数学模型讲义

1、第4章 层次分析法一、层次分析法的基本原理AHP法首先把问题层次化，按问题性质和总目标将此问题分解成不同层次，构成一个多层次的分析结构模型，分为最低层（供决策的方案、措施等），相对于最高层（总目标）的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。AHP要对同一层的元素的相对重要性给出权值，为了说明给出权值的方法，先举一个例子。设已知n个物体的质量分别为，并设这n个物体的总质量为1，即n个物体的质量所组成向量为规一化向量。将这n个物体的质量进行两两比较，所得的相对质量可用下面的比较矩阵表示 （4.1.1）A中的元素显然满足 （4.1.2）我们称满足条件（4.1.2）的矩阵A为正的互反矩阵。不但如

2、此，A中的元素还满足 （4.1.3）条件（4.1.3）成为一致性条件。凡满足一致性条件的矩阵为一致性矩阵。我们有 （4.1.4）这说明n是A的一个特征根，而的质量就是A对应于特征根n的特征向量的分量。因此我们如能构造出比较A，就能求得每个物体的相对质量。类比到层次分析法的同一元素上来，只要我们设法构造出判断矩阵（以后我们称比较矩阵为判断矩阵），利用特征值方法就可以确定出各元素的相对重要性权值。补充概念矩阵的特征根、特征向量设A为n阶矩阵，是一个数，如果方程（4.1.5）存在非零解向量（即n×1阶矩阵），则称为A的一个特征根，相应的非零解向量X称特征根（值）对应的特征向量。第二节 层次

3、分析法的计算步骤一、明确问题在分析社会、经济的以及科学管理等领域的问题时，首先要对问题有明确的认识，弄清问题的范围，了解问题所包含的关联关系和隶属关系。二、建立递阶层次结构根据对问题的分析和了解，将问题所包含的因素，按照是否共有某些特征进行归纳成组，并把它们之间的共同特性看成是系统中新的层次中的一些因素，而这些因素本身也按照另外的特性组合起来，形成更高层次的因素，直到最终形成单一的最高层次因素。 为了运用AHP进行系统分析，首先要将问题所涉及的各种复杂因素(元素)分组分层排列，每一组作为一个层次。一般分为三层： 最高层是目标层，它表明AHP所要达到的目标。中间层是准则层，它表示采用某种措施或政

4、策来实现预定目标所涉及的中间环节，中间层可以由若干层组成，一般又分为策略层、约束层、准则层等等。最低层是方案层或措施层，表示解决问题的措施或政策。【例1】买钢笔这件事情，我们考虑质量、价格、颜色和形状四个方面，也就是说这四方面作为最终选择的指标；可供选择的钢笔有三支钢笔1，钢笔2和钢笔3。这样我们就可以建立起买钢笔这件事情的递阶层次结构模型图。目标层A指标层B方案层C买钢笔形状颜色价格质量钢笔3钢笔2钢笔1图4.2.1 递阶层次结构图 解：建立的层次结构模型图如图4.2.1所示：可以看出，在买钢笔的层次结构图中，上层的每个元素支配者下一层所有元素，或说被下层所有的元素影响，是一个完全层次结构，

5、当然，在社会生活及发展中有许多比买钢笔更为复杂的决策过程，它们需要建立的层次结构中可能包含很多层，层与层之间也可能出现各种联系形式。四、层次单排序及一致性检验1、层次单排序所谓层次单排序，是根据判断矩阵计算对于上一层的某元素而言本层次与之有关的元素的相对重要性次序的权值，于是层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征值和特征向量。从比较判断矩阵A的表示式（4-1）中可以看到，主对角线上的元素全部为1，在关于主对角线对称位置上的两个元素互为倒数，任意一行为某一行指定行的倍数，这样的矩阵符合我们关于一致性矩阵的定义。我们还进一步指出，比较判断矩阵有一个最大的特征根n，其余n-1个特征根全部为零。最大特

