第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组a卷)

1、2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每题10分，共80分）1. （10 分）计算：7工-（2.4+12x4） 4-1-1-=.3310 2. （10分）中国北京在2015年7月31日获得了 2022年第24届冬季奥林匹 克运动会的主办权.预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星 期.（今天是2016年3月12日，星期六）3. （10 分）如图中，AB=5 厘米，ZABC=85° , ZBCA=45° , ZDBC=20° , AD=厘米.4. （10分）在9X9的格子纸上，1 X1小方格的顶点叫做格点.如图，三

2、角形ABC的三个顶点都是格点.若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”.那么在这张格子纸上共有 个“好5. （10分）对于任意一个三位数n,用国表示删掉n中为0的数位得到的数.例 如n = 102时回= 12.那么满足国Vn且圆是n的约数的三位数n有 个.6. （10分）共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同 学同时参加的次数不超过1.那么他们最多可以玩 次.7. （10分）如果2X3'能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为.8. （10分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动.大尺上每一个单 位都标有自然数，第一把小尺将大尺上

3、的11个单位等分为10,第二把小 尺将大尺上9个单位等分为10,两把小尺的起点都为0,都分别记为1 至10.现测量A, B两点间距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺 的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3怡好 与大尺上某一单位相合.如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第 二把小尺的第 个单位怡好与大尺上某一单位相合. o I01234567 S 910 11 12 13 14- 15 16 17 18 19 20 21:川|川|川|川|川1|1川|川|1川|川|1川|川1|川|川1|川|川|1川|川|1川|川|川|川|川|川1|1川|川|1川|川|1川|川1|川

4、|川1|川|川|1川|川|1川|丁1"叫.叫L 012AB二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. （10分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额.投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一.最后，乙的得票数为甲的得票数的型，甲胜出.但是，若乙得票数至少增加4票，则可胜甲，21请计算甲乙所得的票数.10. （10分）如图，三角形ABC中，AB = 180厘米，AC=204厘米，D、F是AB上的点，E, G是AC上的点，连结CD, DE, EF, FG,将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米.fl11. （10分）某水池有

5、甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水 池注满；只打开乙，15小时可将空水池往满.现要求7个小时将空水池 注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同 时打开甲乙注水.那么同时打开甲乙的时间是多少小时？12. （10分）将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边 形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿 一条直线剪成两部分，如此下去.在得到的多边形中要有20个五边 形，则最少剪多少次？三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13. （15分）如图，有一张由四个1X1的小方格组成的凸字行纸片和一张5 X6的方格纸

6、，现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小 方格都要与方格纸上的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图 形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）丑I三三三14. （15分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同 的数a, b, c, d使得a+b - c - d能被20整除.则n的最小值是多少？第14贞（共14页）2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷） 参考答案与试题解析 一、填空题（每题10分，共80分）1. （10 分）计算：7工-（2.4+12x4） :1工=2 . 3310 【分析】先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的加法，

7、然后算括号外的除法，最后算括号外的减法.【解答】解：7丫（2.4呜X4）4-1710(2.4+鄂 士=7；坨“工31510= 71-1133故答案为：2.2. （10分）中国北京在2015年7月31日获得了 2022年第24届冬季奥林匹 克运动会的主办权.预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星 期五.（今天是2016年3月12日，星期六）【分析】首先分析2016年的3月12日到2022年的3月13日是星期几，然后再根据3月12向前推理出2月4日即可.【解答】解：依题意可知：平年365天是52个星期多1天.润年是52个星期多2天.2016年3月12到2022年3月12日经过了 5个平年

8、1个闰年，向后推的 天数为1+1+1+1+1+2 = 7 ,恰好为星期六.那么2022年的2月4日到2022年的3月12日.经过24+12 = 36天.第14页（共14页）36-7=5-1.从星期六前推前天.说明2022年的2月4日是星期五.故答案为：五3. （10 分）如图中，AB=5 厘米，ZABC = 85° , NBCA=45° , ZDBC=20° ,AD= 5厘米.【分析】首先根据题意可知NABC=85° , ZBCA=45° .那么根据三角形 内角和为180度可知NA=50° .继续推理即可.【解答】解：依题意可知：ZA

9、BC = 85° , ZBCA=45° .那么 NA=50° .NABD=NABC- NDBC=85° -20° =65°ZADB = 180° - ZA- ZABD = 180° -50 - 65° =65 ;ZADB=ZABD, AAB=AD=5故答案为：54. （10分）在9X9的格子纸上，1 X1小方格的顶点叫做格点.如图，三角 形ABC的三个顶点都是格点.若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC 的面积相等，就称P点为“好点”.那么在这张格子纸上共有 6 个“好【分析】如下图这样，经过A点和B

