凸函数判定方法的研究

1、 凸函数判定方法的研究 凸函数判定方法的研究鸡冠山九年一贯制学校张岩2013年12月15日目 录摘要ii关键词 iiAbstractiiKey wordsii前言 iii一、凸函数的基本理论1 1、预备知识1 2、凸函数的概念及性质2二、凸函数的判定方法4 （一）一元函数凸性的判定方法41、利用作图判断函数凸性42、其它判定方法5 （二）多元函数凸性的判定方法81、多元凸函数的有关概念82、多元函数凸性的判定方法9 三、凸函数几个其他判定方法12四、总结14 参考文献14致谢15凸函数判定方法的研究摘要:凸函数是一类非常重要的函数，借助它的凸性可以科学准确地描述函数图像，而且可以用于不等式的证

2、明。同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，研究的内容非常丰富，研究的结果已在许多领域得到广泛的应用，因此凸函数及其性质以及凸性判定的充要条件的研究就显得尤为重要。本文首先给出了凸函数的一些基 本概念和结论，然后针对一元和多元函数，对凸函数的判定做了研究和讨论，本文最后也给出几种新的判定凸函数的方法。关键词：凸函数；梯度；Hesse 矩阵；泰勒定理 Abstract: Convex function is a kind of very important functions, with the help of its convexity we can accurately describe

3、the graph of functions and it can also be used to prove the inequalities. As the significant object in optimization problems, the contents about convex functions we study are very abundant, the results obtained so far has been applied to many fields. Therefore, the topic we concern about is deserved

4、 to be discussed. In this paper, we firstly present some basic definitions and properties of convex functions, then aiming at the univariate function and multi-variable functions we give several criterions for determining the convexity of functions. Finally, some new principles are also given. Key w

5、ords：Convex function; Gradient; Hesse matrix; Taylor Theorem 前言提起凸函数,人们都会想起它的许多良好性质和在数学中的重要作用。的确,凸函数是一个十分重要的数学概念,它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用。在数学分析和高等数学教材中,函数的凹性和凸性一直都占据着重要的位置,关于这两个性质的考查也常常见诸于练习和考试中.凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域，函数凸性是数学分析专攻的一个重要概念，它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用。凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在

6、50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。运筹学的创始人定义运筹学是：“管理系统的人为了获得关于系统运行的最优解而必须使用的一种科学方法。”它使用许多数学工具（包括概率统计、数理分析、线性代数等）和逻辑判断方法，来研究系统中的人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以期发挥最大的效益。随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用。但是,凸分析的局限性也是很明显的,实际问题中的大量函数是非凸的,因此,各种广义凸函数的定义相继出现,特别是近年来,“非凸分析”或更一般的“非光滑分析”已

7、成为引人注目的热门课题,它们是凸分析的拓广和发展。本文主要从凸函数出发给出凸函数的一些简单性质及一些重要的性质，然后给出了凸函数的几个等价定义并加以说明，然后利用函数图象判定函数的凸性，接下来给出了一些一元函数的判定方法并结合实例给出了判定函数凸性的一些等价条件，接着给出多元函数的判定方法及其应用，最后，又介绍了判定函数凸性的几个其他的方法。v 凸函数判定方法的研究 一、凸函数的基本理论（一）预备知识1.梯度：若元函数对自变量的各分量的偏导数都存在，则称函数在处一阶可导，并称向量为函数在处的梯度或一阶导数。2 . Hesse 矩阵：若元函数具有二阶偏导数，即都存在，则称矩阵为在处的Hesse矩

8、阵（海色矩阵）。3. 泰勒展式 （1）一阶泰勒展式：设在点处具有一阶连续偏导，则在点处的泰勒展开式 其中为变量的高阶无穷小量，或者，其中。 （2）二阶泰勒展式：设在点处二阶连续可微（或具有二阶连续偏导数），则在点处的二阶泰勒展开式为或者 ，其中 。（二）凸函数的概念及性质定义 1.1 设函数在区间上有定义, 若,总有 （1.1）则称为上的凸函数. 若在定义1.1中当且不等式严格成立, 则称为上的严格凸函数.定义 1.2 设为定义在区间I上的函数, 若对I上的任意两点和任意的总有 （1.2）则称为上的凸函数.若（1.2）改为严格不等式，则称为严恪凸函数定义 1.3 设函数在区间I上有定义,若，总