6、征根对应的特征向量，除差一个常数倍外，恰恰等于物体质量组成的向量。于是层次单排序的问题就转化为计算方程组 （4.2.2）的最大特征根和与之对应的特征向量W。具体的计算方法有很多，有根法、幂法、和法等。最常用的是根法和和积法。（2）和积法将判断矩阵的每一列元素作规一化处理，其元素的一般项为： （4.2.7）将按列规一化处理后的判断矩阵按行相加为： （4.2.8）对向量 规一化处理： （4.2.9）则 即为所求的特征向量的近似值 计算判断矩阵最大特征根 （4.2.10）表示的第个向量。【例2】用和积法计算判断矩阵A-B的最大特征根及其对应的特征向量AB1B2B3B1B2B31531/511/31/

7、331 将判断矩阵每列归一化列规一行相加再规一列规一同理， 规一化后的判断矩阵按行相加，按列规一化判断矩阵为行相加将向量规一化再规一则所求特征向量计算判断矩阵的最大特征根=PW判断矩阵 n为特征向量W的个数五、一致性检验应用层次分析法保持判断思维的一致性是非常重要的，所谓判断的一致性，就是判断矩阵A有如下关系 （4.2.11）由矩阵理论得知，若A满足完全一致性时，则A具有唯一非零解，最大特征根 （即最大特征根等于矩阵A的阶数），且除外，其余特征根均为零。但是，在一般决策问题中，决策者不可能给出精确的的度量，只能进行估计，因此就会有偏差。但判断矩阵A具有满意的一致性时，它的最大特征根稍大于矩阵的

8、阶数，且其余的特征根皆接近于0。我们在应用AHP时，要求构造的判断矩阵完全一致性是不可能的，不过我们应该要求一定程度上的判断一致性。只有这样，AHP得出的结果才能基本合理。因此对构造的比较判断矩阵需要进行一致性检验。其步骤如下：1、计算一致性指标 （4.2.12）当CI0时，判断矩阵具有完全一致性；反之，CI愈大，就表示判断矩阵的一致性就越差。一般判断矩阵的阶数n越大，人为造成的偏离完全一致性指标CI的值便越大；n越小，人为造成的偏离完全一致性指标CI的值便越小。2、查出判断矩阵的平均随机一致性指标RI值为了检验判断矩阵是否具有令人满意的一致性，需要将CI与平均随机一致性指标RI进行比较。平均

9、随机一致性指标是经过500次以上的重复进行判断矩阵特征值的计算之后去平均只得到的指标值。对于115阶矩阵的RI值如下表：阶数123456789101112131415RI000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.593、计算随机一致性比率CR （4.2.13） 一般而言，1或2阶的判断矩阵总是具有完全一致性的。对于2阶以上的判断矩阵，一般地，当CR<0.1时，就认为判断矩阵具有令人满意的一致性；否则，当CR0.1时，就需要调整判断矩阵，直到满意为止。六、层次综合排序及一致性检验计算同一层次所有元素对于最高层的（总目标）相对重要

10、性的排序权值，称为层次总排序。这一过程是从最高层到最低层逐层进行的，并且也要进行总的判断一致性检验。对于最高层下面的第二层，它的层次单排序就是它的总排序。设上一次层次A包含m个因素，其层次总排序已经完成，其排序的权值分别为，下一层B包含n个因素，现在要计算下一层次各元素的总排序值。设对应元素的下一层个元素单排序权值分别为，（当与无联系时，）。此时B层个元素的层次总排序权值由下表给出。层次A 层次BA1A2AmB层次的总排序a1a2a3B1b11b12b1mB2b21b22b2mBnbn1bn2bnm显然 （4.2.15）这说明层次总排序仍是一个规一化向量。 对层次总排序也要进行一致性检验，其具

11、体步骤如下：（1）计算层次总排序的一致性指标 （4.2.16）其中为与对应的B层次中判断矩阵的一致性指标。（2）计算层次总排序随机一致性指标 （4.2.17）其中为与对应的层次中判断矩阵的随机一致性指标。（3）计算层次总排序随机一致性比率 （4.2.18）类似地，当时，认为层次总排序结果具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。第三节 层次分析法建模举例一、实例1：用AHP解决领导干部的提拔问题1、描述某单位拟从三名干部中提拔一人担任领导工作，干部的优劣（由上级人事部门提出），用六个属性来衡量：健康状况、业务知识、写作水平、口才、政策水平、工作作风，分别用来表示。组织部门给三个人，

