七年级下册数学平行线中拐点问题

七下数学-平行线中的拐点问题【考点一平行线间一个拐点问题】例题：（四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．【变式训练】1．（宁夏固原·七年级期末）如图，，，，则的度数是_____．2．（甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．【考点二平行线间两个拐点问题】例题：（云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【变式训练】1．（浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，则∠4=____．2．（安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习）如图，，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若，则______°；（2）若，与的角平分线交于点N，则的度数为______．（用含n的式子表示）【考点三平行线间多个拐点问题】例题:（湖北·洪湖实验初中七年级期中）如图，ABCDEF，CBDEFG，如果，则∠2=_____________．【变式训练】1．（山西临汾·七年级统考期中）如图，直线，则的度数为___________°．2．（山东济南·八年级校考阶段练习）探究：(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；【考点四平行线中在生活上的拐点问题】例题：（四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．【变式训练】1．（黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．【过关检测】一、选择题1．（山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，，则等于（

）A．45° B．55° C．135° D．145°2．（广东深圳·七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是（

）A． B． C． D．3．（全国·八年级专题练习）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（）A．100° B．160° C．140° D．120°4．（全国·七年级专题练习）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（）；①；②若，则；③如图（2）中，若，，则；④如图（2）中，若，，则．A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④二、填空题5．（内蒙古乌海·七年级校考期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．6．（辽宁丹东·七年级校考期末）如图，，与相交于点，且，，若，则______．7．（四川成都·七年级校考期中）如图所示，已知ABCD，，，则的度数为______度．8．（福建三明·七年级统考期中）观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，根据规律，则______度．三、解答题9．（八年级课时练习）已知：如图，，求证：．10．（八年级课时练习）已知：如图，求证：．11．（黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）下列各图中的与平行．(1)图①中的度，图②中的度，图③中的度，图④中的度第⑨个图中的度(2)第n－1个图中的12．（江西赣州·七年级统考期中）根据下列叙述填依据．(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．解：过点F作所以∠B+∠BFE=180°（

）因为、（已知）所以（

）所以∠D+∠DFE=180°（

）所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）备用图：(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）13．（全国·八年级专题练习）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．(1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数；问题迁移(2)如图2，射线与射线交于点O，直线，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动．①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由；②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．14．（全国·七年级专题练习）如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于．(1)如图1，若，求的度数；(2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；(3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系；②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系．

平行线中的拐点问题（解析版）【考点一平行线间一个拐点问题】例题：（四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．【答案】##66度【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行内错角相等分别求出，则．【详解】解：如图所示，过点E作，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出是解题的关键．【变式训练】1．（宁夏固原·七年级期末）如图，，，，则的度数是_____．【答案】##100度【分析】通过作平行线的方式，将∠G分成∠EGQ和∠QGF，利用平行线的性质求出∠EGQ和∠QGF，度数即可求解．【详解】解：过G点作，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质，属于经典题目，学会作辅助线是关键．2．（甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．【答案】##20度【分析】过点作，利用平行线的性质可得的度数，进而可得的度数，再结合可得，进而可得的度数．【详解】解：如图，过点作，则，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．【考点二平行线间两个拐点问题】例题：（云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【答案】【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．【详解】解：连接BD，如图，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式训练】1．（浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，则∠4=____．【答案】30°##30度【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直线l1l2，∴ABCD，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．2．（安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习）如图，，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若，则______°；（2）若，与的角平分线交于点N，则的度数为______．（用含n的式子表示）【答案】

270

【分析】（1）过点M作MPAB，则ABCDMP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；（2）过点N作NQAB，则ABCDNQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．【详解】解：（1）过点M作MPAB，∵ABCD，∴ABCDMP，∴∠1=∠MEB，∠2=∠MFD，∵∠M=∠1+∠2=90°，∴∠MEB+∠MFD=90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°，∴∠AEM+∠CFM=360°-90°=270°．故答案为：270；（2）过点N作NQAB，∵ABCD，∴ABCDNQ，∴∠3=∠NEB，∠4=∠NFD，∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF，∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，∵∠NEB=∠MEB，∠DFN=∠MFD，∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD=∠EMF，∴∠ENF=∠EMF=n°．故答案为：n°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．【考点三平行线间多个拐点问题】例题:（湖北·洪湖实验初中七年级期中）如图，ABCDEF，CBDEFG，如果，则∠2=_____________．【答案】110°##110度【分析】先求出与的度数，再根据平行线性质，即可求出两角的度数．【详解】解：，，．，．，．故答案为：110°．【点睛】本题主要考查了两直线平行内错角相等，同旁内角互补的性质，熟练掌握并运用性质是解题的关键．【变式训练】1．（山西临汾·七年级统考期中）如图，直线，则的度数为___________°．【答案】360【分析】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，根据平行线的判定得出EF∥GH∥MN∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．【详解】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，如图所示：∵CD∥AB，∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，∴．故答案为：360．【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．2．（山东济南·八年级校考阶段练习）探究：(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2；(2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．【分析】（1）过点E作EMAB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（2）过点F作NFAB，结合（1）并根据平行线的性质及角的和差求解即可；（3）过点G作GMAB，结合（2）并根据平行线的性质及角的和差求解即可．（1）解：如图①，过点E作EMAB，∵ABCD，∴ABCDEM，∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，即∠1＋∠3＝∠2；（2）如图②，过点F作NFAB，∵ABCD，∴ABCDFN，∴∠4＝∠NFH，由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；（3）如图③，过点G作GMAB，∵ABCD，∴ABCDGM，∴∠5＝∠MGN，由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．【考点四平行线中在生活上的拐点问题】例题：（四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．【答案】【分析】根据方位角的概念，过点作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解．【详解】如图，作，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线．两直线平行，内错角相等．【变式训练】1．（黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．【答案】##60度【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图所示，过点O作，∵光线，都是水平线，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，，则等于（

