北师版数学七年级下册全等三角形中的常用辅助线学案设计

1、三角形中的常用辅助线典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找 出规律凭经验。全等三角形辅助线找全等三角形的方法：(1)可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；(3)可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：(1)遇到等腰

2、三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”。例1:如图，A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABCfc AC于点D, CE垂直于BR 交BD的延长线于点 E。求证：BD=2CE思路分析：1)题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2)解题思路：要求证BD=2CE可用加倍法，延长短边，又因为有 BD平分/ABC的条件，可以 和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长 BA, CE交于点F,在 ABEF和ABEC中， /1 = /2, BE=BE , /BEF=/BEC=90 ,ABEF ABEC,. EF=

3、EC,从而 CF=2CE。又/ 1 + / F=/ 3+/ F=90° ,故/ 1 = / 3。在 A ABD 和 AACF 中，-/ 1 = /3, AB=AC , / BAD= / CAF=90 ,A ABD 仁 AACF,. BD=CF ,. BD=2CE。解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解 题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空 问；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。(2)若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用

4、的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2:如图，已知 AABC中，AD是/ BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证： AABC是等腰三角形。思路分析：1)题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2)解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件 都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证 AB=AC ,可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。解答过程：证明：延长 AD至ij E ,使DE=AD ,连接BE。又因为 AD是BC边上的中线，BD=DC又/ BDE= / CDAA BED A CAD,故 EB=AC ,

5、/ E=/ 2,AD是/ BAC的平分线./ 1 = /2,1 = Z E,AB=EB从而AB=AC SPA ABC等腰三角形。解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可 得到全等三角形。(3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例 3:已知，如图，AC平分/ BAD CD=CB AB>AD 求证：/ B+/ ADC=180 。思路分析：1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。2）解题思路：因为AC是/BAD的平分线，所以可过点C作/ BA

6、D勺两边的垂线，构造直角三 角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程：证明：作CH AB于E, CF，AD于F。. AC平分 / BADCE=CF在 RtACBff口 RtzXCDF中，vCE=CF CB=CD RtACBE RtACDF / B=/ CDF/ CDF它 ADC=180 ,. / B+/ ADC=180。解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线；见中点即联想到中位线（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠”例4:如图，A ABC中，AB=AC E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D,若EB=

7、CF 求证：DE=DF思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形 A DEB与A DFC不可能全等，又知 EB=CF ,所以需通过添 加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG/CF,构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。解答过程：证明：过E作EG/AC交BC于G 贝叱 EGBW ACB又 AB=AC B=/ ACB . ./B=/ EGB . ./EGD=DCF .EB=EG=C F /EDBN CDF -ADG摩 A DCF DE=DF解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法:例 5:

8、ABCt, / BAC=60 , C C=40° , AP平分/ BAC BC于 P, BQ¥分/ ABC交 AC于 Q 求 证：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+A®势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过。作BC的平行线。得乙ADOiAAQO得到OD=OQAD=AQ只要再证出BD=O僦可以了。解答过程：p图证明：如图(1)，过O作OD BC交AB于D, ./ADO=ABC=180 60° 40°

9、; =80° , 又. / AQO=C+/ QBC=80 , ./ADO=AQO又/ DAO= QAO OA=AO . .AD堂 AAQO OD=O QAD=AQ又 ; OD/ BP, ./ PBOW DOB 又./ PBOWDBO ./ DBO= DOB .BD=OD又. / BPAW C+/PAC=70 , / BOP= OBA+ BAO=70 , ./ BOPWBPQ .BP=OB . AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ 解题后的思考：(1)本题也可以在AB上截取AD=AQ连OD构造全等三角形，即“截长法”(2)本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：

10、如图（2）,过O作OD/ BC交AC于D,则AADOizABOA而得以解决。图（2）如图C3），过。作DE/7BC交Ab于D,交AC于E,则AAD疆ZSRQd AB0妾4阳。从而得以解决.图如图 ，13P作PD/BQ交AB的延长线于D,则ZAPD巡AAPC从而 得以解袂.如图（5）,过P作PD/ BQ交AC于D,则4AB国/XADPR而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法， 体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同 的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。 从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中

11、点为旋 转中心的旋转变换构造了全等三角形。（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证 明线段的和、差、倍、分等类的题目。例 6:如图甲，AD/ BQ 点 E在线段 AB上，/ADE=/CDE /DC=/ECB 求证：CD=ADfBC图甲思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是CRAE+BG可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CR 只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简