12、甲、乙、丙对每个目标的层性打分。（1）健康状况P1B1甲乙丙甲11/41/2乙413丙21/31 （2）业务水平P2B2甲乙丙甲11/41/5乙411/2丙521（3）写作水平P3B3甲乙丙甲131/5乙1/311丙51 1（4）口才P4B4甲乙丙甲11/35乙317丙1/51/71（5）政策水平P5B5甲乙丙甲117乙117丙1/71/71（6）工作作风P6B6甲乙丙甲179乙1/715丙1/91/512、建立层次结构模型3、构造判断矩阵并用和积法计算特征向量构造目标层的判断矩阵如下子目标对总目标的判断矩阵BP1P2P3P4P5P6P1111411/2P2112411/2P311/21531

13、/2P41/41/41/511/31/3P5111/3311P6222311（1）将判断矩阵按列作归一化处理，得到另一个判断矩阵B P1P2P3P4P5P6P10.160.170.150.200.140.13P20.160.170.300.200.140.13P30.160.090.150.250.420.13P40.040.040.030.050.050.09P50.160.170.050.150.140.26P60.320.340.300.150.140.26（2）将每一列经归一化处理后的判断矩阵按行相加为： BP1P2P3P4P5P6WiP10.160.170.150.200.140.1

14、30.95P20.160.170.300.200.140.131.10P30.160.090.150.250.420.131.20P40.040.040.030.050.050.090.30P50.160.170.050.150.140.260.93P60.320.340.300.150.140.261.515.99（3）对作归一化处理 由 得到矩阵即所求的特征向量的近解。（4）计算判断矩阵最大特征根lmax = 第二层相对第一层各指标权重()= = 4、判断矩阵一致性指标随机一致性比率 符合条件。5、求出方案层对目标层的最大特征向量(同上）A1 B1 B2 B3 B1 B2 B3 求得：第三

15、层相对第二层各指标权重对于第二层第一指标健康水平甲乙丙三人的得分6、求得三人所得总分及结果分析甲的总分： wi×w1i 乙的总分： wi×w2i 丙的总分: wi×w3i 结论：因为乙的总分>甲的总分>丙的总分，所以应该提拔乙到领导岗位上。第5章 模糊数学方法1、模糊子集的定义定义：论域U=x上的模糊集合A由隶属函数mA(x)来表征。其中mA(x)在闭区间0，1中取值， mA(x)的大小反映了x对于模糊集合A的隶属程度。另一个定义：U是一个给定的论域，如果对于U中任何的x，都有唯一的mA(x)与之对应，所有的mA(x)便构成了模糊子集A 。 mA称作A

16、的隶属函数， mA(x)称作x对A的隶属度。 mA(x)在闭区间0，1中取值 mA(x)的值接近1，表示x隶属于A的程度很高。 mA(x)的值接近0，表示x隶属于A的程度很低。2、模糊子集的表示方法一个模糊子集完全由其隶属函数所刻画。如果论域U是有限集时，可以用向量来表示模糊子集A。一般地，若论域为 U=x1,x2,xn，则模糊子集A可表示为 A=m1, m2, mn，mi在闭区间0，1中取值(i=1,2,n)， mi为第i个元素xi对A的隶属度。3、模糊子集的运算及其性质(1)模糊子集的运算 论域U上两个模糊子集A和B之间的相等、包含关系及并、交、补运算，分别规定如下：“”表示取最大值，“”

17、表示取最小值  2、模糊矩阵当A和B为有限集合时，模糊关系R可以用矩阵的形式来表示，并称为模糊矩阵，记作： r11 r12 r1nR=(rij)m×n= r21 r22 r2n rm1 rm2 rmn式中 rij=µR(xi,yj),rij0,1,i=(1,2,m),j=(1,2,n)m 为A 中所含元素的个数n 为B 中所含元素的个数 该矩阵为模糊关系矩阵，简称模糊矩阵。在不引起混淆的情况下，也可以将模糊关系R用R表示。3、模糊矩阵的运算（2）模糊集合的运算并运算与交运算直积空间A×B=(x，y)|xÎA，yÎB中的模糊关