）A．45° B．55° C．135° D．145°【答案】C【分析】过点作，可得，根据平行线的性质可得，根据已知求得，进而即可求解．【详解】解：如图，过点作，∴，∴,∵，∴，．故选C．【点睛】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．2．（广东深圳·七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．【详解】解：如图，延长交于，∵，，，又，，．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．3．（全国·八年级专题练习）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（）A．100° B．160° C．140° D．120°【答案】B【分析】根据平行线的性质即可求解．【详解】解：过点作，如图，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴．故选：．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．4．（全国·七年级专题练习）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（）；①；②若，则；③如图（2）中，若，，则；④如图（2）中，若，，则．A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】分别过、作，，再根据平行线的性质可以得到解答．【详解】解：分别过、作，，∵，∴，∴，，∴，即，①正确；∵，，∴，∵，∴，，∴，②正确，与上同理，，∴，∴，③正确，由题意，④不一定正确，∴①②③正确，故选：C．【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键．二、填空题5．（内蒙古乌海·七年级校考期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．【答案】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．【详解】如下图所示，过点C作，∵，∴（两直线平行，同旁内角互补），∵，，∴，∴（两直线平行，同旁内角互补），∴，∴，∴在原图中，故答案为：．【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．6．（辽宁丹东·七年级校考期末）如图，，与相交于点，且，，若，则______．【答案】3【分析】过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，，依此即可求解．【详解】解：如图，过点作，∵，∴，∴，，，∴，∵，，∴，∴．故答案为：3．【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．7．（四川成都·七年级校考期中）如图所示，已知ABCD，，，则的度数为______度．【答案】50【分析】过点E作EGCD，由∠BAE=3∠ECF，∠ECF=25°，即可求得∠BAE的度数，又由ABCD求得∠DFE的度数，再由EGCD得到∠ECF=∠CEG=25°，∠DFE=∠FEG=75°，最后利用∠AEC=∠FEG-∠CEG求解即可．【详解】解：过点E作EGCD∵∠BAE=3∠ECF，∠ECF=25°，∴∠BAE=75°，∵ABCD，∴∠DFE=∠BAE=75°，∵EGCD∴∠ECF=∠CEG=25°，∠DFE=∠FEG=75°，∴∠AEC=∠FEG-∠CEG=75°-25°=50°，故答案为：50．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握平行线的性质定理，注意数形结合思想的应用．8．（福建三明·七年级统考期中）观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，根据规律，则______度．【答案】【分析】分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠MPE=180°，∠3+∠4=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠2=180°，根据规律得到∠1+∠2+∠P1+∠P2+∠P3+∠P4=5×180°．【详解】解：如图，分别过、、作直线的平行线，，，，∴，由平行线的性质可得出：，，，，∴（1），（2），（3），（4），∴．故答案为：900°【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．三、解答题9．（八年级课时练习）已知：如图，，求证：．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质定理，进而得出，则，即可得出．【详解】证明：过点C作，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关的定理是解题关键，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行．10．（八年级课时练习）已知：如图，求证：．【答案】见解析【分析】过点P作，即得出，再根据平行线的性质可得出，，最后由，即可证．【详解】证明：如图，过点P作．∴．∵，∴，∴．∵，∴．【点睛】本题考查平行线的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．11．（黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）下列各图中的与平行．(1)图①中的度，图②中的度，图③中的度，图④中的度第⑨个图中的度(2)第n－1个图中的【答案】(1)180、360、540、720、1620(2)【分析】（1）根据图形结合平行线的性质即可得出结论；（2）根据（1）中结果，即可找出变化规律即可求解．（1）如图：∵，∴=180°，如图②，过作，根据两直线平行，同旁内角互补有：，，又∵，∴，同理可得：图③中：，图④中：，第⑨个图中：；故答案为：180、360、540、720、1620．（2）结合（1）的结果可知：第n个图中的，故答案为：．【点睛】此题主要考查了两直线平行同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，过角的顶点作AB的平行线，构造同旁内角或内错角是解题的关键，此题规律性较强，需熟练掌握．12．（江西赣州·七年级统考期中）根据下列叙述填依据．(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．解：过点F作所以∠B+∠BFE=180°（

）因为、（已知）所以（

）所以∠D+∠DFE=180°（

）所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）备用图：(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补(2)见解析(3)【分析】（1）过点F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根据、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；（2）类比问题（1）的解题方法即可得解；（3）类比问题（1）的解题方法即可得解．（1）解：过点F作，如图，∴∠B+∠BFE=180°（两直线平行，同旁内角相等），∵、（已知）∴（平行于同一直线的两直线平行），∴∠D+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°；故答案为：两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）解：选图（2），∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F；理由如下：过点D作DC//AB，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC=∠F，即∠BDF+∠B=∠F；选图（3），∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F过点D作，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC=∠F，即∠BDF+∠B=∠F∠BDF+∠B=∠F；（3）解：如图（4）所示，过点C作，过D作，∴，，∵，，∴，∴，