9、有 (1.3)则称为上的凸函数.1凸函数的一些基本性质（1）若、均为上的凸函数，则也是上的凸函数。 （2）设为上的凸函数，为正常数，则也为上的凸函数。 （3）设为上的凸函数，在上单调递增，且也为上的凸函数，则复合函数也是上的凸函数。 （4）若是奇函数，且当时，是凸函数，则当时，是凹函数。 （5）若是偶函数，且当时，是凸函数，则当时，是凸函数。 （6）若是上的连续递增的凸函数，则是递增的凹函数。 （7）若是定义在区间上的凸函数，则在上连续。（8）若是上的凸函数且不恒为常数，则存在一点使得在上递减，在上递增。2凸函数的一些重要性质性质1.1 设函数在上连续,若是上Jensen意义下的凸函数,则及都

10、有(1.2)成立。性质 1.2 (性质1的逆命题)设是定义在区间I上的, 若对 , 都有，则在内连续。性质 1.3 若在区间上连续,且满足 其中,则是上的凸函数。性质 1.4 若是闭区间a,b上有界的凸函数,在a,b内必连续。性质 1.5 若函数是区间I上的连续凸函数, 则有1) 函数在I内处处存在左、右导数与 , 且；2) 与都是x的不减函数.二、凸函数的判定方法（一）一元函数凸性的判定方法1.利用作图判断函数凸性 图1-1上图是一个凸函数的几何图像，其中，。若函数在区间内有定义，如果对于，连接和两点的弦都在介于这两点的弧段之下，则可以判定（由定义1.1）该函数在区间内是凸函数。定义1.1是

11、对凸函数的几何特性的直观描述，可以通过作图判断函数的凸性。2.其它判定方法引理 2.1 为I上的凸函数的的充要条件是：对I上的任意三点，总有 （2.1）定理 2.1 设函数在区间可导,在区间内是凸函数,且,有。证明：必要性 若在区间I上式凸函数，且且，由（2.1）式有已知函数在与皆连续可导，根据极限保号性定理有 于是 充分性：，且，根据微分中值定理，有与。已知即 由引理（2.1）知函数在I上是凸的。定理 2.2 设函数在区间可导, 在区间I内是凸函数曲线位于它们的任意一点切线的上方。证明：必要性 ，曲线在点的切线方程，从而=，其中在与之间，若函数在I上是凸的，由定理1，则与同号，于是，有。即曲

12、线在其上任意点的切线上方。充分性 若，有，于是，且，有由引理1，在I上是凸函数。定理 2.3 设函数在区间上存在二阶导数, 在区间内是凸函数,有。证明：必要性 ，且，已知在区间I上是凸函数，根据定理 2有 与 从而 即函数在区间I上单调增加，于是又 有。充分性 ，由泰勒公式，其中在与之间，已知有，则，即在区间I上是凸函数。定理 2.4 设在区间上有定义, 则在区间内为凸函数当且仅当，且有证明：必要性 已知在区间I上为凸函数，有定义，设，有 （2.2）将乘以移项变形可知： （2.3）可见，令时，则，从而由（2.2）式可推到（2.3）式。同理类推，由（1.2）得。充分性 且，有若，令，则，从而由（

13、2.3）式可推到（2.2）式。同理类推，由推得（2.2）式。定理 2.5 若在区间上连续,且满足其中,则是上的凸函数。下面举几个例题说明这些判别方法的使用。例 2.1 求证，有 证明：，不妨设，考察函数，因为，故是上的凸函数。令，由定理2.5知， 即 ，故 ，故 ，所以 ，因此 。例 2.2 证明不等式成立。证明： 取函数 当时， 因此，在内是凸函数， 故对任何，恒有，即不等式成立（二）多元函数凸性的判定方法1.多元凸函数的有关概念定义 2.1 设,对,数, 及为n维向量,若均有,则称为凸集,即如果中的任意两点,的连线也在内,则称为中的一个凸集。多元凸函数的定义可由一元凸函数的定义推广得到。定