18、系R是A×B（集合A和集合B之间）中的模糊集，R的隶属函数用mR(x，y)表示：模糊关系R1和R2的并R1ÈR2，定义为：R1ÈR2ÛmR1(x，y)ÈmR2(x，y)=ÚmR1(x，y)，mR2(x，y)模糊关系R1和R2的交R1Ç R2 ，定义为：R1ÇR2ÛmR1(x，y)ÇmR2(x，y)=ÙmR1(x，y)，mR2(x，y)合成运算 设U、V、W是三个集合，R1是U到V上的模糊关系，R2是V到W上的模糊关系，则称R1 o R2为关系R1 与 R2的合成，且规定它为U到W上的模

19、糊关系，其隶属函数为 R1 o R2 Û mR1oR2 (x，y)= ÚmR1(x，y)ÙmR2(x，y) 例： 设A和B均为X=x1，x2上的模糊关系 A B A o B三、模糊聚类及其实例对满足传递性的模糊等价关系的R*进行聚类处理，给定不同置信水平的 ，求R矩阵，找出R的显示，得到普通的分类关系。当=1时，每个样品自成一类；随值的降低，由细到粗逐渐归并，最后得到动态聚类谱系图。当模糊等价关系R*确定之后，对于给定的每一个（01）都能使R为普通的分类关系。例1：给定U=x1，x2，x3，x4，x5，其中一个模糊等价关系（模糊相似关系经过自乘，即R* = R2k

20、 = Rk o Rk = Rk ）为： 0.48 0.62 0.41 0.47 0.48 1 0.47 0.41 0.47 R*= 0.62 0.48 1 0.41 0.47 0.41 0.41 0.41 1 0.41 0.47 0.47 0.47 0.41 1根据不同水平的进行分类：取=1，得在R1*中，由于各行均不相同，故x1、 x2、 x3、 x4、 x5各自成为一类，此时共分为5类。取=0.62，得在R0.62中，由于第1、3行相同，而其他各行均不相同，故将x1、 x3归并为一类，而 x2 、 x4、 x5各自成为一类，此时共分为4类，即x1 ，x3、 x2 、 x4、 x5。（3）取

21、=0.48，得在R0.48中，由于第1、2、3行相同，而其他各行均不相同，故将x1、 x2、 x3归并为一类，而 x4、 x5各自成为一类，此时共分为3类，即x1 ， x2 ，x3、 x4、 x5。（4）取=0.47，得在R0.47中，由于第1、2、3、5行相同，而与第4行不相同，故将x1、 x2、 x3、 x5归并为一类，而x4独各自成为一类，此时共分为2类，即x1 ， x2 ，x3， x5、 x4 。（5）取=0.41，得在R0.41中，由于各行都相同，故x1、 x2、 x3、 x4、 x5均归并为一类，即x1 ， x2 ，x3， x4 ，x5。例2：表1给出了某地区九个农业区的7项指标（

22、原始数据）表1 某地区九个农业区的七项经济指标数据(3)（将模糊相似关系R改造为模糊等价关系R*,经过自乘计算可以验证: R* = R4 o R4 = R4（3）模糊聚类用上述模糊等价关系R* ，在不同的截集水平下进行聚类，得到如下聚类结果：取=1，得 在R1中,由于各行均不相同,故G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8,G9各自成为一类 取=0.99，得在R0.99中，由于第5、6、7行相同，而且他各行均不相同，故将G5,G6,G7,归并为一类，而G1,G2,G3,G4,G8,G9各自成为一类。取=0.95，得在R0.95中，由于第2、8行相同，第4、9行相同，第5、6、7行相同，而

23、第1行与第3行与其他各行均不相同，故G2,G8聚为一类，第 G4,G9聚为一类，G5,G6,G7,聚为一类，而G1,G3,各自成为一类。取 =0.67，此时元素全为1。在R0.67中，由于各行相同，故G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8,G9归为一类综合上述聚类过程，可以作出如下聚类谱系图，如图所示=0.67=0.80=0.93=0.94=0.95=0.99=1 G3 G5 G6 G7 G2 G8 G4 G9 G1第三节 模糊综合评判方法及其应用1、单层次模糊综合评判模型 所谓单层次模糊综合评判，就是将所有影响评价对象的因素放在一个层次上进行综合地比较、评判，且只评判一次即告结束。单

