与圆的切线有关的计算与证明

1、与圆的切线有关的计算与证实1类型之一与切线的性质有关的计算或证实【经典母题】如图Z12 1,.的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点,假设/ P=30 ,.的半径为1,那么PB的长为 1 .经典母题答图图 Z12- 1【解析】如答图,连结OC.PC为.的切线,PCO= 900在 RtOCM, v OC= 1, /P= 30 .OP= 2O生 2, .PB= OP- OB= 21 = 1.【思想方法】1圆的切线,可得切线垂直于过切点的半径；2圆的切线,常作过切点的半径,得到切线与半径垂直.【中考变形】2021天津AB是.的直径,AT是.的切线,/ABJ 50 , BT交.O 于点C, E

2、是AB上一点,延长CE交.O于点D1如图Z12-2,求/ T和/ CDB勺大小;2如图,当B已BC时,求/ CDO勺大小.图 Z12 2解：(1)如答图,连结AC .AT是.的切线,AB是.的直径,.ATXAB,即/TA回90 ,v Z ABT= 500 , . ./T= 900 / AB40 ,由AB是.的直径,得/ AC氏90 , /CA氏 900 /AB生 400 , ./CD氏 / CA氏 40 ;T.4TA中考变形答图中考变形答图(2)如答图,连结AD在4BCE中,BBC, /EBC= 50 , /BCE /BEC= 650 , . / BA氏 / BC氏 65 ,. OA= OD

3、；/OD每 /OA已 65 ,. /ADC= /ABC50 ,. /CD* /ODA /ADC65 50 = 15 .【中考预测】2021宿迁如图Z12-3, AB与.相切于点B, BC为.O的弦,OCL OA OA 与BC相交于点P.(1)求证：A之AB；(2)假设OB= 4, AB= 3,求线段BP的长.A H用 B图Z12 3中考预测答图解：(1)证实： OG OB . ./OCD /OBCAB是.的切线,OBLAB, /OB库 900 , ./AB巴 /OBC= 90 ,vOCLAO/AO*900 ,/OCBk ZCPO= 900 , . /APB= / CPQ. /AP& /ABP；

4、.AD AB;(2)如答图,作 OK BC于 H 在 RtOAB中,/OB= 4, AB= 3,.OA 32 + 42 = 5, .AP= AB= 3,POO= 2.在 RtzXPOC, P最.OC+ OP = 21-八 1PC- O+ -OC- OP22OP- OC 4 5O+ k=T,C+ yoC- o烂噜,. OHL BC . .C+ BH,BC= 2C+ *5,.BP= BC- PCU咦2乘邛. 55类型之二与切线的判定有关的计算或证实【经典母题】：如图Z12-4, A是.外一点,AO的延长线交.O于点C,点B在圆上,且A五BC, /A=30 ,求证：直线AB是.的切线.AA证实：如答

5、图,连结ob. OB= OC AB= BQ /A= 30 ,. /OB* /C= /A= 300 ,. /AO& /C+ /OB康 60 ./ABO= 180 -( ZAOBb /A) = 180 (60 + 30 )=90 ,AB,OB又OB为.O半径,AB是.O的切线.【思想方法】证实圆的切线常用两种方法“作半径,证垂直或者“作垂直,证半径.【中考变形】1. 2021黄石如图Z12- 5,.的直径为AB,点C在圆周上(异于A,切,AD LCD(1)假设B最3, AB= 5,求AC的值；(2)假设AC是/DAB的平分线,求证：直线 CD.的切线.三图 Z12- 5解：1;AB是.O直径,C在

6、.O上, /AC氏900 ,又二 B堤3, AB= 5, 由勾股定理,得A提4;证实：如答图,连结OC.AC是/ DAB勺平分线,. / DAC= / BAC又ADLDC ./ADC= /AC氏90 , .ADC zACB/DC / CBA 又.OA= oc ./oag /OCA /OAG /OB康 90 ,./OCA/ 直线CD.的切线.三中考义形1答图AC氏 /OCR 90 ,2. 2021 南充如图 Z12-6,在 RtzXACB中,/ AC&900 ,以 AC为直径作.O交AB于点D, E为BC的中点,连结DE并延长交AC的延长线点F.(1)求证：DE是.的切线；假设C曰2, DF=