12、化问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CF=BG如图乙在严GEHZibG片中，5 = CSCB= CE.-.FCEABCE(SAS , ；/2=/ 1。X v AD/ BQ/ADG/BCD180。， /DC+/CDE90。，. /2+/3=90° , / 1 + /4=90° , / 3=Z4o在4FDE与 ADE中，Z0E = ADSDE = DEZ3=Z4 1a .FDEAADE(ASA , . DF=DACD=DF+CF, . CD=A>BG解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法： 截长：在长线段中截取一段等于另两条中的

13、一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想 办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边 构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延

14、长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。预习导学下一讲我们就要进入八下的学习了，八下的第一章是分式。请同学们预习课本，并思考以下问题。1、分式的概念是什么？2、分式的乘除法的运算法则是什么？同步练习（答题时间：90分钟）这几道题一定要认真思考啊，都是要添加辅助线的，开动脑筋好好想一想吧！加油！你一定行!1、已知，如图1,在四边形ABCM, BC>AB, AD=DC BD平分/ ABC 求证：/ BADVBCD：180°。2、已知，如图2, / 1 = /2 求证：/ BAR/BCP：180°。P为B

15、N上一点，且PDl BC于点D, ABO2BD3、已知，如图 3,在ABCt, / C= 2/B, /1 = /2。求证：AB=AOCQA034、已知，如图4，“已为ABCA两点，求证：AB+AOBD+DE+C匕试题答案1、分析：因为平角等于1800 ,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中 缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长法或补短法”来实现。证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E,彳DF，BC于点F,如图1-2产/E /丁皿平分乙1BG，口上丽在月工。后与观姆尸中，4 AD CDRtAADElRtACDFHL), ./ DAE：/DCF又/B

16、Aa/DAE：180° ,/BAa/DCF：180° ,即/ BAa/BCD：180°2、分析：与1相类似，证两个角的和是180° ,可把它们移到一起，让它们成为邻补角，即证 明/BCP：/ EAP因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图2-2'上1=上2 且 :=F。, 在用尸母与冗r母N中,PS = PD、BP = BF：.我也EP逅以HE/.BE=BDb".'曲Ed/包队 DC=ED¥8E, .AB+DC=BEDC=bE-AB=AEt 在用工PMRtA N笛中，*F

17、E = F口< ZPEA = £PDC AS=DC RtzXAP白 RtzXCPDSAS）, / PAE/PCD又/BAR/PAE=180°。 / BAR/BCP=180°3、分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CECQ或在AB上截取AF=AC证明：方法一（补短法）延长AC至ij E,使DC=CE,贝CD匿/ CED如图3-2乙4 cB=2 2后在与盘酩中，Z 二 Z2EB =£百AD = AD，五 Eg "ED (A45)，.AB=AE.又4星四叮4 CE=A dA-DC, S.ABACDC.方法二(

18、截长法)在4B上截取4mG如图本3图3-3在 iURD与金1?中，AF = ACZ1=Z2AD = AD .AF阴ACD（SAS ,. DF=DC / AF氏 Z ACD又. / AC氏 2/ B, FD氏 / B,. FD=FBv AB=AF+FB=AC+FD. AB=AC+G D4、证明：（方法一）将DE两边延长分别交AR AC于M N,在AM*, AM+AN>MD+DE+NE 在BDK, MB+MD>BD在CENfr, CN+NE>CE由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE .AB+AC>BD+DE+EC（方法二：图4-2）

19、延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在 ABR GFCffiGDEt有：AB+AF>BD+DG+GFGF+FC>GE+CEDG+GE>DE由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+EC5、分析：要证 AB+AC>2AD由图想至U： AB+BD>ADAC+CD>AD所以有 AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD 左边比要证结论多BD+CD故不能直接证出此题，而由2AM到要构造2AR即加倍中线，把所要 证的线段转移到同一个三角形中去图5-2证明1延长AD至E,使DE=AD,建拷

20、BE, CE 为ABC的中戏已知）；,BD=CD （中线定义：在由CD和££口甲BD = CD （已证），/1 = /区对顶角相等AD = ED （辅助线作法）. .AC四 AEBD （SAJS. BE=CA(全等三角形对应边相等)在 ABE中有：AB+BE>AE三角形两边之和大于第三边)AB+AC>2AD6、分析：欲证AC=BF只需证AG BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有 AG BF的两个 全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有 AG BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在 同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个