【导学教程】高三数学二轮复习解析几何专题检测试题五理北师大版

1、专题检测（五）解析几何（本卷满分150分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1 .过点（2,0）且垂直于直线x-2y+ 3= 0的直线方程为A. 2x+y + 4= 0B. - 2x+y-4= 0C. x-2y + 2= 0D. - x + 2y-2 = 0解析易知所求直线的斜率为- 2,所以方程为 y-0=- 2(x+ 2),即 2x+y+ 4=0.答案 A 2x 2吟+$1 y22. (20112中山模拟)若抛物线y=2px的焦点与椭圆石+ = 1的右焦点重合，则 p的值为A. - 2B. 2C.

2、 -4D. 4.，_ p解析据题意2 = 2,，p=4.答案 D3.下列曲线中离心率为22DW1解析选项A、B、C D中曲线的离心率分别是2615.'14-、 -、 J、 -12252答案 B4.已知抛物线 C： y2=x与直线l : y=kx+1, “kw0”是“直线|与抛物线C有两个不 同的交点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件y2= x解析由f得ky2y+1=0,y= kx+ 11当 kwo 时，A = 1 -4k>0,得 k<4.即若直线l与抛物线C有两个不同的交点,一 1 一则kv 7且kw0,故选D.4答案 D5.已知圆

3、C与直线x y=0及x y4= 0都相切，圆心在直线 x+y=0上，则圆C的方程为A. (x+1)2+(y1)2=2C. (x1)2+(y1)2=2B. (x-1)2+(y+1)2=2D. (x+1)2+(y+1)2=2一 、“|2a|2 a-4|解析 设圆心坐标为(a, a), r = = 广一,，22解得a= 1, . r =啦,故所求的方程为(x1)2+(y+1)2=2.答案 B6.若曲线x2+y2+2x 6y+1 = 0上相异两点 P、Q关于直线kx+2y-4= 0对称，则k的 值为A. 1B. - 11C.D. 22解析曲线方程可化为(x+1)2+(y3)2=9,由题设知直线过圆心，

4、即 k3( 1)+233 4=0,*=2.故选口.答案 D7.已知椭圆7+7=1的两个焦点分别为F1, F2, P为椭圆上一点，满足/FiPE = 30° ,43则 FiPE的面积为A. 3(2+73)B. 3(273)C. 2+ 3D. 2- 3解析由题意，得|PF| + | PF2| =2a=4,|PF|2+|PE|22| PF|2| P桎12cos 30=| FiF2| 2= 4 ,所以 | PF|2| PF| =12(2W), ,1所以 SA FiP桎=习 PF|2|PF|2sin 30= 3(2 - 3).答案 B8 .直线ax y+J2a= 0(a>0)与圆x2+y

5、2= 9的位置关系是A.相离B.相交C.相切D.不确定解析 圆x2+y2=9的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式 d= 四普空9得该圆圆心（0,0）到直线axy+J石=0的距离:A2+ B2d= j 22= J由基本不等式可以知道 V2a /a2+ 12,从而 d = jXw1vra 1 a 1,'a 1=3,故直线ax y+必 =0与圆x2+ y2= 9的位置关系是相交.答案 B9 . （20112大纲全国卷）已知抛物线C： y2=4x的焦点为F,直线y = 2x4与C交于A, B两点，则cos/AFB=3B.5D.4A.5C.y= 2x- 4,x= 1, x= 4,解

6、析解法一由%得4或qy=4x,y=2 y= 4.令 B(1 , 2), A(4,4),又 F(1,0)，由两点间距离公式得 |BF=2, |AF=5, |AB =| BF2+|AF2一| AB 2 4+2545cos / AFB=77；= ccccl2| BF2| AF|23235 =. 解法二由解法一得 A(4,4) , B(1 , 2), F(1,0),FA= (3,4) , FB= (0, 2),. | FA| = 32+ 42 =5, | FB| =2.FA2 fB330+ 43-.cosZ AFB=I 南2| fB53245.答案 D10.已知椭圆 j+3=1和双曲线 13=1有公共

7、的焦点，那么双曲线的渐近线方程3m 5n2m 3nA. x=± 畔yB. y=D.y=± Wx解析由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上,，椭圆的右焦点 33偏5n2, 0), 双曲线的右焦点(寸2布而，0), 3n25n2= 2n2+3n： . n2 = 8n2,即 | m =22| n| ,，双曲线的渐近线为 y= ± 岑4x= ± 孚x, 22| m 4答案 DF(3,0)是E的焦点，过F的直线l11. (20102课标全国卷 )已知双曲线E的中心为原点,与E相交于A, B两点，且AB的中点为N12, 15),则E的方程为22x yA36 = 12 2