7、4,求.O直径的长.图Z12 6中考变形2答图【解析】(1)连2OD欲证DE是.的切线,需证ODL DE即需证/ OD匿 90 ,而/ AC氏90 ,连结 CD根据等边对等角可知/ OD匿/OC匿 90 ,从而得证；(2)在RtODF中,利用勾股定理建立关于半径的方程求解.解：(1)证实：如答图,连结 OD CD.AC是.的直径,ADC= 90 . /BDC 900 .又: E为BC的中点,1八八八八.-.DE= 2BC= CE, ./EDC= /ECD OA OC . OD* / OCD /EDO /OD* /ECDb /OCR / AC氏 90 ./ODA900 , DE是.的切线；(2)

8、设.的半径为 x.在 RtzXOD叩,OD+ Dt= OF,即 x2 + 42=(x + 2)2,解得 x=3.二.的直径为 6.【中考预测】如图Z12-7, AB是.O的直径,点 C, D在.O上,/ A= 2/BCD点E在AB 的延长线上,/ AE比/ABC(1)求证：DE与.O相切；假设BF= 2, DF= /,求.的半径.解：1证实：如答图,连结OD AB是.的直径, /AC氏90 ,. /A+ /ABC= 900 ,. /BO在2/BCD /A= 2/BCD / BO也 /A, /AE比 /ABC /BODk /AE比 90 , /ODE900 ,即 ODLDE,DE与.O相切;如答

9、图,连结BD,过点D作DHL BF于点H. DE与.O相切,丁. / ACDb / BC& / OD印 / BD1 90 / AC& / OBD / OB也 / ODB / BDE= / BCD /AE比 /ABC / AFG= /DBF= / AFG= / DFB ACF与 FDBffi是等腰三角形, .FH= B+ ；BF= 1, . . H* dFFH = 3,在 RtODW, OH + DH= OD,即OD- 12+ 32 = OD, O* 5.即.的半径是5.与圆的切线有关的计算与证实(2)1 .如图8, C此.0的切线,切点为A,AB是.0的直径.E,F.0上的点,求证：/ DAE

10、W FDE/A B.(2)假设EF/CD,求证：AAEF等腰三角形CFAOBE2 .如图7 .的半径为1 ,过点A(2, 0)的直线切 .0于点B,交y轴于点C.(1) 求线段AB的长；(2) 求以直线AC为图象的一次函数的解析式.3、在 ABC中,AB=AC内切圆 O与边BC AG AB分别切于 DX E、F.假设/ C=30 , CE =2百,求 AC.(1)求证：BF=CE4.如图 10,在.O中,/ ACB4 BDC=60, AC=23cm ,(1)求/ BAC的度数；(2)求.O的周长5：如图,AB是.O的直径,AD是弦,05直AD于F交.O于E,连结DE BE且/C=Z BED(1

11、)求证：AC是0O的切线；(2)假设 O盒10, AD=16,求 AC的长.6 .如图,MP切.O于点M,直线PO交.O于点A、B,弦AC/MP, 求证：MO / BC.(2补充)连结CM,当四边形BCMO；菱形时,求/ P的度数 或反过来问：当/ P =30时,判断四边形7 .如图,在 ABC中,AB =AC ,以AB为直径的.交BC于点M , MNLAC于点N .OA、NM(1)求证MN是.O的切线；(2)假设/BAC=120, AB =2,求图中阴影局部的面积.8如图, ABCrt接于半圆,AB是直径,过 A作直线 MN假设/ MAC = ABC .(1)求证：渥半圆的切线；(2)设D是弧AC的中点,连结 BD交AC于G 过D作DEL AB于E,交AC于F.求证：FD= FG(2)假设P为AB的中点,PE,AB交AC于点E,求PE的长.9 .如图,半圆的直径 AB=10,点C在半圆上,BC=6. (1)求弦AC的长；10 .：如图, AB为.的直径,AB = AC, BC交.O于点D , AC交.O于点BDEE,2BAC=45.(1)求/EBC的度数；(2)求证：BD =CD .1