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文档简介
1、数值分析实验报告 姓名 忘川 学号 1205025106 系另I 数学系 班级 12级 主讲教师 指导教师 实验日期 2022/6/25 专业 信息与计算科学专业 课程名称 数值分析 同组实验者 无 一、实验名称: 实验八、解线性方程组的根本迭代法实验 二、实验目的: 1 .深入理解Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法; 2 .通过对Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法的程序设计,提升程序设计的水平; 3 .应用编写的程序解决具体问题,掌握三种根本迭代法的使用,通过结果的分析了解每一种迭代法的特点. 二、实验内容及要求: 1 .根据Mat
2、lab语百特点,描述Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法. 2 .编写Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法的M文件. .、-2020. 3 .给定AR为五对角矩阵 11 3 2 4 1c11 3 224 11cli3 4 224 1111 3 4224 111 一一3一 422 11& 3 42 1选取不同的初始向量x及右端面项向量b,给定迭代误差要求,分别用编写的Jacobi迭代法和 Gauss-Seidel迭代法程序求解,观察得到的序列是否收敛?假设收敛,通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论. 2用编写的SOR迭代法程序,对于1所选
3、取的初始向量x及右端面项向量b进行求解,松驰系数 3 取132的/、同值,在xkXk1105时停止迭代,通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论. 四、实验步骤或记录 一、算法描述 1/22 由 ,00a12Ka1,n1a1n 用a12L即a a2100K&,n1a2n a21a22La2na22 AMMO0MM MMMMO an1,1an1,2L00an1,n an1an2Lann垢 an1an2Lan,n100 0 a11 a210 a O 斗1,1an1,2L0 ann an1an2Lan,n10 0312Ka,n1Wn 0Ka2,n1a2n UOMM,那么有:ADLU 0an1,n 0
4、那么有: 第Jacobi迭代法 Axb (DLU)xbDx(LU)xbxD(LU)xDb ADLU 令JD(LU)那么称J为雅克比迭代矩阵fDb 由此可得雅克比迭代的迭代格式如下: x(0),初始向量 (k1).(k) xJxf,k0,1,2,L 第二步 Gauss-Seidel迭代法 2/22Axb ADLU (DLU)xb(DL)xUxb x(DL)Ux(DL)b 令G(DL)U,那么称G为Gauss-Seidel迭代矩阵f(DL)b 由此可得Gauss-Seidel迭代的迭代格式如下: x(0),初始向量 x(k1)Gx(k)f,k0,1,2,L 第三步 SOR迭代法 w0 111 AD
5、LU(DwL(1w)DwU)(DwL)-(1w)DwU) www 11 (DwL),N-(1w)DwU)那么有:AMNww (MN)xbMxNxbxMNxMb 人LWMN皿 令带入M,N的值可有 fMb .(1w)DwU)1, LW(DwL)(1w)DwU) (DwL) fbw1(DwL)1b 1(DwL)w 称LW为SOR迭代矩阵,由此可得SOR迭代的迭代格式如下: x(0),初始向量 x(k1)Lwx(k)f,k0,1,2,L 二、算法程序 Jacobi迭代法的M文件: functiony,n=Jacobi(A,b,x0,eps) %* 3/22Axb AMN %参数解释 A 系数矩阵 %
6、 b 常数项 % x0 仙U解向重 % eps 误差范围 %返回值 % y 解向量 % n 迭代次数 %函数功能 实现线性方程组的Jacobi迭代求解 %* n=length(A); ifnargin=1 disp(谱半径大于等于1,迭代不收敛,无法进行 return; end n=1; fori=1:1:n ifsum(A(i,i)=n)=n error(输入的A矩阵的对角线元素不能为0); return; end end y=B*x0+f; whilenorm(y-x0)=eps&n100 x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end Gauss-Seidel迭代法的M文件和 fu
7、nctiony,n=GaussSeidel(A,b,x0,eps) %* %函数名称GaussSeidel高斯赛德尔迭代函数 %参数解释A系数矩阵 %b常数项 %x0估计解向量 ); % eps 误差范围 %返回值 % y 解向量 % n 迭代次数 %函数功能 实现线性方程组的Jacobi迭代求解 %* n=length(A); ifnargin=1 disp(谱半径大于等于1,迭代不收敛,无法进行,); return; end 6/22 n=1; 5/22 fori=1:1:n ifsum(A(i,i)=n)=n error(输入的A矩阵的对角线元素不能为0); return; end en
8、d y=B*x0+f; whilenorm(y-x0)=eps&n100 x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end SOR迭代法的M文件 functiony,n=SOR(A,b,x0,w,eps) 0Hm* %函数名称 SOR 松弛迭代函数 %参数解释 A 系数矩阵 % w 松弛因子 % b 常数项 % x0 仙 U 解向重 % eps 误差范围 %返回值 % y 解向量 7/22 迭代次数 %函数功能实现线性方程组的Jacobi迭代求解 %* n=length(A); ifnargin=eps&nb=ones(20,1); x0=zeros(20,1); eps=0.005; 1
