 1n 1s(x)且nan cosnxnbn sin nx)在R上连续.§ 15. 2以21为周期的函数的展开根本内容一、以21为周期的函数的傅里叶级数It x 一设f(x)是以

24、2I为周期的函数,作替换,那么F(t)f "是以2为周期的函数,且f (x)在(l, l)上可积F(t)在(,)上可积.ancosnt bn sin ntn 1其中F (t)cosntdt, bnF (t)sin ntdt从而其中F(t)Itf(x)n xsin nt sin,cosntln x coslf(x): a0an cosn xT-n xbn sinlann x f (x)cos j dx,bnln x f (x)sin dx上式就是以2l为周期的函数f(x)的傅里叶系数.在按段光滑的条件下,亦有f(x 0) f(x 0) a022n xancos 丁n 1lbn sin其

25、只含余弦项,故称为 余弦级数.同理,设f(x)是以2l为周期的奇函数,那么f (x)cosnx 奇,f(x)sin nx 偶an1n x f (x)cos d x12ii要展开为余弦级数必须作偶延拓.n xn x日饮x)% f(x) x (°,因 2 ,所以由系数公式得) 偶延拓f( x) x ( l,0),函数f(x),x (°,1)要展开为正弦级数必须作奇延拓.奇延拓f(x) x (0,1)f( x) x ( 1,0)习题解答1求以下周期函数的傅里叶级数展开式f(x) cosx (周期);解:由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又 f(x)是偶函数,故其展开式

26、为余弦a.2 cosx dx24 2cosxdx 40当n 1时,0cosx cos2nxdx 4 cosxcos2nxdx02cos(2n 1)x cos(2n1)xd x)为所求.(2) f(x) x x(周期 1);1 1由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数.1 1sin(2n 1)x| 2 sin(2n 1)x| 2(2n 1)0(2n 1)0(1)n 2( 1)n 1 2/ 1、n1 4( )(2n 1)(2n 1)(4n2 1)2bn一 cosx sin nxd x 02f (x) cosx ( 1)n 11cos2 nx故n1 4n 1,x (l因 2,所以由系数公式得1

27、11a0 2 21 x x dx 2 x x dx 2 xdx 12当n 1时,an12 2 X2 1 x2x cos2n xdx12 0 x x cos2n xdxbn12 xcos2n0-xsin2n nxdx1 x|.10 xd(sin2n x)1sin2n xdx 0012 21 x x sin 2n xdx212 xsin2n xd x0xd(cos2n x)n 01,11xcos2n x|n10n1cos2n xdx0111f (x) x x 一 一 -sin 2n x故2 n 1 n, x ()为所求. f(x) s1n4x(周期)；4解：函数f(x) sin x2 2延拓后的函

28、数如以下图.由于yfx按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又fx是偶函数,故其展开式为余弦2 ,所以由系数公式得a0244sin xdx 一22 - 4412sin xd x - * 2 - 002cos2x dx21 八-cos2x21cos4x 81时,an1 c cos2x2-cos4x 8cos2nxd x1,ncosx sin nxd x 0_4f (x) sin x1 -cos2x 21一 cos4x /8, x (为所求.(4)解:f (x) sgn(cosx)(周期 函数 f(x) sgn(cosx),.,延拓后的函数如以下图.由于a., an1时,0 sgn(cosx)cosn

29、xdx02cosnxdx2 _cosnxdx24sinnn 2kbnf(x)k 4(1) n(2 k 1)sgn(cosx)sin nxdx 0sgn(cosx)求函数2k1)ncos(2n2n 11)x),f(x)23的傅里叶级数并讨论其收敛性.解：函数f(x),x (0,3)延拓后的函数如以下图.f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又由于f(x)是偶函数,故其展开式为余弦32,所以由系数公式得a.2 3-0 f(x)d x 31时,1xdx02dx132©x)d x1 2nxcos一x一 dx2cos12n xI332©x)cos2nx-dx1xd0.2n x s