10、C边的中点画一条直线，交方格图于E点和F点，可以证得D、E、F三点都是好点；过AB点作平行线，与原来的三角形组成平行四边形，得到平行四边形【解答】解：(1) ZBDA与4CDA等底等高，所以面积相等；(2) ZABE与4ACE的面积都等于平行四边形ABCE的一半，所以面积相 等；(3) ZABF的面积= ZiBDF的面积-ZBDA的面积，ZCAF的面积= ZCDF 的面积-ACDA的面积，又因为ABDA与aCDA面积相等，所以aABF的面 积 = CAF的面积；(4) AABI和aACI的面积都等于平行四边形ACBI面积的一半，所以相 等；(5) ZABH的面积是4ABI面积的一半，ACH的面

11、积是ACI的面积的 一半，所以AABH与AACH面积相等；(6) AAGB和AAGC有相同底AG,这条底边上的两个三角形高是相等的， 所以这两个三角形面积相等.故此题的好点一共有6个.第14页(共14页)5. （10分）对于任意一个三位数n,用因表示删掉n中为0的数位得到的数.例如n = 102时回=12.那么满足国Vn且圆是n的约数的三位数n有 93个.【分析】按题意，能满足国Vn且园是n的约数的三位数n,有两种：第一 种，十位为0,第二种，个位为0,然后再计算个数.【解答】解：根据分析，第一种，十位为0的三位数中，能满足国是n的 约数的n只有：105、108、405,三个数删掉0后得：15

12、、18、45分别为105、108、405的约数；第二种，个位为0的三位数共有：9X10 = 90个，删掉0后均能满足是n的约数，故满足题意的三位数n有90个，综上，满足题意的三位数一共有90+3 = 93个.故答案是：93.6. （10分）共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同 学同时参加的次数不超过1.那么他们最多可以玩 9 次.【分析】首先分析可以将同学们进行标好，然后枚举即可.【解答】解：依题意可知：将学生进行编号1 -12.如果是1-4 一组，5-8组，9-12一组下一组就没有符合题意的了，那么要求尽可能多分组.即第一次是1, 2, 3, 4.第二次是1, 5, 6,

13、 7.第三次是2, 5, 8, 9.第四组是3, 6, 8, 10.第14贞（共14页）第五组是4, 5, 8, 11.第六组是3, 5, 9, 10.第七组是4, 6, 9, 11第八组是1, 7, 9, 12第九组是2, 6, 10, 12.故答案为：97. （10分）如果2X3'能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为【分析】设k个连续正整数的首项为n,则末项为n+k-1.则k个连续正 整数的和=（n+n+k- 1）* k4-2 = 2X38,利用质因数分解即可解决问题.【解答】解：设k个连续正整数的首项为n,则末项为n+k-1.则k个连续正整数的和=（n+n+k- 1） k2

14、 = 2X31所以（2n+k-1） k = 22X 30,所以k的最大值为108 = 22X3、此时2n+k-1=35, n = 68,故k的最大值为108.故答案为108.8. （10分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动.大尺上每一个单 位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10,第二把小 尺将大尺上9个单位等分为10,两把小尺的起点都为0,都分别记为1 至10.现测量A, B两点间距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺 的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3怡好 与大尺上某一单位相合.如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第 二把小尺的第7

15、个单位怡好与大尺上某一单位相合. 0 I012345678910 11 12 13 14 15 16 17 IS 19 20 21:川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|叫匕叫叫| 012AB【分析】根据题意可：第一把小尺与大尺的单位比是11： 10,第一把小尺 的单位3,相当于大尺的单位3.3 （根据比例求得）大尺3.3与18.7才能 相加得整数，所以小尺的0对的大尺的单位是18. 7.耶第二把小尺子以0 单位为起点，在1到10之间找的单位对应大尺上的整数，必须是大尺的 18. 7加上几

16、点3,就是说加上的这个数的小数位是3.根据大尺与第二把 小尺的单位比9: 10求得第二把小尺是7时，大尺的单位数才出现点3.【解答】11： 10=? ： 3? =3.3那B点处在单位18与19之间的应是：18.718. 7只有加上一个末位上是3的数（令其为X）才能凑整十数.?是在1 10之间的自然数，所以只有？ =7符合条件.二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. （10分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名 额.投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一.最后，乙的得票数为甲 的得票数的型，甲胜出.但是，若乙得票数至少增加4票，则可胜甲， 21请计算甲