8、吟一.0+15斛析 . kAEi= 1, .直线AB的方程为y=x 3.3 I- 12由于双曲线的焦点为F(3,0) , c=3, c2=9.22x y设双曲线的标准方程为g=1(a>0, b>0),x x-3一则力二一=1.整理，得 a b(b2 a2) x2+ 6a2x 9a2- a2b2= 0.设 A(x1, y1), B(x2, y2),6a之则 X1 + X2="a2-b2 =23( 12),a2= - 4a2 + 4b2,22 -5a2=4b2.又 a2+b2=9,，a2=4, b2= 5.双曲线E的方程为:一1=1.45答案 B12.如图所示，Fi和F2分别

9、是双曲线= 1(a>0, b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以| OF|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且EAB是等边三角形，则离心率为解得x=-a ,；b2+ c2人(舍去正值).由于O是正三角形F2AB的外接圆的圆心，也是其重心,3故F2到直线AB的距离等于-| OF|3c. . o o o X2 c2 X2解析 设F2(c, 0),则圆O的方程是x2+y2=c2.与双曲线方程联立，消掉y得孑一- 1将b2 = c2a2代入上式，并平方得 4a2(2c2-a2) = c4, 整理，得 c4 8a2c2+ 4a4= 0,两端同时除以a4,得e4-8e2+4=0.解方程得

10、e2=4±2、/3,由于e2>1,故 62 = 4+2。3,所以 e=3+1.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分.把答案填在题中的横线上)213.在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=2x上一点M点M的横坐标是2,则M到抛物 线焦点的距离是.解析因为点M的横坐标是2,p 1故其纵坐标为8,又P=w，2 81 65所以M到抛物线焦点的距离为 8+- = . 88 65答案冒8x2 214 .点P为双曲线了一 y2=1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是.解析设 P(x0, y0), Mx, y),则 X0 = 2x, yO=2y,代

11、入双曲线方程得 x2-4y2=1.答案 x2- 4y2= 115 .已知椭圆的中心在原点，离心率e=、23,且它的一个焦点与抛物线x2=4叱3y的焦点重合，则此椭圆的方程为 .解析 抛物线的焦点为(0, ，3),椭圆的中心在原点，则所求椭圆的一个焦点为(0 ,一小),半焦距0=3,又离心率e=至, a 2所以a=2, b=1,故所求椭圆的方程为x2+y = 1.4答案 x2+y = 1416 .已知a =(6,2) , b= 1 4, 2 j直线l过点A(3, 1),且与向量a+2b垂直，则直 线l的一般方程是.解析 a+2b=(6,2) +21 4, 1 1= (-2,3),. 3与向量a

12、+ 2b平行的直线的斜率为一22又l与向量a+2b垂直，l的斜率k =-3又l过点A(3, 1),2，直线l的方程为y+1 =(x 3),3化成一般式为 2x-3y-9=0.答案2x 3y9=0三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)17. (12分)(20112福建)如图，直线l : y=x+b与抛物线C: x2k2+ k 2（2 kJ也一k1）= 4y相切于点A(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.,y=x+b，2.解析(1)由, 2得 x4x 4b=0.(*)x = 4y因为直线l与抛物线C相切，所以

13、A =(4)243( 4b) = 0,解得 b= - 1.(2)由(1)可知b=- 1,故方程(*)即为x2-4x+4=0,解得x=2.将其代入x2 = 4y,得y= 1.故点 A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线 y = - 1的距离，即r = |1 -( -1)| =2, 所以圆A的方程为(x2)2+(y1)2=4.18. (12 分)(20112 安徽)设直线 l 1： y = k1x+1, 12： y=Lx1,其中实数 k1, k2满足 hkz + 2= 0.(1)证明：l 1与12相交；(2)证明:l 1与12的交点在椭圆2x2+ y2

14、= 1上.证明(1)假设Ii与l2不相交，则Ii与l2平行，有k1=k2,代入k1k2+2=0,得k2+2=0, 这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1Wk2,即11与12相交.k2 + k1 I'k2 kJy= k1x+ 1,(2)解法一由方程组解得交点P的坐标为而 2x2+y2=2|y= k2x- 18+k2+k1+2kik2k2+k2+4k?+ki 2ki k2ki+kz+4此即表明交点P(x, y)在椭圆2x2+y2=1上.y 1 = kix, 解法二 交点P的坐标(x, y)满足“y+ i = k2x.故知xw0.y- i从而k2=y+ i.i y i y + i代入kik2+

