专题：基本不等式常见题型归纳学生版

1、专题：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号.三个不等式关系：(1) a, bCR, a2+ b2>2ab,当且仅当a=b时取等号.(2) a, b R+ , a+ b>2/ab,当且仅当a= b时取等号.(3) a, bCR, 粤Q忘(誓)2,当且仅当a=b时取等号.上述三个不等关系揭示了a2+b2 , ab , a + b三者间的不等关系.其中，基本不等式及其变形：a, bCR*, a+ b>2/ab( abw(a，与2),当且仅当a = b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值.【题型一】利用拼凑法构造不等关系【

2、典例1已知a>b>1且2logab 3logba 7,则 1的最小值为 .* b2 122练习：1 .若实数x, y满足x y 0 ,且log2x log2 y 1 ,则x匕的最小值 x y为.131,一，2.右实数 x, y满足 xy 3x 3(0 x 一)，则- 的取小值为 .2x y 33.已知a 0,b 0,c 2,且a b 2,则史-的最小值为.b ab 2 c 2【典例2】已知x, y为正实数，则 :乙十上的最大值为4x+y x+ y【典例3】若正数a、b满足ab a b 3,则a b的最小值为.变式：1.若a,b R ,且满足a2 b2 a b ,则a b的最大值为

3、.2.设x 0, y 0 , x 2y 2xy 8 ,则x 2y的最小值为 3.设 x,y R, 4x2xy 1,则2x y的最大值为精选4.已知正数a , b满足工 -,ab 5,则ab的最小值为a b【题型二】含条件的最值求法， 41，【典例4】已知正数x, y满足x y 1 ,则的最小值为x 2 y 1练习1.已知正数x,y满足工 1 1,则上 _9L的最小值为 x y x 1 y 12 .已知正数x,y满足x 2y 2 ,则 上且 的最小值为 .xyx3 .已知函数y a b(b 0)的图像经过点P(1,3),如下图所示，4 1则_2_ 1的最小值为.a 1 b4 .己知a, b为正数

4、，且直线ax by 6 0与直线 2x (b 3)y2a+3b的最小值为.5 .常数a, b和正变量xg，ab=16,，2b=3.若*+2y的最小值为5 0互相平行，则64,贝U ab=八，16.已知正实数a,b满足2a b b2b a a1 ,则ab的最大值为精选【题型三】代入消元法【典例5】(苏州市2016届高三调研测试14)已知ab 1 , a,b (0,1),则，_L的41 a 1 b最小值为.练习1.设实数x, y满足x2+ 2xy- 1 =0,则x2+ y2的最小值是 .2 .已知正实数x, y满足，则x + y的最小值为.3 .已知正实数x,y满足(x 1)(y 1) 16,则x

5、 y的最小值为 .4 14 .若a0,b 2,且a b 3,则使得- 取得最小值的实数 a=。a b 25 .设实数x、y满足x2+2xy-1 = 0,则x+ y的取值范围是 2226 .已知x, y,z R,且x y z 1 , x y z 3,求xyz的取大值为精选【题型四】换元法【典例6】已知函数f(x)=ax2+x b(a, b均为正数)，不等式f(x)>0的解集记为P,集合Q1 1 ,=x| 2t v xv 2+t.右对于任息正数t, PCl Qw ,则a b的取大值.的最小值为2.已知正数a, b,练习1.若实数x, y满足2x2+xyy2=1 ,贝U2 x 2y2的最大值为

6、 5x 2xy 2y2.设x, y是正实数2，且 x y 1，则x 22义一的最小值是y 1x 2y3.右实数x, y满足2x2+xy-y2= 1,则5x2_ 2xy+ 2y2的取大值为精选4若 实 数取 得 最 大 值 时精选的值为【题型五】【典例71判别式法已知正实数x, y满足x -x43y 10,则xy的取值范围为 y精选练习 1.若正实精选的最大值为、一_222.设 x, y R , 3x y则2x y的最大值为变式1.在平面直角坐标系 xOy中，设点A(1, 0) , B(0, 1), C(a,b), D(c,d),若不等式uuu2uuu uuu uuu uun uuuuurCD

7、> (m2)OC ODm(OC OB) (ODOA)对任意实数a , b , c, d都成立，则实数m的最大值是.【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法.判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数2f(x) ax bx c(a 0, x R),有a 0a 01) f (x) 0对x R恒成立02) f (x) 0对x R恒成立0.分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：1) f(x) g(a)(a为参数)恒成立g(a) f(x)max2) f(x) g(a)(a为参数)恒成立g(a) f(x)maX确定主元法：如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。2'2,设二次函数f x ax bx c (a,b,c为常数)的导函数为 f x .对任意x R,b2不等式f x f x恒成立，则2的最大值为 . a c【题型六】分离参数法【典例8】已知x>0,y>0,若不等式x3+y3/xy(x+y)恒成立，则实数k的最