17、乙所得的票数.【分析】乙得票数至少增加4票，则甲必至少减少4票，此时才能使乙胜 甲，可以设一个未知数，列出关系式，求出解.【解答】解：根据分析，设甲得票数为X,则乙的得票数为型X，由题意 21得：型k+4>x-4=Lx</xV168,又x为正整数，且型x也为正整数，x =212121147, x = 126,即：甲得票数是147票，乙的得票数是140票；甲得票数是126票，乙的得票数是120票.故答案是：甲147票，乙140票.或，甲126票，乙120票.10. （10分）如图，三角形ABC中，AB = 180厘米，AC=204厘米，D、F是AB上的点，E, G是AC上的点，连结C

18、D, DE, EF, FG,将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米.【分析】高一定，对应底的比等于面积比，根据五个小三角形面积相等，所以 S.c=4S-bc,所以 AD=4BD=4X （1804-5） =144 （厘米）；同理， 可求AE、AF、AG的长度，进而求出AF+AG的长度即可.【解答】解：在AABC 中，因为 S«oc=4Smbc,所以 AD=4BD=4X （1804-5） = 144 （厘米）;在AADC 中，因为 S&demBSaedc,所以 AE = 3EC=3X （2044-4） =153 （厘米）；在4ADE 中，因为 SAAFe

19、=2Saefd,所以 AF = 2DF=2X （1444-3） =96（厘米）;在4AFE 中，因为 Szwg=Sagfe,所以 AG=GE = 153 + 2=76.5 （厘米）；所以，AF+AG=96+76. 5 = 172.5 （厘米）;第14页（共14页）答：AF+AG为172.5厘米.11. (10分)某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水 池注满；只打开乙，15小时可将空水池往满.现要求7个小时将空水池 注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同 时打开甲乙注水.那么同时打开甲乙的时间是多少小时？【分析】可以先求得甲、乙每小时注的水量，即为工

20、、X,总时间为7 10 15小时，同时开的时候，不难求出时间.【解答】解：根据分析，设水池注满时水的总量为1份，甲、乙每小时注 水的速度分别为1-份/时、L份/时，1015则甲乙同时开的时候总速度为设刚开始只打开甲a小时，接 10 15 6着打开乙b小时，最后同时打开甲乙7-a-b小时，则：(7-a-b) =1,化简得：2a+3b=5,10156又.a21, b21, Aa = 1, b = 1,甲乙同时打开的时间为：7-a-b=7-1 - 1=5 (小时).故答案是：5.12. (10分)将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边 形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将

21、其中一个多边形沿 一条直线剪成两部分，如此下去.在得到的多边形中要有20个五边 形，则最少剪多少次？【分析】按题意，一个多边形可以被分成两部分，其内角和至多增加360。， 剪K次共增加的度数至多为KX360。，所以这(K+1)个多边形的度数和 至多是KX360。+540° ,另一方面，20个五边形的度数和为20X540° , 剩余的(K-19)个多边形的度数和最小是(K- 19) X1800 ,这样得到：(K- 19) X180° +20X540° WKX360° +540° ,求解最后得出结果.【解答】解：根据分析，一个多边形被分成

22、两部分，其内角和至多增加 360° ,剪K次共增加的度数至多为KX360。，所以这(K+1)个多边形的度数和 至多是 KX360° +540° ,另一方面，20个五边形的度数和为20X540° ,剩余的(K- 19)个多边形的度数和最小是(K- 19) X1800 ,这样得到：(K- 19) X1800 +20X540° WKX360° +540° ;整理得：K238,当K = 38时，可以先将五边形切成一个五边形和一个四边形，然后用18 次将四边形分成19个四边形，再用19次将每个四边形切成五边形，这样就用38次将其切成2

23、0个五边 形.综上，则最少剪38次.故答案是：38.三、解答下列各题(每题15分，共30分，要求写出详细过程)13. (15分)如图，有一张由四个1X1的小方格组成的凸字行纸片和一张5X6的方格纸，现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小 方格都要与方格纸上的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图 形？(两图形经旋转后相同看作相同图形)【分析】可以分情况讨论，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头 在方格纸的内部为第二类.【解答】解：根据分析，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图 形可以分为两类：凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头在方格纸的内部为第 二类.对于第一类，凸字形的头不能粘在方格纸的四个角，边框上（不是角）的 小方格共有：2X3+2X4=14 （个）,有 14 个图形，第二类，方格纸内部的每一个小方格可以粘凸字形的头，有头朝上，头朝 下，头朝左，头朝右之分，所以，这类图形有4X （3X4） =48 （个）.由加法原理知，共有14+48=62中图形，由于方格纸的每个小方格都与另 夕I、一个小方格旋转对称，所以总的不同图形