14、义 2.2 设为非空凸集, ,若有,则为上的凸函数；若上述为严格不等式,则是上的严格凸函数。我们可以利用函数的梯度和二阶偏导数矩阵(Hesse矩阵)来判断多元函数的凸性。2.多元函数凸性的判定方法定理 2.6 设为凸集内可微函数，则为内的凸函数的充要条件是：对，其中 证明： 必要性 设为D内的凸函数，对，恒有 令从正趋向于0，则，所以 充分性 设，有成立。设，令，则 （2.6） （2.7）×（2.6）+×（2.7）式得：或 即所以，是内的凸函数。定理 2.7 是定义在凸集内的二次可微函数,则为内的凸函数的充要条件为的二阶偏导数矩阵处处半正定。类似的，为内严格凸函数的充要条件

15、为处处正定。证明： 必要性 设，对任意的，由泰勒公式得： 由题意知，所以，即处处半正定。 充分性 由泰勒公式得若处处半正定，对任意，恒有，则由定理 2.6 知，为内的凸函数。例 2.3 求证：二元函数为上的凸函数。（证法一）证明：因为，令，其中，。任取，则利用一元函数为上的凸函数可知因此二元函数为上的凸函数。（证法二）证明：，因为，则为半正定，所以二元函数为上的凸函数。例 2.4 求函数的极小值。解： 首先讨论的凸性，求出它的Hesse矩阵因为，当时，为正定，即是为严格凸函数的条件。令，即，而满足不等式，所以有唯一极小值，。三、凸函数几个其他判定方法定义3. 1 令是一个非空集， 称集合是的上

16、图像。定理 3.1 令是一个非空凸集, 在上是凸的当且仅当的上图像是凸集。证明：充分性 因为在上是凸的，对有 由于是凸集，故，则即是凸的。必要性 因为是凸的，对，有即 得证。定理 3.2 设为一非空凸集合, 为凸的当且仅当对,函数, 在上是凸的。定理 3.3 设为一非空开凸集合, 在S上可微,则f为凸的当且仅当对。定义 3.2 令, 。 称f在上是单调的,若对,有成立。定理 3.4 设为一非空开凸集合, 在S 上可微,则f在上为凸的当且仅当f 单调,即对,有。例 3.1 函数，其中为半正定的对称阵，为给定的常向量，为常数，则为凸函数。证明：利用定理3.4来验证。 有 ， 则， 于是，由于为半正

17、定的对称阵，于是，即，所以为凸函数。四、总结凸函数在整个优化问题的研究，以至于在工程和金融管理方面都发挥着重要的作用，因为许多提炼出来的数学模型归根结底是优化问题的求解，而凸规划又是优化问题的一个重要分支，凸函数的判定又是这一切研究工作的基础。本文主要研究判定函数凸性的一系列充分必要条件。首先，回顾一些对判定函数凸性有用的概念，如梯度、Hesse 矩阵及泰勒展式等。其次，给出凸函数的几个等价定义，并讨论它们的等价性。接下来对凸函数的性质做一个简单的介绍，然后提出几个有利用价值的重要的性质，为后文判断函数的凸性提供了研究的理论基础。再次，给出本文的重点，既，凸函数的判定方法，第一部分说明利用函数

18、的图像可以判断函数的凸性，这里只是做了简单介绍，而不是本文重点，第二部分给出一元函数凸性的判定方法，给出了五种不同的判定方法，其中每种方法都有其优点，相应的给出例题说明遇到不同问题时，使用的判定方法也不尽相同。接下来，介绍了多元凸函数的有关概念，并且研究了多元函数凸性的判定方法及其应用。最后，给出了凸函数的几个其他的判定方法，并且给出实例加以应用和验证。参考文献1宋方. 关于凸函数的定义和性质. 数学的实践与认识，2007（4）：189-194.2罗驰.凸函数的几个新判定方法.乐山师范学院学报，2007（5）：11-12.3曾明，范周田.关于凸函数定义的几点思考.高等数学研究，2010（7）：94-96.4冯艳青.多元函数凸性的判断及应用.西南民族学院学报（自然科学版），2001（11）：474-475.5陈晓东.关于凸函数的问题注记.渝西学院学报（自然科学版），2003（12）：37-40.6陈太道.凸函数判定及其应用.临沂师范学院学报，2002（6）：90-92.7华东师范大学数学系.数学分析第三版（上）.高等教育出版社，2008（4）：148-153.8华东师范大学数学系.数学分析第三版（下）.高等教育出版社，2008（4）：124-140.9袁亚湘，孙文瑜.最优化理论与