15、2=0，得2十 2=0.整理后，得2x2+y2=i,所以交点P在椭圆2x2 + y2=i上.19. (i2分)(20ii2开封模拟 )如图所示，已知圆 O x2+y2=4,直线 m kx-y+ i=0.(i)求证：直线 m与圆O有两个相异交点；(2)设直线m与圆O的两个交点为 A、B,求 AO前积S的最大值. 解析 (i)证明 直线m kx y+i = 0可化为y i = kx,故该直线恒过点(0,i),而(0,i)在圆O x2+y2=4内部, 所以直线 m与圆O恒有两个不同交点.(2)圆心O到直线m的距离为id= j 2,而圆O的半径r = 2,i + k故弦AB的长为| AB =2&quo

16、t;=d =24-d,i 一 . 1:2故AOB1积 S= 21AB3 d=32 4-d 3 d=、4d2 d4 =d2-22+ 4.而 d2=1p,因为 i+k2>i,所以 d2= . i, 2 (0,i, i + ki + k显然当d2C(0,i时，S单调递增，所以当d2=i,即k=0时，S取得最大值43,此时直线m的方程为y1 = 0.20. （12分）已知圆C的方程为x21. （12分）（20112上海）已知椭圆C:亲+y2=1（常数m> 1）, P是曲线C上的动点,曲线C的右顶点，定点 A的坐标为（2,0）.（1）若M与A重合，求曲线 C的焦点坐标；（2）若m= 3,求|

17、 PA的最大值与最小值； （3）若| PA的最小值为| MA,求实数m的取值范围.+y2=4.（1）直线l过点R1,2）,且与圆C交于A B两点，若IAB =2日 求直线l的方程；（2）过圆C上一动点M不在x轴上）作平行于x轴的直线m,设m与y轴的交点为N,若向 量Oq= OwOn求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解析（1）当直线l垂直于x轴时，直线方程为 x=1,l与圆的两个交点坐标为（1 ,、/3）和（1 ,-木）,其距离为2/，满足题意.若直线l不垂直于x轴，设其方程为 y-2= k（x-1）,即 kx-y- k+ 2=0.设圆心到此直线的距离为d,则2/=2。4二寸，彳导d=

18、1.所以二= 1,解得k=3，小+1x22解析（1）由题息知m= 2,椭圆万程为 + y=1,故所求直线方程为 3x-4y+5 = 0.综上所述，所求直线方程为3x 4y+5=0或x=1.（2）设点M的坐标为（x。，y0）（ y0w0）, Q点坐标为（x, y）,则N点坐标是（0 , y0）.因为 Oq=Om"On,ry所以（x, y） = （x0,2y0）,即 xo=x, y0=2.又因为M是圆C上一点，2所以 x0+y2=4,所以 x2+y4 = 4（yw0）,22所以q点的轨迹方程是。+150），这说明轨迹是中心在原点，焦点在y轴，长轴为8、短轴为4的椭圆，除去短轴端点.C =

19、 4 1 =4,，左、右焦点坐标分别为(淄，0),(® 0).X22(2) m= 3,椭圆万程为§+y = 1,设P(x, y),则| PA2=(x2)2+y2=(x2)2+1t/ 9f 2当 x=4时，1PAmin=1；当 x= 3 时，1PAmax= 5.(3)设动点F(x, y),则| PA2=(x2)2+y2=(x2)2+12x- 1= m24m2-m- 1+ 5( -m< xw m .n2 1当x=m时，| PA取最小值，且p>0,22m2-m-122. (14分)如图所示，曲线 C是以原点O为中心，F1, F2为焦点的椭圆的一部分，曲线G是以O为顶点

20、，F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线G和G的交点且/ AFF1为钝角，若|AF|75=2，| af =2,(1)求曲线C和Q所在的椭圆和抛物线方程；(2)过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线G、C2依次交于B、C D E四点，若G为CD的中点，H为BE的中点，问 国2 1GF是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说 | CD | HE|明理由.解析(1)解法一设椭圆方程为 22x y 一 , 一+1(a>b>0),则 2a=| AF1| +|AF>| =2 + 2=6,-10 -得 a= 3.设 A(x, y) , Fi(-c, 0) , F2(c, 0),则(x+c)2+