2020年中考数学动态几何题中的定值型问题赏析精品版

1、精选文档中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析在动态几何问题中，当一些元素按照一定的规律在确定的范围内变化时，与它相关的另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这类问题称为几何定值问题。定值问题由于解决这类问题时，要有时甚至不知道定值的结果，而使人难以下手，给问题解决带来困难。善于运用辩证的观点去思考分析，在可变”的元素中寻求 不变”的量.一般可采用特殊值或 特殊的位置，探得定值，如果需要的话再考虑证明；或直接推理、计算，并在计算中消去变 量，从而得到定值。以下以2010年中考题为例说明具体的求解策略 一、长度定值 例1. （2010山东聊城）如图，点 P是矩形ABCD的边AD的一个动点

2、，矩形的两条边 AB、BC的长分别为3和4,那么点P到矩形的两条对角线 AC和BD的距离之和是（）A B. - C. D.不确定555解析：因为四边形 ABCD是矩形，由勾股定理得 AC=BD=5. 过点P分别作 AC、BD的垂线 PE、PF,容易得 PDFsBDA,3PF = PD ,5PD PFPD PF=，即= BD AB533同理 PE =PA , 5312，PE+PF= (PA + PD)= .故答案为 Ao 55点评：本题属于矩形中动点定值问题，在选择题中，可以采取特殊点法求解，譬如P与A重合、P与B重合或P为AD的中点等特殊情形下，求出PE+ PF的值探求答案.二、角度定值 例2

3、. （2010年广东广州）如图，。O的半径为1,点P是。上一点，弦AB垂直平分线段OP,点D是APB上任一点（与端点 A、B不重合），DELAB于点E,以点D为圆心、DE长为半彳5作。D,分别过点A、B作。D的切线，两条切线相交于点C.（1）求弦AB的长；（2）判断/ ACB是否为定值，若是，求出/ ACB的大小；否则，请说明理由；（3）略1分析：（1）连接OA, OP与AB的交点为F,则 OAF为直角二角形，且 OA=1,OF =，2借助勾股定理可求得 AF的长，根据垂径定理求得 AB; （2）要判断/ ACB是否为定值，只精选文档精选文档 需判定/ CAB+Z ABC的值是否是定值，由于。

4、D是4ABC的内切圆，所以AD和BD分别 为/ CAB和/ ABC的角平分线，因此只要/ DAE + / DBA是定值，而/ DAE + / DBA等于 弧AB所对的圆周角，这个值等于/ AOB值的一半，只需看/ AOB值即可。解：(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1.,.弦 AB 垂直平分线段 OP, OF= 1 OP= - , AF=BF.22在 RtAOAF 中，AF= JOA2 _OF2 = j2 _(1)2 =AB=2AF=邪.(2) / ACB是定值.理由：由(1)易知，/ AOB = 120,因为点 D为 ABC的内心，所以，连结 AD、BD,贝U/ CAB =

5、2/DAE , /CBA=2/DBA, 因为/ DAE + Z DBA = 1 Z AOB = 60,所以/ CAB+Z CBA=120 ,所以/ ACB=60;2(3)略点评：本题是圆为载体的角度定值问题， 考查了三角形内切圆、角平分线的性质、 三角形内 角和、同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系及整体思想综合运用，采用了直接推理、计算得到定值。三、周长定值例3. (2010重庆)已知：如图(1),在平面直角坐标 xOy中，边长为2的等边 OAB的顶 点B在第一象限，顶点 A在x轴的正半轴上.另一等腰4 OCA的顶点C在第四象限，OC=AC, /C=120 .现有两动点 P、Q分别从A、O两点

6、同时出发，点 Q以每秒1 个单位的速度沿 OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿 A-O-B运动，当其 中一个点到达终点时，另一个点也随即停止 .(1) (2)略(3)如图(2),现有/ MCN=60 ,其两边分别与 OB、AB交于点M、N,连接MN.将 / MCN绕着C点旋转(0旋转角V 60 ),使彳导M、N始终在边OB和边AB上.试 判断在这一过程中， BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发(3) ABMN的周长不发生变化.延长BA至点F ,使AF =OM ,连结CF .(如图)精选文档精选文档 ZMOC =/FAC =90?OC =AC ,内MOC 9 iFAC

7、.MC =CF , NMCO =NFCA.ZFCN ZFCA ./NCA ZMCO dNCA ZOCA ZMCN =60 .ZFCN ZMCN .又. MC =CF,CN =CN .AMCN 9 AFCN , MN =NF .BM +MN +BN =BM +NF +BN =BO -OM + BA + AF =BA + BO =4.ABMN的周长不变，其周长为 4.点评：本题是定角（60 ）在等边三角形内旋转的动态几何问题， 探究运用过程中的 ABMN 的周长是否定值，解题时通过旋转变换，将三角形的周长转化为直线段上线段和差， 直接计 算证明了周长为定值。解题时，也可让/ MCN运动到MN平行于