24、层次模糊综合评判的基本步骤可总结如下： （1）确定因素集和评判集（2）给出各因素的权重分配（3）确定单因素评判矩阵（4）求解评判结果集（5）模糊综合评判结果的确定（1）确定因素集和评判集由评价对象的所有评判因素所组成的集合，称为因素集，记为 U=u1, u2 , , um (5.3.1)由作为评价标准的评判等级构成的集合，称为评判集， 记为V=v1, v2 , , vn (5.3.2) 例如，以某教师工作的教学质量为评价对象，则其因素集可取为 U=教学内容, 教学方法 ,教学态度，教书育人；评判集可取为V=优秀，良好，一般，较差。（2）给出各因素的权重分配 一般情况下，各因素对评价对象的影响是

25、不一致的，因此必须确定各因素的权重。因素的权重分配通常由专家评判组在充分掌握资料和广泛听取意见的基础上给出。因素的权重分配集是U上的模糊集合，一般可记为：A=a1, a2 , , am (5.3.3)其中ai表示第i个元素的权重，它们必须满足归一化条件，例如上例中，U=教学内容, 教学方法 ,教学态度，教书育人的权重分配集可确定为： A=0.3，0.2，0.4，0.1（3）确定单因素评判矩阵单因素评判矩阵也要由专家(或与评判问题相关的专门人员)评判组来确定。一般以下述方式进行。邀请一定数量的专家（专门人员）组成评判小组，要求他们就每一个评判等级，对影响评价对象的各因素作出评判：统计所得数据，用

26、人数的百分比来表示评价的结果。可见，评价结果实际上是U与V之间的一个模糊关系，因而可用如下的矩阵形式来描述：其中rij(1in，1jm)表示就第j个评判等级Vj而言，专家评判组对第I个因素ui作出的评价。上述矩阵称作评判矩阵。例如，现邀请一些专门人员对某教师的教学工作进行单因素评价，用人数的百分比表示评价结果，可得下面评估表。某教师教学工作总体评估表优秀良好一般较差教学内容0.30.50.20教学方法0.40.30.20.1教学态度0.30.40.20.1教书育人00.20.50.3 根据上表即可写出单因素评判矩阵R教学内容0.30.50.20教学方法0.40.30.20.1教学态度0.30.

27、40.20.1教书育人00.20.50.3 0.3 0.5 0.2 0 0.4 0.3 0.2 0.1R= 0.3 0.4 0.2 0.1 0 0.2 0.5 0.3（4）求解评判结果集模糊综合评判是在评判集V的基础上进行的，因此评判结果集应是V上的一个模糊集，可记为B=（b1，b2，bm），评判结果集可由下式求得：B=A o R (5.3.5)其中bi=(aibij)，j=1，2，m可见所谓的模糊综合评判，即单因素评判结果与各因素的权重的一种综合。由此，可求得上例中的评判结果集为： 0.3 0.5 0.2 0S=A o R=0.3 0.2 0.4 0.1o 0.4 0.3 0.2 0.10.

28、3 0.4 0.2 0.10 0.2 0.5 0.3 =0.3 0.4 0.2 0.1（5）模糊综合评判结果的确定模糊综合评判的最终结果是根据评判结果集B来确定的，通常有下列两种方法。最大隶属度法最大隶属度法，即根据求得的评判结果集B，若有b0=max（b1，b2，bm），则所b0对应的评判集V=v1，v2，vm中的元素就是评判结果。例如，上例中max（0.3，0.4，0.2，0.1）=0.4根据最大隶属原则，可判断该教师的教学质量可以评为“良好”这个等级。通常情况下，利用上述方法来确定评判的最终结果是简便而有效的。但当B中的最大值不止一个时，很显然该方法将失效，这时我们就必须采用其它的方法。

29、加权平均法将评判结果集B=b1，b2，bm归一化为例如上例中不采用隶属度大小来评判而对各个等级进行赋值。比如，“优秀”赋予95分，“良好”赋予80分，“一般”赋予65分，“较差”赋予50分。设等级赋值之后的矩阵为R，则： 95 80 R= 6550 再设评价结果为，则 95S=S·R=0.3 0.4 0.2 0.1 806550这里用普通矩阵乘法规则，则取对应元素之积之和作乘积的元素。因而S=（0.3×95+0.4×80+0.2×65+0.1×50）=78.5分这说明该教师的综合评分为78.5分。如果我们把78.5分看作是7080的组中值，则该