30、in一1 .sin n2n1 . 2n一sin -n 30sin32(3 x)d2n x sin31 4nx 一sin -1 .一sin n4n332- cos2n2 23 n1 . 2n 一sin -n 312n x3c 222n2n cos一33c 222n32n2 2cos2n3-(3 n32n2 2-2n x x)sin33sin-x1 4nsin -2n x-cos2n34n cos-3bnf (x)2n2 cos3 n2 2f (x)sin nxdx12 n1cos n2n2n x cos3 , x ()为所求.f (x) 将函数23由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,x

31、在0,上展开成余弦级数.又 f(x)是偶函数,故其展开式为余弦由系数公式得a0anbn1时,dx x 2cosnxdx2n 242 n0sin nxsin nxdx02 cos nx nf(x) af (x) 将函数2k2k1 2 cos(2n 1)x, n 1(2n 1)2x 0,cosx解:2在0,上展开成正弦级数.故其展开式为正弦由系数公式得an °,n0,1,2,L由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又 f(x)是奇函数,x .cos-sin nxdx2sinsinx dxcos1x22cos12r28n(4n2 1)f(x)故在0,上x cos-2n2sin nx

32、14n 1 为所求.f(x)5把函数由于在(0, 4)上展开成余弦级数.解:f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又f(x)是偶函数,故其展开式为余弦,所以由系数公式得a.40 f(x)d20(1x)d x42(x3)d x1时,an40 f (x)cosn x dx42一(1 nx)sin2sin012n420(1x-d xx)cos42(xn x3)cosd x42(x nn3)sin 4 n x sind x24n x cos4n x cos4f (x) 所以6把函数4kn2cosf(x)1)n162 n4k2 cos1(2n 1)2(2n1) x2为所求.在(0, 1)上展开成余弦

33、级数,并推出c ,11.6 12 W L2232解:函数f(x),x (°,1)延拓为以2为周期的函数如以下图.由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又f(x)是偶函数,故其展开式为余弦4 ,所以由系数公式得12 0 f(x)d x122 0(x 1)2dxan1时,n10(x1)2 cosnxdx10 (x 1)sin n xdx1cosn xdx022(x 1)2sinn n2(x 1)cos n nbn(x所以1)21 2-cosnx,x 0,17求以下函数的傅里叶级数展开式 f(x)arcsin(sin x).解：函数f(x) arcsin(sinx)是以2为周期的函

34、数如以下图.由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又f(x)是奇函数,故其展开式为正弦由系数公式得0, n 0,1,2,L2 bh-0 arcsin(sinx)sin nxdx2 xsinnxdx02( x)sin nxdx22xcosnx n02 cosnxdx02 cos nxdx4n2kn sin 一所以(2)由于(1)kf(x)x)cos nx2 cosnxdx, n i22k 1.,. 、4arcsin(sin x)一(1)nsin(2n1 (2n 1)21)x,x Rnf(x)arcsin(cosx)解:f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又f(x)是偶函数,故其展开

35、式为余弦由系数公式得2a0arcsin(cosx)d x 00 ,当n 1时,0 arcsin(cosx)cos nxdx - 0 - x cosnxd x2sin nx n2 sin nxd xn 00n 2k-4- n 2k 1n.bn 0, n 1,2,L.,、 41f (x) arcsin(cosx) -5 cos(2n 1)x所以n 1(2n 1), X R .0,-8试问如何把定义在 22 02 f (x)cosnxd x - _ f (x)cos nxdx2上的可积函数f(x)延拓到区间 ,内,使他们的傅里叶级数为如下的形式a2 n 1cos(2n 1)xb2nlsin(2n 1

36、)x(1) n 1;(2) n 1解：(1)先把f(x)延拓到0,上,方法如下：f (x)0 x -2f(x)2f( x) - x 2再把f(x)延拓到0,2 上,方法如下：?(x) f(x) 0 x由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又f(2 x) x 2f(x)是偶函数,故其展开式为余弦由系数公式得2a0- 0 f (x)d x 01 2bn - f (x)sin nxdx 0当n 1时,02an 0 f (x)cos nxd xo2 f (x)cos nxcos(nnx)d x402 , 02 f (x)sin nx sin(n f (x)cos nxdx n 2k 1n 2k