8、OA或M与O重合或N 与A重合（退化的三角形）这几种特殊情形，探求不变的周长的值。三、面积定值例3. （2010广州）如图所示，四边形 OABO矩形，点A、C的坐标分别为（3, 0）, （0, 1）, 点D是线段BC上的动点（与端点 B、C不重合），过点D作直线y=1x+b交折 2线OAB于点E.（1）略（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形 OiAiBiCi, 试探究OiAiBiCi与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该 重叠部分的面积；若改变，请说明理由 .思路点拨：（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因

9、此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化. 解：（1）略（2）如图3,设O1A1与CB相交于点M, OA与C1B1相交于点N,则矩形O1A1B1C1与矩 形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。由题意知，DM/NE, DN/ME,二.四边形 DNEM为平行四边形根据轴对称知，/ MED = Z NED又/MDE = /NED, ./ MED =/ MDE , . MD = ME , .平行四边形 DNEM 为菱形. 过点D作DH，OA,垂足为H,精选文档精选文档因为直线DE的解析式y = x +21b中，比例系数k= 2所以 tan/ DE

10、N= _ ,因为 DH = 1,2设菱形DNEM的边长为a,HE= 2,则在RtADHM中，由勾股定理知:2_22a =(2 -a) +1 , a5S 四边形 DNEM - NE - DH 一 一，矩形OiAiBiCi与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为44点评：本题是点动、线动相结合的平面直角坐标系中的动态几何题，通过运动时所形成的不同位置，考查了矩形、一次函数、直角三角形勾股定理、方程、面积、轴对称变换、锐角三角函数等知识点和数形结合的数学思想。 面积的角度探求动态过程中的不变量， 算求得定值。第（2）小题是以面积为载体的动态探究题，从解题的关键是找出动态过程中的不变量,通

11、过直接计五、比值定值例5. （2010湖北咸宁）如图，直角梯形ABCD 中，AB / DC, /DAB =90,AB =6 .动点M以每秒1个单位长的速度，从点 A沿线段AB向点BAD =2DC =4 ,运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点 M到达点B时，两点同时停止运动.过点 M作直线l/AD,与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点 M运动的时间为t （秒）.（1）、（2）略（3）当t2时，连接PQ交线段AC于点R.请探究CQ是否为定值，若是，试求这RQ个定值；若不是，请说明理由.（备用图1）（备用图2）分析：（3）当t2时，确定动点P、Q、M在图

12、形上的位置,点P在AD上，点Q在BC上,是否存在相似三角形.画出图形，观察、分析线段 CQ、RQ与已知线段有没有关系,解：(1) (2)略(3) CQ为定值.RQ当t2时，如备用图2,作CF,AB pa =DA DP =4 (t -2) =6 -t . BF=ABAF=4. CF=AD = 4CF =BF .4BP =45.精选文档精选文档 . QM =MB=6t.QM =PA.，四边形AMQP为矩形.，PQ / AB . 4CRQS CAB.,CQ BCCF2-BF2 4 2 2.2rq - aB _ Ab_6-3- .点评：本题是一道以直角梯形为框架的动态几何问题，考查了相似三角形、矩形、

13、梯形的常用辅助线方法等知识点，体现了分类讨论的思想。第(3)问是关于线段比的定值探究题，解题时，需要画出当t2时的图形，把“动态”问题转化为“静态”问题，根据相似三角 形对应线段成比例，将 胆转化为其他线段的比，探明线段比是否为定值.RQ六、积定值例6. (2010广东深圳)如图1,以点M (1,0)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点 A、B、C、D,直线y= 坐x 533与。M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.(1)请直接写出 OE、O M的半径r、CH的长;(2)略(3)如图3,点K为线段EC上一动点(不与AT交x轴于点N.是否存在一个常数 a, 出a的值；如果不存在，请说明理由.解：(1)如图 4, OE=5, r=2, CH=2(2)略(3)如图6,连接AK, AM,延长AM, 与圆交于点 G,连接TG,则/GTA = 90E、C重合)，连接BK交。M于点T,弦 始终满足 MN - MK = a,如果存在，请求24 = 90：/3 = /4 ,，2+/3 = 90由于 NBKO+/3=90故，/BKO=N2;而/BKO =21,故21 = /2在 MMK 和 ANMA中，21=/2; /AMK =/NMAx精选文档精选文档故AAMK L NMA ;所以MN AMAMMK即：MN LMK = AM 2