30、教师是属于“良好”这一等级的。二、模糊综合评判应用实例 例1：某服装厂生产出一个新品种：兰色碎花连衣裙，在大规模上市以前厂家要对该品种在小范围内做一个预评价以作到心中有数。顾客对该产品主要从以下三个方面考虑：款式色彩是否合适、穿着是否舒服、价格是否可以接受，针对这三种因素考虑的轻重程度我们可以用前面学过的层次分析法来确定权重，即看这三个因素在顾客心中孰轻孰重。层次分析法构造的判断矩阵如下：兰色碎花连衣裙款式色彩穿着舒服价格合理权重（W）款式色彩11/31/20.2穿着舒服3120.5价格合理21/210.3U=款式色彩，穿着舒服，价格合理的权重分配集可确定为（0.2，0.5，0.3）。 接下来

31、请专家与一些普通消费者分别针对该样品的以上三种因素，款式色彩、穿着舒服、价格合理按照很好、较好、不太好、不好四个等级来进行评分，得到模糊评价矩阵（用评价人数的态度占所有参与评价总人数的百分比来表示）。 很好、较好、不太好、不好款式色彩 （0.2 0.7 0.1 0）穿着舒服 （0 0.4 0.5 0.1）价格合理 （0.2 0.3 0.4 0.1）那么该产品的综合评价为： 0.2 0.7 0.1 0A=MN= (0.2 0.5 0.3) 0 0.4 0.5 0.1 =0.2 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1对模糊评价法评价的结果要进行归一化处理 0.2+0.4+0.5+0

32、.1=1.2A=02/1.2 04/1.2 0.5/1.2 0.1/1.2=0.17 0.33 0.42 0.08模糊综合评价结果采用最大隶属度法，即取隶属度最大的一个作为综合评价结果。那么在上面的例子中我们可以看出结果中隶属度最大的是0.33和0.42也就是说评价结果处于不太好和较好之间。 第六章 灰色系统基本方法灰色系统理论是我国华中理工大学邓聚龙教授提出的一种处理动态系统的数学方法，它可以对系统做出分析、建模、预测、决策、控制等。这里将分四大部分介绍给大家，即：概述、关联度（分析）、生成数和GM（1,1）模型。第一节 概述二、灰色系统的研究内容主要包括灰色系统的分析、建模、预测、决策、控

33、制等多个内容。1、系统分析举例说明灰色过程如何通过生成数来寻找规律。例：记x(0)(1)，x(0)(2)，x(0)(3)，x(0)(4)，其值如下： 序号1234数列x(0)(1)x(0)(2)x(0)(3)x(0)(4)数据121.53 如果将原始数据作累加生成，设将k个累加生成数为x(1)(k)，并且x(1)(1)=x(0)(1)=1x(1)(2)=x(0)(1)+x(0)(2)=1+2=3x(1)(3)=x(0)(1)+x(0)(2)+x(0)(3)=1+2+1.5=4.5x(1)(4)=x(0)(1)+x(0)(2)+ x(0)(3)+x(0)(4)=7.5 将累加生成数x(1)(k)

34、列表如下： 序号1234数据x(1)(1)x(1)(2)x(1)(3)x(1)(4)数列134.57.53、灰色预测 预测方法有300种左右，通常有回归分析法、德尔菲法、趋势外推法、最小方差预测法、马尔可夫预测法、模型法、指数平滑法、残差辨识方法等。概括起来，可分为三类，即：回归马尔可夫链称统计型灰色预测与模型法属连续型指数平滑与残差辨识则属递推型 灰色系统模型的预测，称灰色预测。灰色预测可分为五类：（1）数列预测对系统行为特征值大小的发展变化进行预测，称为系统行为数据列的变化预测，简称数列预测。例如：粮食产量的预测；商品销售量发展变化的预测；年平均降水量发展变化的预测；人口的预测；货运量的预

35、测；外贸额发展变化的预测等。这种预测的特点是：对行为特征量等时距地观测。 预测的任务是：了解这些行为特征量在下一个时刻有多大。（2）灾变预测 对系统行为特征量超出某个阈值（界限值）的异常值将在何时出现的预测称为灾变预测。所以说，灾变预测是对异常值出现时刻的预测。由于异常值往往会使人们的生活、生态环境、农业生产等的正常活动带来异常结果，造成灾害，所以也称为这种预测为灾变预测。如：年平均降水量大于某个阈值（可容许值）便是涝灾年平均降水量小于某个阈值是旱灾年产量大于某个指定值，是丰年年产量小于某个指定值，是欠年环境中某种物质含量超出某个阈值，是污染人体中某个参数（如体温、血压、血中成分）超出一定范围