9、0/22 y,n=Jacobi(A,b,x0,eps) y= 0.4813 0.5729 0.6321 0.6513 0.6600 0.6632 0.6646 0.6651 0.6653 0.6653 0.6653 0.6653 0.6651 0.6646 0.6632 0.6600 0.6513 0.6321 0.5729 0.4813 11/22 n= 9 在CommandWindow中输入: Gauss-Seidel迭代法求解: 在CommandWindow中输入: A=zeros(20,20); fori=1:1:20 A(i,i)=3; end fori=1:1:20 forj=1:
10、1:20 ifabs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end end end fori=1:1:20 forj=1:1:20 ifabs(i-j)=2 A(i,j)=-1/4; end end end 12/22 b=ones(20,1); x0=zeros(20,1); eps=0.005; y,n=GaussSeidel(A,b,x0,eps) y= 0.4814 0.5732 0.6325 0.6518 0.6606 0.6640 0.6654 0.6660 0.6662 0.6663 0.6663 0.6663 0.6661 0.6656 0.6642 0.6609 0.652
11、1 0.6328 0.5734 13/22 0.4816 n= 7 第二次给定初始向量为20行一列的0 右端面项向量b=20行一列的1.001 迭代误差要求0.005 Jacobi迭代法求解: 在CommandWindow中输入 A=zeros(20,20); fori=1:1:20 A(i,i)=3; end fori=1:1:20 forj=1:1:20 ifabs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end end end b=1.001*ones(20,1); 14/22 x0=zeros(20,1); eps=0.005; y,n=Jacobi(A,b,x0,eps) y= 0.
12、4146 0.4856 0.4978 0.4999 0.5002 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5002 0.4999 0.4978 0.4856 0.4146 15/22n= 7 Gauss-Seidel迭代法求解: 在CommandWindow中输入 A=zeros(20,20); fori=1:1:20 A(i,i)=3; end fori=1:1:20 forj=1:1:20 ifabs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end end end b=1.001*one
13、s(20,1); x0=zeros(20,1); eps=0.005; y,n=GaussSeidel(A,b,x0,eps) y= 16/22 0.4145 0.4856 0.4978 0.4999 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5000 0.4980 0.4858 0.4146 n=5 观察计算结果得到的序列可以看出其是收敛,在较少的迭代次数下即可的到满足误差要求的解. 17/22 (2)第一次给定初始向量为20行一列的0, 右端面项向量b=20行一
14、列的1 迭代误差要求0.00005 松弛因子为1.5 在CommandWindow中输入 A=zeros(20,20); fori=1:1:20 A(i,i)=3; end fori=1:1:20 forj=1:1:20 ifabs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end end end fori=1:1:20 forj=1:1:20 ifabs(i-j)=2 A(i,j)=-1/4; end end end b=ones(20,1); 18/22 x0=zeros(20,1); w=1.5; eps=1e-5; y,n=SOR(A,b,x0,w,eps) y= 1.0e+012* -
15、0.5082 -0.9690 -1.5400 -2.1738 -2.8767 -3.6356 -4.4375 -5.2635 -6.0901 -6.8885 -7.6243 -8.2578 -8.7437 -9.0319 -9.0675 -8.7940 -8.1452 19/22 -7.0831 -5.4598 -3.5651 n= 100 第二次给定初始向量为20行一列的0, 右端面项向量b=20行一列的1 迭代误差要求0.00005 松弛因子为1.2 在CommandWindow中输入 A=zeros(20,20); fori=1:1:20 A(i,i)=3; end fori=1:1:20 forj=1:1:20 ifabs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end end end b=ones(20,1); 20/22x0=zeros(20,1); w=1.2; eps=1e-5; y,n=SOR(A,b,x0,w,eps) y= 0.2792 0.3246 0.3319 0.3331 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0
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