37、f (x)a2n 1cos(2n 1)x x 0,所以n12(2)先把f(x)延拓到0,上,方法如下.f(x)f(x)f( x)再把f (x)延拓到0,2上,方法如下.f(x)?(x)由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又0 xf(x)是偶函数,故其展开式为余弦由系数公式得a0- o f (x)d xo f (x)sin nxdx1 a -当n 1时,2-20 f (x)cosnxdx 0f (x)sin nxdx2nx)d x22 02 f (x)sin nxd x 一f (x)sin nxd x n2k 12kf (x) 所以b2nlsin(2n 1)xn 1x 0,-2

38、7; 15. 3收敛定理的证实根本内容一、贝塞尔(Besse.不等式定理1设f (x)在,上可积,那么2b； n_ 2f (x)d xa02an2 n 1其中an,bn为"X)的傅里叶系数.推论设f (X)在,上可积,那么推论定理Sn(x)lim n设f (x)在设以2a.f (x)cos nxd xlimnlimn为周期的函数ak coskxlimnf (x)sin nxd x 00 f (x)sin0f (x)sinf(x)在bksin kxxd x 0xdx 0sinf(x 1)一2sin -2此称为f(x)的傅里叶级数的局部和的 积分表达式.二、收敛性定理的证实定理3 (收敛

39、性定理)设以2为周期的函数f (x)在,上按段光滑,那么limnf(x 0)2f(x 0)2定理4如果f(x)在,f(x 0)- Sn(x)0上有有限导数,或有有限的两个单侧导数,那么f(x 0)曳22an cosnx bn sin nx定理5如果f(x)在,按段单调,那么f(x 0) f(x 0)an cosnx bn sin nx习题解答1设f (x)以2 上一致收敛于f(x).为周期且具有二阶连续的导函数,证实f(x)的傅里叶级数在(证：由题目设知f (x)与f (x)是以2为周期的函数,且光滑,a0f (x)-故2(an cosnx bn sin nx)n 1f (x) 一(an co

40、snx bnsin nx)2 n 11,1,ao f(x)dx -f() f()0且an当n 1时,1,、, f (x)cos nxdx1 ,一 f (x)cos nx|f (x)sin nxdx nbnbn-f (x)sin nxdx1,、.,f (x)sin nx|f (x)cos nxd xnananbnan1bl2anbn1 / 2 二(an 2bn2n由贝塞尔不等式得(an2n 11n 1 n收敛,1a0从而2anbn收敛,ao(ancosnxbn sin nx)在()上一致收敛.2设f为 ,上可积函数,证实：假设那么成立贝塞尔(Parseval殍式 12f (x)d x这里an,b

41、n为f的傅里叶系数.a. m.八h eSm an cosnx bn sin nx证：设 2 n 1由于f (x)的傅里叶级数在,上一致收敛于f(x),f的傅里叶级数在上一致收敛于2a.22anbn1所以 0, N °,m N, x , f(x) Sm于是(f(x) Sm,f(x) Sm)2 ,而.f(x) Sm,f(x) Sm： ；f(x),f(x)； 2 ；f(x),Srn：Sm,Sm；C2mC2mf2(x)dx 2 Ta； b2哼a； b：2 n 12 n 12 mf 即 8 n 1 (2n 1)(x)dx 年a2 b22n 1.所以m N时,2 2a2m 2 2f (x)d x an bn2 n 1a02212 /an bn- f (x)d x故 2 n 13由于贝塞尔等式对于在,上满足收敛定理条件的函数也成立.请应用这个结果证实以下各式.2n 1 (2n(2)90f(x)解：1习题3得f(x)sin(2n2n 11)x ,x (,0)U(0,)由贝塞尔等式得22dx161"