36、就发生病变银行存款超出某个值是经济跃变灾变预测的特点是：对异常值出现的时间进行预测。预测的任务不是确定异常值的大小（因为异常值的大小是指定的灰数），而是确定异常值出现的时间。灾变预测建模所用数据已不是行为特征量本身，而是异常行为特征值发生的时间，这时对时间来说不是等间距的，或者说建模数据的序列，是按序号给出的时间间隔。（3）季节灾变预测 若行为特征量异常值的出现，或者某种事件的发生是在一年中个特定时段，则这种预测称为季节灾变预测。如：云南春雨是在春天出现早霜是在秋末冬初的9、10、11月出现洪水是在汛期出现季节灾变预测，是一种特定时段内的灾变预测。其特点是：灾变一般仅仅发生在一年的某个特定时段

37、。（4）拓扑预测（亦称波形预测、整体预测） 拓扑预测是对一段时间内行为特征数据波形的预测。拓扑预测在不同的场合有不同的意义。对水利方面年径流量曲线来说，拓扑预测意味着在对未来某段时间内总径流量的预测对气象方面年平均降水量曲线来说，拓扑预测是对某几年总降水量的预测对生产系统来说，拓扑预测可以是对几年内生产总产值、总产量的预测 而从本质来看，拓扑预测则是对一个变化不规则的行为数据数列的整体发展进行预测。 （5）系统综合预测 将某一系统各种因素的动态关系找出，建立系统动态框图。系统的行为特征量是系统的输出。总系统行为特征量是系统总输出，系统中各环节的行为特征量是系统的中间输出。 系统综合预测，是控制

38、系统动态研究的内容。其预测模型与前述数列预测、灾变预测不同。它不是一个孤立的GM（1，1）模型，而是一串相互关联的GM（1，N）模型，即控制理论中的状态模型，或者传递函数模型，这是一种输出输入关系，不是单一数列的变化关系；它不但可以了解整个系统的变化，还可以了解系统中各个环节的发展变化，一般属于系统的综合研究，因此称为系统综合预测。作系统综合预测时，必须有某些量是自主的，是可以用GM（1，1）表征的。4、灰色决策所谓决策，是指选定一个合适的对策，去对付某个事件的发生，以取得最佳效果。事件与对策的配合称为局势。作物的合理布局问题、农业中的区划问题、运筹学中的整数规划问题等都是决策。如：区域劳动力

39、、资金、资源如何调配，使劳动力、资金、资源得到有效利用，得到最大效益，这就是局势。在农业上是产业结构调整的问题，在数学上是线性规划的问题，这些称灰色决策，是因为规划模型都是按GM得到的。 例，对局势、决策作简要介绍：下雨是一个事件，为了对付下雨，可以带雨伞、穿雨衣、戴斗笠。该决策有三个目标：经济、美观、方便。5、灰色控制决策的执行称为控制。所谓灰色控制是指本征性灰色系统的控制，或系统中含灰参数的控制，或用GM（1，1）模型构成的预测控制。第二节 关联分析一、关联分析关联分析是动态过程发展态势的量化分析。说的确切一点，是动态发展态势的量化比较分析。灰色关联分析，从其思路来看，属于几何处理的范畴，

40、其实质是对反映各因素变化特征的数据序列所进行的集合比较。用于度量因素之间关联程度的灰色关联度，就是通过对因素之间的关联曲线的比较而得到的。例：某地区20012007年总收入、工业收入、农业收入见下表（单位：亿元）年份2001200220032004200520062007总收入18202240444860工业收入10151624284050农业收入3251012810二、关联系数与关联度1、数据列的表示方式 作关联分析首先要指定参考数据列，参考数据列常用x0表示。不同时刻的数据表示为： xo=（x0（1），x02，x0n）。如：x0=x01，x02，x03，x04，x05，x06 =1，1.1

41、，2，2.25，3，4关联分析中的被比较数列常记为x1，x2，xn，若给定第个被比较数列x1=1，1.166，1.834，2，2.34，3再给出其它两个数列x2与x3，分别为：x2=1，1.125，1.075，1.375，1.625，1.75x3=1，1，0.7，0.8，0.9，1.2有了这样几个数列，就为关联度分析准备了条件。2、关联系数计算公式 （1）关联系数(1)式中，i(k)是第k个时刻比较曲线xi与参考曲线x0的相对差值，这种形式的相对差值称为xi对x0在k时刻的关联系数。称为两级最小差；称为两级最大差。例1：给出下列数列x0=20，22，40x1=30，35，55x2=40，45，

42、43试求两级最小差与两级最大差。解：先求两级最小差对于i=1时，t=1，x0(1)-x1(1)=20-30=10t=2，x0(2)-x1(2)=22-35=13t=3，x0(3)-x1(3)=40-55=15minx0(k)-x1(k)= min（10，13，15）=10对于i=2时，t=1，x0(1)-x2(1)=20-40=20t=2，x0(2)-x2(2)=22-45=23t=3，x0(3)-x2(3)=40-43=3minx0(k)-x2(k)= min（20，23，3）=3minminx0(k)-xi(k)= min（10，3）=3求两级最大差对于i=1时，maxx0(k)-x1(k

43、)= max（x0(1)-x1(1)，x0(2)-x1(2)，x0(3)-x1(3)）=max（10，13，15）=15对于i=2时，maxx0(k)-x2(k)= max（x0(1)-x2(1)，x0(2)-x2(2)，x0(3)-x2(3)）=max（20，23，3）=23maxmax（x0(k)-xi(k)）= max（15，23）=233、关联系数计算两级最小差和两级最大差求得后，一般还不能计算关联系数。从以上分析可以看出，显然，xi与xj的量纲不同，作图比例尺就会不同，因而关联曲线的空间相对位置也会不同，这就会影响计算结果。为了消除量纲的影响，增强不同量纲的因素之间的可比性，就需要在

44、进行关联系数计算之前，首先对各要素的原始数据无量纲化。原始数据无量纲化的方法主要有：初值化、均值化和区间相对值化等。其中初值化是用每一个数列的第一个数xi(1)除其它数xi(k)；均值化是用平均数去除所有的数。这样即可使数列无量纲化，然后利用变换后所得到的新数据作关联系数计算。初值变换的计算公式为 i= 1,2,N ; t = 1,2,M (2)均值变换的计算公式为 i= 1,2,N ; t = 1,2,M (3)在（3）式中，例2：计算关联系数给出初值化的序列如下：xo=(1，1.1，2，2.25，3，4)x1 =(1，1.166，1.834，2，2.314，3)x2 =(1，1.125，1

45、.075，1.375，1.625，1.75)x3 =(1，1，0.7，0.8，0.9，1.2)分三步计算：（1）求差序列各个时刻x1与x0的绝对差序 号123456绝对差1=x0(k)-x1(k)00.0660.1660.250.6861各个时刻x2与x0的绝对差序 号123456绝对差2=x0(k)-x2(k)00.0250.9250.8751.3752.25各个时刻x3与x0的绝对差序 号123456绝对差3=x0(k)-x3(k)00.11.31.452.12.8（2）求两级最小差与两级最大差minminx0(k)-xi(k)=0maxmaxx0(k)-xi(k)=2.8（3）计算关联系

46、数得4、关联度关联系数的数很多，信息过于分散，不便于比较，为此有必要将各个时刻关联系数集中为一个值，求平均值便是这种信息集中处理的一种方法。在实际计算中，常用近似公式 （4）或者说ri是曲线xi对参考曲线x0的关联度，ri越大，对x0的影响就越大。6、优势分析当参考数列不止一个，被比较因素也不止一个时，可进行优势分析。例：某地区有5个母因素yi（i=1，2，5）。又有6个子因素xi（i=1，2，6）。分别为yi 参考数列（母数列） xi 被比较数列（子数列）y1 固定资产投资 x1 国民收入y2 工业投资 x2 工业收入y3 农业投资 x3 农业收入y4 科技投资 x4商业收入y5 交通投资 x5 交通收入 x6 建筑业收入其数据列如下表（单位：万元）20032004200520062007y1308.58316295346367y2195.4189.9187.2205222.7y324.62112.215.114.57y4202